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【人教A版】2015版高中数学:必修1课本例题习题改编(含答案)


华师教育

1. 原 题 ( 必 修

1

2015 版人教 A 版必修 1 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 第 七 页 练 习 第 三 题 ( 3 )) 判 断 下 列 两 个 集 合 之 间 的 关 系 :

A= x | x是4与 10的公

倍数,x ? N? ,B ? ?x | x ? 20m, m? N? ? 改编 已知集合 M ? ? x

?

?

x ? x ? ? x ? ? N ?且 ? N ? ? ,集合 N ? ? x ? Z ? ,则( 10 ? 4 ? ? 40 ?
C. M ? N ? ? x



A. M ? N

B. N ? M

? x ? ?Z? ? 20 ?

D. M ? N ? ? x

? x ? ? N?? ? 40 ?

? 解: M ? x x ? 20k , k ? N , N ? x x ? 40k , k ? Z ,故选 D .

?

?

?

?

2.原题(必修 1 第十二页习题 1.1B 组第一题)已知集合 A={1,2},集合 B 满足 A∪B={1,2},则这样的集合 B 有 个. 改编 1 已知集合 A、B 满足 A∪B={1,2},则满足条件的集合 A、B 有多少对?请一一写出来. 解:∵A∪B={1,2},∴集合 A,B 可以是:?,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2},{1};{1, 2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2},?.则满足条件的集合 A、B 有 9 对. 改编 2 已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集个数有
n n

个,真子集个数有



解:子集个数有 2 个,真子集个数有 2 ? 1 个 改编 3 满足条件

?1,2? ? A ? ?1,2,3? 的所有集合 A 的个数是



解:3 必须在集合 A 里面, A 的个数相当于 2 元素集合的子集个数,所以有 4 个. 3.原题(必修 1 第十三页阅读与思考“集合中元素的个数” )改编 用 C(A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义

?C(A) ? C(B),当C(A) ? C(B) 1,2?, B ? x (x 2 ? ax)(x 2 ? ax ? 2) ? 0 ,且 A ? B ? 1 ,则由实数 ,若 A ? ? A?B ? ? ?C(B) ? C(A),当C(A) ? C(B)

?

?

a 的所有可能取值构成的集合 S =

.

1,2?得C(A) ? 2 , 而 A ? B ? 1 , 故 C ( B? ) 1或C ( B? ) 3 . 由 (x 2 ? ax)(x2 ? ax ? 2) ? 0 得 解 : 由 A ??
(x 2 ? ax) ? 0或(x 2 ? ax ? 2) ? 0 .
2 2 当 C(B) ? 1 时,方程 (x ? ax)(x ? ax ? 2) ? 0 只有实根 x ? 0 ,这时 a ? 0 . 2 2 当 C(B) ? 3 时,必有 a ? 0 ,这时 (x ? ax) ? 0 有两个不相等的实根 x1 ? 0, x 2 ? ?a ,方程 (x ? ax ? 2) ? 0 必 2 有 两 个 相 等 的 实 根 , 且 异 于 x1 ? 0, x 2 ? ?a , 有 Δ ? a ? 8 ? 0, ∴ a ? ?2 2 , 可 验 证 均 满 足 题 意 , ∴

S ? ? 2 2,0,2 2 .

?

?

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4.原题(必修 1 第二十三页练习第二题)改编 1 小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间, 后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是

解:先分析小明的运动规律,再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直 线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快, 答案选 C . 改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的 函数,其图象可能是 ( )

解:汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽车匀速行驶时,速度保持不变,体现在 s 与 t 的函数图象上是一条 直线,减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的.答案:A. 5.原题(必修 1 第二十四页习题 1.2A 组第七题)画出下列函数的图象: (1)F(x)= 改编 设函数 D(x)=

?1, x为有理数, 则下列结论错误的是( ? ?0, x为无理数,
B. D(x)是偶函数

?0, x ? 0, ? ?1, x>0;

)

A.D(x)的值域为{0,1}

C.D(x)不是周期函数

D.D(x)不是单调函数

解:由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项 A 正确;当 x 是有理数时,-x 也是有理数,且 D(-x)=1,D(x)=1,故 D(-x)=D(x),当 x 是无理数时,-x 也是无理数,且 D(-x)=0,D(x)=0,即 D(-x)=D(x),故 D(x)是偶函数,选项 B 正确;当 x 是有理数时,对于任一非零有理数 a,x+a 是有理数,且 D(x+a)=1=D(x),当 x 是无理数时,对于任一非零有理数 b,x+b 是无理数,所以 D(x+b) =D(x)=0,故 D(x)是周期函数, (但不存在最小正周期) ,选项 C 不正确;由实数的连续性易知, 不存在区间 I,使 D(x)在区间 I 上是增函数或减函数,故 D(x)不是单调函数,选项 D 正确. 答案:C .
第 2 页 共 13 页

6.原题 (必修 1 第二十四页习题 1.2A 组第十题) 改编 已知集合 则满足点

A ? ?1,2,3? , B ? ?1,2,3,4? . 定义映射 f : A ? B ,
.

A(1, f (1)), B(2, f (2)), C (3, f (3)) 构成 ?ABC 且 AB=BC 的映射的个数为
3

解:从 A 到 B 的映射有 4 ? 64 个,而其中要满足条件的映射必须使得点 A、B、C 不共线且 可以分析得到满足 f (3) ? f (1) ? f (2) 即可,则满足条件的映射有 m ? C4 ? C3
1 1

AB=BC ,结合图形

? 12 个.

7.原题 (必修 1 第二十五页习题 1.2B 组第二题) 画出定义域为 x ? 3 ? x ? 8, 且x ? 5 , 值域为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0

?

?

?

?

的一个函数的图像, (1)将你的图像和其他同学的比较,有什么差别吗?(2)如果平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其中哪些点不能在图像上? 改编 是( 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ? 3 ? x ? 8, x ? 5 ,值域为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0 ,则 y ? f ( x) 的图象可能 )

?

?

?

?

A

B

C

D

解: 根据函数的概念, 任意一个 x 只能有唯一的 y 值和它对应, 故排除 C; 由定义域为 x ? 3 ? x ? 8, x ? 5 排除 A、 D,选 B. 8. 原题(必修 1 第二十五页习题 1.2B 组第三题)函数 f(x)? [x]的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如,

?

?

3? 时,写出函数 f(x) 的解析式,并作出函数的图象. [?3.5] ? ?4 ; [2.1] ? 2 ;当 x ? ?? 2.5, 
改编 1 对于任意实数 x ,符号 [x]表示 x 的整数部分,即 [x]是不超过 x 的最大整数,例如 [2] ? 2 ; [2.1] ? 2 ; 叫做“取整函数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用,则 [?2.2] ? ?3 . 函 数 y ? [ x ]

[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ? ? [log3 26] 的值为



0 1 2 3 解:由题意得,∵ 3 ? 1 , 3 ?3, 3 ?9, 3 ?27 .∴原式中共有2个0,6个1,1 8 个2,故原式=

2 ? 0 ? 6 ? 1 ? 18 ? 2 ? 42 .
改编 2 已知函数 f(x)=x-[x], 其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数. 若关于 x 的方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实 根, 则实数 k 的取值范围是

.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A.[?1,?? ) ? ( ,? ]???????B.(?1,?? ] ? [ ,? )?????C.[? ,?? ) ? ( ,1] ? ?????D.( ? ,?? ] ? [ ,1) ? 2 4 3 2 4 3 3 4 2 3 4 2
解:画出 f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线
第 3 页 共 13 页

y=kx+k=k(x+1) 斜率 k 的取值范

围为 ( ?1,?? ] ? [ ,? ) . 答案:B.

1 2

1 1 4 3

改编 3

对于任意实数 x,符号 ? x ? 表示 x 的整数部分,即 ? x ? 是不超过 x 的最大整数.这个函数 ? x ? 叫做“取整函

数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么, (1) ?log 2 1? + ?log2 2? + ?log2 3? + ?log2 4? +??+ ?log2 1024? = (2)设 f ? x ? ? ? ? x ? ? x ?? ? , x ? ?1,3? ,则 f ? x ? 的值域为 解: ( 1 ) ?log 2 1? =0 , ?log2 2? = ?log2 3? =1 , ?log2 4? = ?log2 5? = ?log2 6? = ?log2 7? =2 , ?log2 8? = ?log2 9? = ?? = ?log2 15? =3, ?log2 16? = ?log2 17? =??= ?log2 31? =4,??

?log2 512? = ?log2 512? =??= ?log2 1023? =9, ?log2 1024? =10,
则原式= 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 +??+9 ? 29 +10 ,用“错位相减法”可以求出原式的值为 8204. (2) x ??1,2?时, ? x? ? 1, f ? x? ? 1; x ??2,2.5?时, ? x? ? 2, f ? x? ? 4 ; ( 1) x ??2.5,3?时, ? x? ? 2, f ? x? ? 5; x ? 3时, ? x? ? 3, f ? x ? ? 9 ;故 x ??1,3? 时 f ? x ? 的值域为 ?1, 4,5,9? 答案: 8204; 改编 4 (2) ?1, 4,5,9? . 函数 f ? x ? ? ? ? x ? x ?? ? ,x ? ? ?2, 2? 的值域为 .

解 : 当 x ???2, ?1? 时 , ? x? ? ?2 , ?2x ? ? 2,4? , f ? x ? ? ??2x? ?{2,3,4} ; 当 x ?? ?1, 0 ? 时 , ? x? ? ?1 ,

?x ? ? 0,1? , f ? x ? ? ?? x? ?{01} , ;当 x ??0,1 ? 时,? x? ? 0 , f ? x ? ? 0 ;当 x ??1,2 ? 时,? x? ? 1 , f ? x ? ? ? x? =1;
2,3, 4} .答案: {0,1, 2,3, 4} . 当 x =2 时, f ? x ? ? ? 4? =4 ;∴值域为 {0,1,

x2 ?1 9.原题(必修 1 第三十六页练习第1题(3) )判断下列函数的奇偶性: f(x) ? . x
改编 关于函数 f(x) ? lg

x2 ?1 (x ? 0) ,有下列命题:①其图象关于 y 轴对称;②当 x ? 0 时, f(x) 是增函数;当 x

x ? 0 时, f(x)是减函数;③ f(x) 的最小值是 lg2 ;④ f(x)在区间 (?1,0), (2,??) 上是增函数;⑤ f(x) 无最大值,
第 4 页 共 13 页

也无最小值.其中所有正确结论的序号是 解: f(x) ? lg



1 x2 ?1 x2 ?1 ,则当 x ? 0 时, u(x) ? x ? 在 (0,1) 上递 (x ? 0) 为偶函数,故①正确;令 u(x) ? x x x

减,在 [1,??) 上递增,∴②错误;③④正确;⑤错误.答案:①③④. 10.原题 (必修 1 第三十九页复习参考题 B 组第三题) 已知函数 f ( x) 是偶函数, 而且在 (0, ??) 上是减函数, 判断 f ( x) 在 ( ??, 0) 上是增函数还是减函数,并证明你的判断. 改编 是 已知定义在[-2, 2] 上的偶函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上是减函数 , 若 f(1-m) ? f(m), 则实数 m 的取值范围

.

解: 由偶函数的定义,

? f (1 ? m) ? f (|1 ? m |) , 又 由 f(x) 在 区 间 [0, 2] 上 是 减 函 数 , 所 以 ? ? f (m) ? f (| m |)

1 1 0 ? |m ? | |? 1 m ? |? ? ? ? m ? ? .? ? ?? ? m ? . 答案: 2 2
11.原题(必修 1 第四十四页复习参考题 A 组第四题)已知集合 A={x| x =1},集合 B={x|ax=1},若 B ? A,求实数
2

a 的值. 改编 已知集合 A={x|x-a=0},B={x|ax-1=0},且 A∩B=B,则实数 a 等于



解:∵A∩B=B ,∴B?A ,A={x|x-a=0}={a},对于集合 B,当 a=0 时,B=?满足 B?A;当 a≠0 时,B={ };要使 B?A 需 ,解得 a=± 1;答案:1 或-1 或 0.

12.原题 (必修 1 第四十四页复习参考题 A 组第八题) 设 f ( x) ? 改编 设定在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (tan x) ?
1 ,则 cos 2 x

1 1 ? x2 , 求证: (1)f (? x) ? f ( x) ; (2)f ( ) ? ? f ( x ) . 2 1? x x

1 1 1 f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? 2 3 2012

. . 由 所 求 式 子 特 征 考 查 :

解 : 由 f (tan x) ?

1 cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 1 ? x2 . 得 ? ? f ( x ) ? 1 ? x2 cos 2x cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x

1 1? 2 1 1 1 1 1 ? x2 x )?0. f ( x) ? f ( ) ? ? ? 0 .? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 2 3 2012 x 1? x 1? 1 x2

13.原题 (必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第四题) 已知函数 f ? x ? ? ? 的值. 改编 已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ? x ? 4 ? , x ? 0; 求 f ?1? ,f ? ?3? ,f ? a ? 1? ? ? x ? x ? 4 ? , x ? 0.

? ? x ? x ? a ? , x ? 0; a ? 0 ,关于 x 的方程 f ? x ? ? a 有四个不同的根,则实数 a 的取值范围 x x ? a , x ? 0. ? ? ? ?
第 5 页 共 13 页

为(

)A.

-4 ? ? -?,

B.

0? ? -4,

C.

-4? ? -?,

D. ? -4, 0?

解:当 a ? 0 时, y ? f ? x ? 与 y ? a 交点个数为 2,不成立;当 a ? 0 时, f ? x ? 图象如下图, y ? f ? x ? 与 y ? a 交

a2 ? a ? 0 ,∴ a ? ?4 ,选 A. 点个数为 4,则 ? 4

y?a

x b ? ,则 f ? 14.原题(必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第五题)证明: (1 ) 若 f ?x ? ?a

? x1 ? x2 ? 2

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ; (2) ?? 2 ?

若 g ? x ? ? x2 ? ax ? b, 则 g ? 改编

? x1 ? x2 ? 2

? g ? x1 ? ? g ? x2 ? . ?? 2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 1 ?? 2? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? , 则称 f ? x ? 在 ? a, b? 上具 ?

函数 f ? x ? 在 ? a, b? 上有定义,若对任意 x1 , x2 ? ? a, b? ,有 f ?

有性质 P .设 f ? x ? 在 ?1, 3? 上具有性质 P ,求证:对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ? ?1,3? ,有
? x ? x ? x3 ? x4 f? 1 2 4 ? ? 1 ?? 4? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ? ? ?. ?

? x1 ? x2 x3 ? x4 ? 2 ? 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 证明: f ? ? f ? ? 4 2 ? ? ? ? ?

? ? 1 ? ? x1 ? x2 ? ? ?? ?f ? 2? ? 2 ? ? ? ? ?

? x ? x ?? f ? 3 4 ?? ? 2 ??

1 ?1 1 ? 1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ?? ?? ? ? ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ?? ? 2 ?2 2 ? 4

15.原题(必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第七题) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所 得不超过 2000 元的部分不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算:

某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少? 改编 2011 年 4 月 25 日,全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案(草案) 》 ,向社会公开征集 意见.草案规定,公民全月工薪不超过 3000 元的部分不必纳税,超过 3000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税 款按下表分段累进计算.
级数 全月应纳税所得额 税率

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1

不超过 1500 元的部分

5%

2

超过 1500 元至 4500 元的部分

10%

3

超过 4500 元至 9000 元的部分

20%

依据草案规定,解答下列问题: (1)李工程师的月工薪为 8000 元,则他每月应当纳税多少元?(2)若某纳税人的 月工薪不超过 10000 元,他每月的纳税金额能超过月工薪的 8%吗?若能,请给出该纳税人的月工薪范围;若不能, 请说明理由. 解: (1)李工程师每月纳税:1500× 5%+3000× 10%+500× 20%=75+400=475(元) ; (2)设该纳税人的月工薪为 x 元,则当 x≤4500 时,显然纳税金额达不到月工薪的 8%; 当 4500<x≤7500 时,由 1500× 5%+ (x-4500) × 10%>8%x, 得 x>18750, 不满足条件;当 7500<x≤10000 时, 由 1500× 5%+3000× 10%+ (x-7500) × 20%>8%x,解得 x>9375,故 9375<x≤10000 答:若该纳税人月工薪大于 9375 元且不超过 10000 元时,他的纳税金额能超过月工薪的 8%. 16. 原题(必修 1 第八十二页复习参考题 A 组第七题)已知 f ? x ? ? 3x ,求证: ( 1 ) f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , (2)
f ? x? ? f ? x ? y? . f ? x? ? f ? y?

f ? y?

改编

给出下列三个等式: f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? , f ? x ? y ? ? ) B. f ? x ? ? sin x C. f ? x ? ? log2 x

1? f ? x? f ? y?

.下列选项中, 不满足其

中任何一个等式的是( A. f ? x ? ? 3x

D. f ? x ? ? tan x

解:依据指数函数,对数函数,三角函数的性质可知, A 满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? , C 满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,
D 满足 f ? x ? y ? ?
f ? x? ? f ? y?

1? f ? x? f ? y?

,而 B 不满足其中任何一个等式.

17.原题 (必修 1 第八十二页复习参考题 A 组第八题) 已知 f ( x) ? lg 改编

?? x ? a?b ? , a, b ? (?1,1) ,求证( : 2)f (a) ? f (b) ? f ? ?. 1? x ? 1 ? ab ? ? x? y ? 定义在 ( ?1,1) 上的函数 f ( x) 满足对 ?x, y ? (?1,1) ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? 成立,且当 x ? (?1, 0) 时, f ( x ) ? 0 , ? 1 ? xy ? 1 5 1 11 1 2

给出下列命题:① f (0) ? 0 ;②函数 f ( x) 是奇函数;③函数 f ( x) 只有一个零点;④ f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,其中正确命 题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4 解 : ① 令 a ? b ? 0 得 f (0) ? 0 , ① 正 确 ; ② 令 y ? x , 得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) , ? f ( x) 是 奇 函 数 , ② 正 确 ; ③ 由 ②
x? y x? y .又 x ? (?1,0), f ( x) ? 0 ,令 x ? y ,则 ? 0 , ? f ( x ) ? f ( y ) ? 0 ,即 f ( x ) ? f ( y ) . f ( x ) ? f (y )? f ( ) 1 ? xy 1 ? xy
? 1 1 ? ? ? ? 1 1 2 2 1 ? 函 数 f ( x) 在 ( ?1,1) 上 为减函 数,又 f (0) ? 0 , 故 ③正确 ,④ f ( ) ? f ( ) ? f ? 5 11 ? ? f ( ), ? , 由③知 1 1 5 11 7 7 2 ? ? 1? ? ? ? ? 5 11 ?
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2 1 f ( ) ? f ( ) .答案:C 7 2

?1? 18.原题(必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第一题)已知集合 A={y y ? log2 x,x>1} ,B={y| y ? ? ? , x>1} , ?2?
则 A ? B =( ) A. {y| 0<y< }

x

1 2

B. {y| 0<y<1}

C. {y|

1 <y<1} 2

D.

?
?1? ?2?
x

改编

在平面直角坐标系中, 集合 A={ ? x, y ? y ? log a x } ,a ? 0 且 a ? 1 ,B={ ? x, y ? | y ? ? ? } 设集合 A ? B ) D. m ? ? 2, +??

中的所有点的横坐标之积为 m ,则有( A. m ? 1 B. m ? ? 0,1?
x

C. m ? ?1, 2 ?

?1? 解: 由图知 y ? loga x 与 y ? ? ? 图象交于不同的两点,设为 x1、x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? 1 ? x2 , ∵ ?2? ?1? y ? ? ? 在 R 上递减,∴ loga x1 ? loga x2 ,当 a ? 1 时, ?loga x1 ? loga x2 , loga ( x1 x2 ) ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1;当 ?2?
0 ? a ? 1 时, loga x1 ? ?loga x2 , loga ( x1 x2 ) ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1,选 B.
19.原题(必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第三题)对于函数 (1)探索函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使 f(x)为奇函数? 改编 1 对于函数 f(x)=a+
. (a
x

? R)

2 (x∈R), (1)用定义证明:f(x)在 R 上是单调减函数; (2)若 f(x)是奇函数, 2 ?1
x

求 a 值; (3)在(2)的条件下,解不等式 f(2t+1)+f(t-5)≤0. 证明(1) :设 x1 < x2 ,则 f( x1 )-f( x2 )=

2 x2 ? 2 x1 2 2 x x x x = ∵ 2 2 - 2 1 >0, 2 1 ? 1 >0, 2 2 ? 1 > 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

0.即 f( x1 )-f( x2 )>0.∴f(x)在 R 上是单调减函数 (2)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0?a=-1. (3)由(1) (2)可得 f(x)在 R 上是单调减函数且是奇函数,∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.转化为 f(2t+1)≤-f (t-5)=f(-t+5) ,?2t+1≥-t+5?t≥ 改编 2

4 4 ,故所求不等式 f(2t+1)+f(t-5)≤0 的解集为:{t|t≥ }. 3 3

-2x+b 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. (1)求 a, b 的值; (2)若对任意的 t∈R, 不等式 f(t2-2t)+f(2t2 2 +a

-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -1+b -2x+1 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a

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1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x ,易知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2 2 2 +1 2 +2 -k)<0,等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k.即对一切 1 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 解法二:对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,可转化为 k<3t2-2t,t∈R,只要 k 比 3t2-2t 的最小值小即可,而 3t2-2t 的 1 1 最小值为- ,所以 k<- . 3 3

e x ? e? x e x ? e? x ,g ( x )? 20. 原 题 ( 必 修 1 第 八 十 三 页 复 习 参 考 题 B 组 第 四 题 ) 设 f ( x ) ? ,求证: (1) 2 2

? g ( x)? ? ? f ( x)?
2

2

?1; (2) f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (3) g (2 x ) ? ? g ( x ) ? ? ? f ( x) ? ;
2 2

改编 1

设 f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x 2 2 , g ( x) ? ,给出如下结论:①对任意 x ? R ,有 ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? 1 ;②存在 2 2
2 2

实数 x0 ,使得 f (2 x0 ) ? 2 f ( x0 ) g ( x0 ) ;③不存在实数 x0 ,使得 g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x) ? ;④对任意 x ? R ,有

f (?x)g ( ?x) ? f (x)g (x) ?0 ;
其中所有正确结论的序号是 解:对于①: ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? (
2 2

e x ? e? x 2 e x ? e? x 2 e2 x ? 2 ? e?2 x e2 x ? 2 ? e?2 x ) ?( ) ? ? ? 1; 2 2 4 4

对于②: 2 f ( x) g ( x) ? 2 ?

e x ? e? x e x ? e? x e2 x ? e?2 x ? ? ? f (2 x) ,即 ?x0 ? R 恒有 f (2x0 ) ? 2 f ( x0 ) g ( x0 ) ; 2 2 2
2

e x ? e? x 2 e x ? e? x 2 e2 x ? e?2 x ) ?( ) ? ? g (2 x) , 故 不 存 在 x , 使 对 于 ③ : ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? ( 2 2 2
2

g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x0 ) ? ;
2 2

对于④: f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) ?

e? x ? e x e? x ? e x e x ? e? x e? x ? e x ? ? ? 2 2 2 2

?

e?2 x ? e2 x e2 x ? e ?2 x ? ? 0 ,故正确的有①③④ 4 4
已知函数 F ?x? ? e 满足 F ?x ? ? g ?x ? ? h?x ?,且 g ?x ? , h?x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,若 ?x ? ?1,2?
x

改编 2

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使得不等式 g ?2 x ? ? ah?x ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 解: F ?x? ? g ?x? ? h?x? ? e x ,得 F ?? x? ? g ?? x? ? h?? x? ? e? x , 即 F ?? x ? ? g ?x ? ? h?x ? ? e
?x

.

e x ? e? x , 解 得 g ?x ? ? 2

e x ? e? x , h? x ? ? 2

, g ?2 x ? ? ah?x ? ? 0 即 得

e 2 x ? e ?2 x e x ? e? x ? 2 2 e 2 x ? e ?2 x e x ? e? x ?a ? 0 , 参 数 分 离 得 a ? x ?x ? ? e x ? e? x ? x ? x , 因 为 x ?x 2 2 e ?e e ?e e ?e
e x ? e?x ? 2 2 x ?x ? 2 2 (当且仅当 e x ? e ? x ? x ,即 e ? e ? 2 时取等号, x 的解满足 ?1,2 ? ) ,所以 ?x ?x e ?e e ?e
x

?

?

2

a?2 2.
改 编 3 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x? 和 偶 函 数 g ? x? 满 足 : f

x ?x ? + ?g ? ?

x

, e 则

2n g ?1? g ? 2 ? g ? 22 ? ?? g ? 2n?1 ? f ? 2n ?

?

.

解:∵ f ? x ? +g ? x ? ? e , f ? x ? 和 g ? x ? 分别为 R 上的奇函数和偶函数,
x

∴ f ? ?x ? +g ? ?x ? ? ? f ? x ? +g ? x ? ? e ,
?x

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ∴ f ( x) ? ,∴ f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) , 2 2


2n g ?1? g ? 2 ? g ? 22 ? ?? g ? 2n?1 ? f ?2
n

?

?

2n f ?1? g ?1? g ? 2 ? g ? 22 ? ?? g ? 2n ?1 ? f ?1? f ? 2
n

?

=

1 2e ? 2 . f ?1? e ? 1
f ( p) ? f (q) ? 0 恒成立,且在区 p?q

21.原题(必修 1 第八十八页例 1)求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数. 改编 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 6 ,若在区间(2,3)内任意两个实数 p, q( p ? q) ,不等式 )
1 1 ? a ? 0 在(2,3)恒成立,? a ? - ,又 f ( x) 在(2,3)内有零点, 3 x 1 1 1 . ? 2 ? ln 3 ? a ? 3 ? ln 2 . 答 案 : 3 3 2

间(2,3)内有零点,则实数 a 的取值范围为( 解:由题可得 y ? f ( x) 在(2,3)递增,故 f ?( x) ?

由 零 点 存 在 性 定 理 有 f (2) ? ln 2 ? 2a ? 6 ? 0, f (3) ? ln 3 ? 3a ? 6 ? 0, 又 a ? ?
1 1 (2 ? ln 3,3 ? ln 2) 3 2

x 22.原题(必修 1 第九十页例 2)借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确度 0.1).

改编

为了求函数 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 的一个零点,某同学利用计算器得到自变量 x 和函数 f ( x) 的部分对应值(精
x

确度 0.1)如下表所示

x

1.25

1.3125

1.375

1.4375

1.5

1.5625

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f ( x)

-0.8716

-0.5788

-0.2813 )

0.2101

0.32843

0.64115

则方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1)可取为( A.1.32 B.1.39 C.1.4

D.1.3

解:通过上述表格得知函数唯一的零点 x0 在区间 (1.375,1.4375) 内,故选 C. 23.原题(必修 1 第九十五页例 1)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如 下:方案一:每天回报 40 元;方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元;方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。请问,你会选择哪种投资方案? 改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下:方式一:每天到该商场领取奖 品,价值为 40 元;方式二:第一天领取的奖品的价值为 10 元,以后每天比前一天多 10 元;方式三:第一天领取 的奖品的价值为 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过 600 元,则促销奖的领奖活 动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多? 解:设促销奖的领奖活动为 x 天,三种方式的领取奖品总价值分别为 f ( x), g ( x), h( x) 。 则 f ( x) ? 40 x ; g ( x) ? 10 ? 20 ? 30 ? ?10 x ? 5x2 ? 5x ;

h( x) ? 0.4 ? 0.4 ? 2 ? 0.4 ? 22 ? ?? 0.4 ? 2x?1 ? 0.4 ? 2 x ? 0.4
要使奖品总价值不超过 600 元,则

? f ( x) ? 600 ? x ? 15 ? g ( x) ? 600 ? x 2 ? x ? 120 ? 0 ? ? ?? x ? ?h( x) ? 600 ?2 ? 1501 ? ? ?x ? N ?x ? N
又 f (10) ? 400

解得 x ? 11, x ? N

g( 1 0 ? )

5 5 0h( 1 0 ? )

,故 409 . 2 g (10) ? h(10) ? f (10)

答:促销奖的领奖活动最长可设置 10 天,在这 10 天内选择方式二会让领奖者受益更多. 24.原题(必修 1 第一百一十二页复习参考习 A 组第七题)改编 1 已知线段 AB 的长为 4 ,以 AB 为直径的圆有一 内接梯形 ABCD ,若椭圆以 A、B 为焦点,且经过点 C、D ,求椭圆的离心率的范围. 解:梯形 ABCD 为 圆 内 接 梯 形 , 故 其 为 等 腰 梯 形 , 设 ?ABC ? ? , 则 在

Rt ? AB中 C,

AC ? 4 s i? n BC , ?
由椭圆的定义知 2a ?

4?c o s AC ? CB ? 4(sin ? ? cos? )
D

C

2c 4 ? 离心率 e ? 2a 4 ( s i? n?

? c? os ) 2 sin ?( ? ) 4

?

1

A

B

,其中

? ? ? ?( , )
4 2



所以

2 ? 2 sin(? ? ) ? (1, 2) ,故椭圆离心率 e ? ( ,1) 4 2
圆 以
D

改编 2 已知线段 AB 的长为 4 ,以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD ,若椭 为焦点,且经过点 C、D ,那么当梯形的周长最大时,求该椭圆的离心率. 解:梯形 ABCD 为圆的内接梯形,故其为等腰梯形,设 ?ABC ? ? ,则在
第 11 页 共 13 页

A、B

C

A

B

Rt ?ABC





AC ? 4 s? iBC n? , ?

,4

c ? o4? s 8cos2 ? CD















2 f (? ? ) ? 8 ? c o? s

? ? ? (c , o ) s ?, ?8 ?
4 2

8

故当 cos?

?

1 ? ? ? ? ,即? ? ? ( , )时,周长 f (? ) 最大,即最大周长为 f ( ) ? 10 ,此时,由椭圆的定义知 2 3 4 2 3

2a ? AC ? CB ? 2( 3 ? 1) ,所以此时的椭圆的离心率 e ?

2c 4 ? ? 3 ?1. 2a 2( 3 ? 1)
3

25.原题(必修 1 第一百一十三页复习参考习 A 组第九题)某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应, 若公司本次新产品生产开始 x 月后, 公司的存货量大致满足模型 f ? x ? ? ?3x ?12x ? 8 , 那么下次生产应在多长时 间后开始? 改编 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应,在存货量变为 0 的前一个月,公司进行下次生产。若
3

公司本次新产品生产开始月 x 后,公司的存货量大致满足模型 f ? x ? ? ?2x ? 6x ? 20 ,那么下次生产应在 后开始. 解: f ?1? ? 24 ? 0, f (2) ? 16 ? 0, f (3) ? ?16 ? 0 ,所以应该在两个月后进行生产.



26.原题(必修 1 第一百一十三页复习参考习 B 组第一题) 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格 (自变量) ,而用横轴来表示产品数量(因变量) ,下列供求曲线,哪条表示厂商希望的供应曲线,哪条表示客户希 望的需求曲线?为什么?(图略) 改编 1 某地一年的气温 Q(t) (单位:℃)与时间 t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为

10℃,令 G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是 ( )

G(t)

G(t) 10?c 10?c

G(t)

10?c

t O 6 12 O 6 12 t O 6 12 t

图(1) A
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B

G(t) G(t) 10?c 12 O 6 t t 10?c

O

6

12

C 解:A 改编 2

D

为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收购价格有关,且使 a 与

其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前 6 个月的市场收购价格: 月份 价格(元/担) 1 68 2 78 3 67 4 71 5 72 6 70 ( C.71 元 D.72 元 ) 7

则 7 月份该产品的市场收购价格应为 A.69 元 解:C B.70 元

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