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湖南省益阳市箴言中学2014届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版


湖南省益阳市箴言中学 2014 届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)新 人教 A 版
(时量 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,每小题只有一项符合题目要求.

(C A) B ? 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1,2,3} , B ? {2, 4} ,则 U =__________.
A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D . {0,2,3,4} 2.复数 z ? i(1 ? i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在__________. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 3.设 a, b ? R , 则 “ (a ? b)a ? 0 ”是“ a ? b ”的__________.

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论:
? ? ① y 与 x 负相关且 y ? 2.347 x ? 6.423 ; ② y 与 x 负相关且 y ? ?3.476 x ? 5.648 ; ? ? ③ y 与 x 正相关且 y ? 5.437 x ? 8.493 ; ④ y 与 x 正相关且 y ? ?4.326 x ? 4.578 .

其中一定不正确的结论的序号是__________. A.①② B.②③ C.③④

D. ①④

5.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是__________.

y?
A.

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg | x |

?? ? ?? ? ?? ? m ? (? ? 1,1) , n ? (? ? 2, 2) ,若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 ? =__________. 6.已知向量
A.

?4

B.

?3

C. ?2

D. ?1

2 2 7.已知点 M (a, b) 在圆 O : x ? y ? 1 外, 则直线 ax ? by ? 1与圆 O 的位置关系是_______.

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
x y 8.若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是__________.

A. [0,2] B. [?2,0]

C. [?2,??) D. (??,?2]

y?
9.形如

b (a ? 0, b ? 0) x ?a

的函数因其函数图象类似于汉字中的囧字,故生动地称

为“囧函数”。则当 a ? 1, b ? 1 时的“囧函数”与函数

y ? lg x

的交点个数为__________.

A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
1

?x ? s ?1 ? l:? ? y ? 3s ( s 为参数)的倾斜角为__________. 10.直线 ?
11.某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,

s2 =
则命中环数的方差为 为 . (注:方差

1 [(x - x )2 + (x 2 - x )2 + L + (x n - x )2 ] n 1 ,其中 x

x 1, x 2, L , x n

的平均数)

12. 某几何体的三视图如图 1 所示, 它的体积为__________.

图 图2



1

13. 阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 S 的值为

__.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的两个焦点,若在 C 上存在一点 P, b 14. 设 F1,F2 是椭圆 C: a
使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为_____________.

? 15.已知函数 f ( x) 的定义域为 [?1,5] ,部分对应值如下表, f ( x) 的导函数 y ? f ( x) ,
的图象如图所示. x ﹣1 0 y 1 2 (1) f ( x) 的极小值为 2 0 _______; 4 2 5 1

(2)若函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点,则实数 a 的 取值范围为 _________. 座位号 箴言中学 2013 年高三第一次学月考试 文科数学答题卷 一、 选择题: 本大题共 9 小题, 每小题 5 分, 45 分, 共 序号 答案
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 10.____________ 11.____________ 12..____________ 13.____________ 14.____________ 15.____________ _____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题 12 分) 若函数 f ( x ) ? (1)求实数 m 的值;
3 sin 2 x ? 2 cos x ? m
2

在 R 上的最大值为 5.

(2)求 y ? f ( x) 的单调递减区间。

17. (本小题 12 分) 在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对的边, 且 3b ? 2a sin B 。 (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 5 ,且 a ? 7 ,求 ?ABC 的面积。

18. (本小题 12 分)已知数列 等比数列. (1)求

{an }

a ,a ,a 为首项为 1 的等差数列,其公差 d ? 0 ,且 1 2 5 成

{an }

的通项公式;

bn ?
(2)设

1 an an ?1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 S n ,求 S 2013 .
3

19. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e ( e 为自然对数的底数) 。
2 x

(1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使函数 f ( x) 在 R 上是单调增函数?若存在,求出 a 的值; 若不存在,请说明理由。

20. (本小题 13 分) 大学生自主创业已成为当代潮流。长江学院大三学生夏某今年一月初向 银行贷款 20000 元作开店资金,全部用作批发某种商品,银行贷款的年利率为 6%,约定一 年后一次还清贷款。已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的 15%,每月月底 需要交纳个人所得税为该月所获利润的 20%,当月房租等其他开支 1500 元,余款作为资金 全部投入批发该商品再经营,如此继续,假定每月月底该商品能全部卖出。 (1)设夏某第 n 个月月底余

an

元,第 n ? 1个月月底余

an ?1

元,写出

a1

的值并建立

an ?1



an

的递推关系式;
4

(2)预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入。 (参考数据:1.1211≈3.48,1.1212≈3.90,0.1211≈7.43×10﹣11,0.1212≈8.92×10﹣12)

21. (本小题 13 分) 己知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1(a ? 0) 。 (1)试探究函数 f ( x) 的零点个数;

C ( x0 , 0) A( x1 , 0), B( x2 , 0)( x1 ? x2 ) (2)若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 两点, AB 中点为 , f ?( x0 ) ? 0 ? 设函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) , 求证: 。

5

高三文科数学第一次月考参考答案 一、选择题: 序号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B D 8 9 C

? 二.填空题 10. 3

11.

4

12.

30?
[k? ?

13.

11 12

14.

3 ? 1 15.

0

[1, 2)

?
6

三.解答题 16.解: m ? 2 ,

, k? ?

递减区间为

2? ](k ? Z ) 3
2013

3 ? S? ABC ? 3 2 17.解: A = 3 ,
' 2 x

18.解:

an ? 2n ? 1; S2013 ? 4027

19.解: (1) f ( x) ? ( x ? x ? 2)e ,增区间为 (??, ?2) 与 (1, ??) ,减区间为 (?2,1) ;
6

(2) f ( x) ? [ x ? (a ? 2) x ? 2a]e ,由 f ( x) ? 0 ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 对于
' 2 x ' 2 2 2 2 x ? R 恒成立,则 ? ? (a ? 2) ? 8a ? 0 ? (a ? 2) ? 0 ,又 (a ? 2) ? 0 ,? a ? 2

20.解: (1)由题意 a1=20000(1+15%)﹣20000×15%×20%﹣1500=20900(元) an+1=an(1+15%)﹣an×15%×20%﹣1500=1.12an﹣1500(n∈N+,1≤n≤11) (2)令 an+1+λ =1.12(an+λ ) ,则 an+1=1.12an+0.12λ ,∵an+1=1.12an﹣1500,∴λ =﹣12500 ∴an+1﹣12500=1.12 an﹣12500)∴{an﹣12500}是以 20900 为首项, ( , 1.12 为公比的等比数列∴an﹣12500= (20900﹣12500)×1.12n﹣1,即 an=8400×1.12n﹣1+12500 ∴a12=8400×1.1211+12500≈41732(元) 又年底偿还银行本利总计 20000(1+6%)=21200(元) 故该生还清银行贷款后纯收入 41732﹣21200=20532(元)

f ' ( x) ?
21. 解: (1)

1 1 ? ax 1 1 ?a ? ln ? 0 ln ? 0 x x ,(1)当 a ,即 0 ? a ? 1时, f ( x) 有 2 个零点;(2)当 a , ln 1 ?0 a ,即 a ? 1 时 f ( x) 没有零点;
ln x1 ? ln x2 x1 ? x2 (0 ? x1 ? x2 )

即 a ? 1 时, f ( x) 有 1 个零点;(3)当
f ( x1 ) ? 0 ? ln x1 ? ax1 ? 1 ? 0,

(2)由 f ( x2 ) ? 0 ? ln x2 ? ax2 ? 1 ? 0, 得

a?

f ' ( x0 ) ?

ln x1 ? ln x2 1 2 2 2( x ? x ) x 1 ?a ? ?a ? ? ? [ 1 2 ? ln 1 ] x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2

x1 ? 1) x2 x 1 [ ? ln 1 ] x1 x1 ? x2 x1 ? 1 x2 ? t ? (0,1) h(t ) ? x2 x2 = ,令 ,设 2(

2(t ? 1) ? ln t t ?1 , t ? (0,1)

h' (t ) ?



4 1 ?(t ? 1) 2 ? ? ' (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 t ,又 t ? (0,1) ,? h (t ) ? 0 ,? h(t ) ? h(1) ? 0

x1 ? 1) x2 x ? ln 1 ? 0 1 x1 x2 ?0 ?1 f ?( x0 ) ? 0 x ? x2 即 x2 ,又 1 ,? 。 2(

7


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