江苏省苏州市2012届高三下学期一模考前适应考试(数学)

江苏省苏州市 2012 届高三下学期一模考前适应考试 数学Ⅰ试卷 2012-3-17

注意事项：本次考试满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。理科加试 30 分钟。 一、填空题:本大题共 14 小题，每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．． 1.复数 z
? (1 ? 3i)i ( i

是虚数单位)，则 z 的实部是 ,则 A ?

▲
( ?R B )

． = ▲ ．

2.已知集合 A

?

?x

? 1 ≤ x ≤ 2 ? , B ? ? x x ? 1?

3.在学生人数比例为 2 : 3 : 5 的 A， B ， C 三所学校中，用分层抽样方法招募 n 名志愿者，若 在 A 学校恰好选出了 6 名志愿者，那么 n 4.设 f ? x ? ?
x
2

?

▲

． ▲ 。

? 2 x ? 3 ? x ? R ? ，则在区间

?? ? , ? ? 上随机取一个数 x ，使 f ? x ? ? 0 的概率为

5.设函数 f ? x ? ?
a ?b ?

x

2

? ln x

，若曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1 ? ? 处的切线方程为 y ? ax ? b ，则

▲ 。 6.如图是一个算法的流程图，则输出 a 的值是 ▲ 。 开始 A1 开始 a←256 开始 a← log 2 a a<2 是 输出 a 结束 第6题 7.已知向量 a ? ( ? 2 , 1) , b ? (1, 0 ) ，则 2 a ? 3 b ?
? ?

C1 B1

A B 否

C （第 10 题）

?

?

▲

。 ▲ ．

8.设双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 ，则双曲线的离心率为 9.双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不 ▲
?

含边界） ，若点 (1, 2 ) 在“上”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是 10.如图，三棱柱 A B C 的体积是 ▲ ．
2 2

． ，则该三棱柱

? A1 B 1 C 1 的所有棱长均等于

1，且 ? A1 A B

? ? A1 A C ? 6 0

11．过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : ? x ? 8 ? ? ? y ? 1 ? ? 2 的线 l1 , l 2 ，若 l1 , l 2 关于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 ▲ 。

12.已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ?

5an ? 13 3an ? 7

? n ? N ? ,则数列 ? a
*

n

? 的前 100 项的和▲ .
的取值范围为 ▲ .

13.已知 △ A B C 的三边长 a , b , c 满足 b ? 2 c ? 3 a , c ? 2 a ? 3 b ，则
3

b a

14.在平面直角坐标系 x O y 中，点 P 是第一象限内曲线 y ? ? x ? 1 上的一个动点，点 P 处 的切线与两个坐标轴交于 A , B 两点,则 △ A O B 的面积的最小值为 ▲ .

二、解答题： （本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 ．．．．．．． 字说明、证明过程或演算步骤． ） 15.（本小题满分 14 分） 已知函数 （1）求
f (
f ( x ) ? s in ( 2 x ? ? 6 ) ? cos(2 x ? ? 3 ) ? 2 cos x
2

.

? 12

)

的值；

（2）求 f ( x ) 的最大值及相应 x 的值．

16．(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中， ? ABC ? 90 , E 、 F 分别为 A1 C 1 、 B 1 C 1 的中点, D 为
0

棱 C C 1 上任一点. （Ⅰ）求证：直线 E F ∥平面 A B D ； （Ⅱ）求证：平面 A B D ⊥平面 B C C 1 B 1 .

A B

C

D

A1

E F B1
第 16 题

C1

17． （本小题满分 14 分） 已知 A、B 两地相距 2 R ，以 AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点 C，连接 AC、BC， 在三角形 ABC 内种草坪（如图） ，M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点，在三角形 AMC、三角 形 BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为 S 1 ，草坪的面积为 S 2 ，取 ? A B C ? ? ． （1） 用 ? 及 R 表示 S 1 和 S 2 ； （2） 求
S1 S2

的最小值．

18． （本小题满分 16 分） 如图，在直角坐标系中， A , B , C 三点在 x 轴上，原点 O 和点 B 分别是线段 AB 和 ，平面上的点 P 满足 PA ? PB ? 6 m 。 AC 的中点，已知 AO ? m （ m 为常数） （1）试求点 P 的轨迹 C 1 的方程； （2）若点 ? x , y ? 在曲线 C 1 上，求证：点 ?
? x y ? ? 一定在某圆 C 2 上； 2 ?

,

?3 2

（3）过点 C 作直线 l ，与圆 C 2 相交于 M , N 两点，若点 N 恰好是线段 CM 的中点， 试求直线 l 的方程。
y P

x

A

O

B

C

19.（本小题满分 16 分） 高 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ，且满足 2 S n （1）证明：数列 ? a n （2）若 a 2
? 1?

? pan ? 2n

，n ?

N

*

，其中常数 p

? 2

．

为等比数列； 的通项公式；
? lo g 2 ( a n ? 1)

? 3 ，求数列 ? a n ?

（3）对于（2）中数列 ? a n ? ，若数列 { b n } 满足 b n 之间插入 2
k ?1
*

（n ?

N

*

） ，在 b k 与 b k ? 1

（ k ? N ）个 2，得到一个新的数列 { c n } ，试问：是否存在正整数
? 2011

m,使得数列 { c n } 的前 m 项的和 T m 说明理由.

?如果存在， 求出 m 的值； 如果不存在，

20． （本小题满分 16 分）
? 3 3a a , x ? , ?x ? ? x 2 已知常数 a ? 0 ，函数 f ? x ? ? ? ? 49 a 2 x , x ? a , ? 4 2 ?
4

（1）求 f ? x ? 的单调递增区间； （2）若 0 ? a ? 2 ，求 f ? x ? 在区间 ?1 , 2 ? 上的最小值 g ? a ? ；
?a ? 2 a ?? a ? ?? t ? ? 时， 2 ?? 2 ?

（3）是否存在常数 t ，使对于任意 x ? ?
f ? x ? f ?2 t ? x ? ? f

,2 t ?

2

?t ? ? ? f ? x ? ?

f ? 2 t ? x ?? f ? t ? 恒成立，若存在，求出 t 的值；若

不存在，说明理由。

数学Ⅱ（附加题）
注意事项：考试时间 30 分钟，由选考物理的考生作答。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 ．．．．．．． ．．．．．．．．．．． 答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ． A. 选修 4－1：几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图， P A 与⊙ O 相切于点 A ， D 为 P A 的中点， 过点 D 引割线交⊙ O 于 B ， C 两点， 求证:
?DPB ? ?DCP

P D A B O·

．

C 第 21－A 题

B．选修 4—2：矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知矩阵 M
?1 ? ? ?2 2? ? x ?

的一个特征值为 3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

C．选修 4—4：坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中，圆 C 的方程为 ?
? 2 2 s in (? ? ? 4 )
?

，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正
x ? t,

半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 ?
C

? y ? 1 ? 2t

（ t 为参数） ，判断直线 l 和圆

的位置关系．

D.选修 4—5：不等式选讲 (本小题满分 10 分)

求函数 y

?

1? x ?

4 ? 2x

的最大值．

【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答 ．．．．．．． 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 已知动圆 P 过点 F ( 0 ,
1 4 ) 1 4

且与直线 y

? ?

相切.

（1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A , B 两点，轨迹 C 在 A , B 两点处的切线相交于点
N

， M 为线段 A B 的中点，求证： M N y

? x

轴.

F· P ·

O

x

第 22 题 23. （本小题满分 10 分） 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 击中目标的次数记为 ? . （1）求 ? 的分布列及数学期望； （2）在概率 P ( ?
? i) ( i

1 2

, a , a ( 0 ? a ? 1)

，三人各射击一次，

=0，1，2，3)中, 若 P ( ?

? 1) 的值最大,

求实数 a 的取值范围.

参考答案
数学 I
一 填空题 1. ? 3 ； 2. { x | 1 ?
x ? 2} ；

3. 3 0 ；4．

2

?

；5． 1；6． lo g 2 3 ；7． 5 3 8．
? 3 5? 13. ? , ? ? 4 3?
3

13 2

或

13 3

9. ? 1,

5

?；

10.

2 4

11.

3

5

12.200

14.

3

2

4

二、解答题 15.（1）
f(

?
12

) ? s in ( 2 ? ? 2
3 2

?
12

?

? 6

) ? cos(2 ?

?
12

?

? 3

) ? 2 cos

2

?
12

? s in
3 2
?

? 3

? cos

? 1 ? cos

?
6

…………………………………………………2 分

?

? 0 ?1?

3 ? 1 …………………………………………………………………………………………6

分

（1）?

f ( x ) ? s in ( 2 x ? ? c o s ? 6

? 6

) ? cos(2 x ?

? 3

) ? 2 cos x
2

? s i n x2

? c xo s 2 ? i n s 6

x

? c o s? 2 3

c ox s

? 3

s? i n 2

s i ?…………………102分 x n 2 c o s

1

?

3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 1 ? 2 s in ( 2 x ? ? 6

?
6

) ? 1 ，………………………………………………12

分

?

当 s in ( 2 x
?

? ? 6

) ?1

时，
? 2

f ( x ) m ax ? 2 ? 1 ? 3 ，

此时， 2 x

? 2k ? ?

,即x ? k? ?

? 6

(k ? Z )

，……………………………………………14 分

16． （Ⅰ） 证明:因为 E 、F 分别为 A1 C 1 、B 1 C 1 的中点,所以 E F / / A1 B 1 / / A B ………………………4 分 而 E F ? 面 A B D , A B ? 面 A B D ,所以直线 E F ∥平面 A B D ………………………………………7 分 （Ⅱ）因为三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 为直三棱柱,所以 A B ? B B 1 ,又 A B ? B C , 而
B B1 ? 面 B C C 1 B1

,

BC ? 面

B C C 1 B1

, 且

B B1 ? B C ? B

, 所 以

A B ? 面 B C C 1 B 1 ………… 11 分

又 A B ? 面 A B D ,所以平面 A B D ⊥平面 B C C 1 B 1 …………………………………………………14 分 17． （1）因为 ? A B C ? ? ，则 A C ? 2 R s in ? , B C ? 2 R c o s ? ， 则S2 ?
1 2 A C ? B C ? 2 R s in ? c o s ? ? R s in 2 ? ．………………………………………3 分
2 2

设 AB 的中点为 O，连 MO、NO，则 M O ? A C , N O ? B C ． 易得三角形 AMC 的面积为 R s in ? (1 ? c o s ? ) ， ……………………………………………5 分
2

三角形 BNC 的面积为 R c o s ? (1 ? s in ? ) ， …………………………………………………7 分
2 2 2 ∴ S 1 ? R s in ? (1 ? c o s ? ) + R s in ? (1 ? c o s ? )

? R ( s in ? ? c o s ? ? 2 s in ? c o s ? ) ． ……………………………………………………8 分
2

（2）∵ 分

S1 S2

?

R (s in ? ? c o s ? ? 2 s in ? c o s ? )
2

2 R s in ? c o s ?
2

?

s in ? ? c o s ? 2 s in ? c o s ?

? 1 ，………………………………10

2 令 s in ? ? c o s ? ? t ? (1, 2 ] ，则 2 s in ? c o s ? ? t ? 1 ．

∴

S1 S2

?

t t ?1
2

?1 ?

1 t? 1 t

? 1 ． ……………………………………………………………………12 分

∴

S1 S2

的最小值为 2 ? 1 ．…………………………………………………………………………14 分

18． ⑴由题意可得点 P 的轨迹 C 1 是以 A , B 为焦点的椭圆． ……………………（2 分）
x
2 2

且半焦距长 c ? m ，长半轴长 a ? 3 m ，则 C 2 的方程为
2 2 2 2

?

y

2 2

? 1 ．………（5 分）

9m

8m y 2 2

⑵若点 ( x , y ) 在曲线 C 1 上，则

x

?

y

? 1 ．设

x 3

9m

8m

? x0 ，

? y 0 ，则 x ? 3 x 0 ，

y ? 2
x

2 y 0 ． …………………………………………………………………………（7 分）
2 2

代入

?

y

2 2

9m

8m

? 1 ，得 x 0 ? y 0 ? m ，所以点 (
2 2 2

x 3

, 2

y 2

) 一定在某一圆 C 2 上．

………………………………（10 分） ⑶由题意 C (3 m , 0 ) ． ………………………………………………………………（11 分）
2 2 2 设 M ( x 1 , y 1 ) ，则 x 1 ? y 1 ? m ．┈┈┈①

因为点 N 恰好是线段 C M 的中点，所以 N (
( x1 ? 3 m 2 ) ?(
2

x1 ? 3 m 2

,

y1 2

) ． 代入 C 2 的方程得

y1 2

) ? m ．┈┈┈②
2 2

联立①②，解得 x 1 ? ? m ， y 1 ? 0 ．…………………………………………………（15 分） 故直线 l 有且只有一条，方程为 y ? 0 ． ……………………………………………（16 分） （若只写出直线方程，不说明理由，给 1 分） 19．解： （1）∵ 2 S n ∴ a n ?1
? p p ? 2

? pan ? 2n

，∴ 2 S n ? 1
?1?

? p a n ? 1 ? 2 ( n ? 1)

，∴ 2 a n ? 1

? p a n ?1 ? p a n ? 2

，

an ?

2 p ? 2

，∴ a n ? 1

p p ? 2

( a n ? 1)

，

…………………………………4 分

∵ 2 a1

? p a1 ? 2

，∴ a 1

?

p p ? 2

? 0

，∴ a 1

?1? 0

∴

a n ?1 ? 1 an ? 1

?

p p ? 2

? 0

，∴数列 ? a n

? 1?

为等比数列．

（2）由（1）知 a n

?1?(

p p ? 2

)

n

，∴ a n

? (

p p ? 2

) ?1
n

……………………………8 分

又∵ a 2

? 3 ，∴ (

p p ? 2

) ?1? 3
2

，∴ p

? 4

，∴ a n

? 2 ?1
n

……………………………10 分

（3）由（2）得 b n

? lo g 2 2

n

，即 b n

? n, (n ? N )
*

，

数列 {C n } 中， b k （含 b k 项）前的所有项的和是：
（1 ? 2 ? 3 ? ? k ? ? )
0

(? 2

1

?2

2

?? ? 2

k?

2

? 2

?)

k (k ? 1 ) 2 ? 2

k

?

…………………12 分 2 2

当 k=10 时，其和是 5 5 ? 2 1 0 ? 2 ? 1 0 7 7 ? 2 0 1 1 当 k=11 时，其和是 6 6 ? 2 1 1 ? 2 ? 2 1 1 2 ? 2 0 1 1 又因为 2011-1077=934=467 ? 2，是 2 的倍数 所以当 m
? 1 0 ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 4 6 7 ? 9 8 8
2 8

………………………………14 分 时， T m
? 2011

，

所以存在 m=988 使得 T m 20．⑴当 x ?
a 2

? 2011

……………………………………16 分

a 2

时， f ( x ) ?

49 4

a x 为增函数． …………………………………（1 分）
2
4

当 x ?

2 时， f ? ( x ) = 3 x ?

3a x
2

．令 f ? ( x ) ? 0 ，得 x ? a 或 x ? ? a ．…………（3 分）
a 2 a 2

∴ f ( x ) 的增区间为 ( ? ? , ? a ) ， ( ? ⑵由右图可知， ①当 1 ? a ? 2 时，
a 2

,

) 和 ( a , ? ? ) ．……………………………（4 分）

? 1 ? a ， f ( x ) 在区间 ?1, a ? 上递减，在
f ( a ) ? 4 a ；………（6 分）
3

? a , 2 ? 上递增，最小值为

②当 0 ? a ? 1 时， f ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 为增函数，最小值为
f (1) ? 1 ? 3 a ；……………………………（8 分）
4

③当 a ? 2 时， f ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 为增函数，最小值为

f ( a ) ? 4 a ； ……………………………（9 分）
3

综上， f ( x ) 最小值 g ( a ) ? ?

?1 ? 3 a ? 4a
3

4

0 ? a ?1 1? a ? 2

． ……………………………… （10 分）

⑶由 f ( x ) f ( 2 t ? x ) ? f 2 ? t ? ? ? f ( x ) ? f ( 2 t ? x ) ? f ( t ) ， 可得 ? f ( t ) ? f ( x ) ?? f ( t ) ? f ( 2 t ? x ) ? ? 0 ， 即?
? f (t ) ? f ( x )

………………………………（12 分）

? f (t ) ? f ( 2 t ? x )

或?

?

f (t ) ? f ( x )

? f (t ) ? f ( 2 t ? x )

成立， 所以 t 为极小值点， t 为极大值点． 或 又

a ? ? a x ? ? , 2 t ? ? 时 f ( x ) 没有极大值，所以 t 为极小值点，即 t ? a ……………（16 分） 2 ? ? 2

（若只给出 t ? a ，不说明理由，得 1 分）

附加题答案
21. A . 【证明】因为 P A 与圆相切于 A ， 所以 D A
2

P D A B O·

? DB ? DC

，

因为 D 为 PA 中点，所以 D P ? D A ， 所以 DP =DB· DC，即 因为 ? B D P 所以 ? D P B
? ?PDC ? ?DCP
2

PD DC

?

DB PD

． ……………5 分

， ．

所以 ? B D P ∽ ? P D C ， …………………… 10 分 C

B．解：矩阵 M 的特征多项式为
f (? ) ?

? ?1
? 2

? 2

? ? x

= ( ? ? 1 )( ? ? x ) ? 4 ………………………1 分

因为 ? 1 ? 3 方程 f ( ? ) ? 0 的一根，所以 x ? 1 ………………………3 分 由 ( ? ? 1 )( ? ? 1 ) ? 4 ? 0 得 ? 2 ? ? 1 ，…………………………………5 分 设 ? 2 ? ? 1 对应的一个特征向量为 ? ? ? ? ,
? y?
?? 2 x ? 2 y ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 0

?x ?

则?

得 x ? ? y …………………………………………8 分

令 x ? 1, 则 y ? ? 1 ,

所以矩阵 M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为 ? ? ? C．消去参数 t ，得直线 l 的直角坐标方程为 y
? ? 2
2 (s in ? ?

?1

? ? ………10 分 ? ? 1?

? 2 x ? 1 ；…………… 2

分

?
4

)

即?

? 2 (s in ? ? c o s ? )

，

两边同乘以 ? 得 ? 2

? 2 ( ? s in ? ? ? c o s ? )
2

，
2

得⊙ C 的直角坐标方程为： ( x 圆心 C 到直线 l 的距离 d 所以直线 l 和⊙ C 相交． D. 因为 y 2
? ( 1? x ? 2 ?

? 1) ? ( x ? 1) ? 2
2 5 5

, …………………… 6 分 ，

?

|2 ?1?1| 2 ?1
2 2

?

?

2

…………………………………………………… 10 分
2 ? x)
2

≤ [1 2

? (

2 ) ][1 ? x ? 2 ? x ] ? 3 ? 3
2

………6 分

∴ y ≤ 3 …8 分， 当且仅当
1 1? x ? 2 2 ? x

时取 “ ? ”号，即当 x

?0

时， y m a x

? 3

………10 分

22.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x ? y …………4 分
2

(2)

2 2 2 证明：设 A ( x 1 , x 1 ) , B ( x 2 , x 2 ) ， ∵ y ? x ， ∴ y ? ? 2 x ，∴ A N , B N 的斜率

分别
2 为 2 x 1 , 2 x 2 ，故 A N 的方程为 y ? x 1 ? 2 x 1 ( x ? x 1 ) ， B N 的方程

y

2 为 y ? x 2 ? 2 x 2 ( x ? x 2 ) …7 分

? y ? 2 x1 x ? x1 x ? x2 x ? x2 ? 即? ， 两式相减， x N ? 1 得 ， xM ? 1 又 ， 2 2 2 ? y ? 2 x2 x ? x2 ?
2

F· P ·

O

x

∴ M , N 的横坐标相等，于是 M N ? x ………………10 分 第 22 题 23.(1) P ( ? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率.其中 ? 的可能取值为0，1，2，3.
1 ? 1 0 ? 0 2 P ( ? ? 0 ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 (1 ? a ) ? (1 ? a ) 2 ? 2 ?

,2 ,

P ( ? ? 1) ? C 1 ?
1

1

1 ? 1 1 0 2 0 ? 2 C 2 (1 ? a ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 a (1 ? a ) ? (1 ? a ) 2 2 ? 2 ?

P (? ? 2 ) ? C 1 ?
1

1

1 ? 2 2 1 1 0 ? 2 C 2 a (1 ? a ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 a ? ( 2 a ? a ) 2 2 ? 2 ?

,

P (? ? 3 ) ? C 1 ?
1

1 2

C 2a

2

2

?

a

2

.

所以 ? 的分布列为
?

2

0
1

1
2

2
2

3
2

P
2

(1 ? a )

1 2

(1 ? a )

1 2

(2a ? a )

a

2

2

?

的数学期望为
1 2

E? ? 0 ?

(1 ? a ) ? 1 ?
2

1 2

(1 ? a ) ? 2 ?
2

1 2

(2 a ? a ) ? 3 ?
2

a

2

?

4a ? 1 2

.

……………5分

2

(2)

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 0 ) ? 1 2

1

? ? 1 ? a 2 ? ? (1 ? a ) 2 ? ? a (1 ? a ) ? 2 ?
2 2

,

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 2 ) ?

? (1 ? a ) ? ( 2 a ? a ) ? ? ? ?
? (1 ? a ) ? a ? ? ? ?
2 2

1 ? 2a 2
2

,

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 3 ) ?

1 2

1 ? 2a 2

.

? ? a (1 ? a ) ? 0 , ? 1 ? 1 ? 2a 由? ? 0 , 和 0 ? a ? 1 ，得 0 ? a ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2a ? 0 ? 2 ?

,即 a 的取值范围是 ? 0 ,
?

?

1? ? 2?

.

…… 10 分