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1[1].1集合及其表示法


1.1 集合及其表示法
一、集合概念的描述 (一)引入: (1)复旦实验中学高一年级全体学生; (2)所有的锐角三角形; (3)这间教室里所有的课桌; (4)所有的正有理数; (5)一个正方形 ABCD 内部的点的全体; (6)不等式 3 x ? 2 ? 0 的解的全体; (7)方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的解的全体。
2

(二

) 、学习新课

1.集合的有关概念:
(1)集合:把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合,简称集。 集合常用大写英文字母 A 、 B 、 C ??表示; 我们既要研究集合这个整体,也要研究这个整体中的个体。我们称集 合中的各个对象叫做这个集合的元素;集合中的元素常用小写英文字 母 a 、 b 、 c ??表示;

例1. 判断下列各种情形能否组成集合
1

(1) 面积等于 1 米 的矩形的全体; (2) 绝对值小于 1 的实数的全体; (3) 某校高个子的学生; (4) 到两坐标轴距离相等的点的全体; (5) 上海著名的科学家。

2

(2)集合中元素的特点: ① 确定性:任何一个对象或者是某个给定集合的元素或者不是; ② 互异性:每个给定的集合中的元素各不相同,即集合中的元素不重 复出现; ③ 无序性:每个给定集合中的元素的位置与排放的先后顺序无关。 (3)集合的分类: ① 有限集:含有有限个元素的集合; ② 无限集:含有无限个元素的集合; ③ 空集:不含有任何元素的集合,记作: ? 。

2.集合的表示方法: ① 列举法:将集合中的元素一一列出来(不考虑元素的顺序) ,并且写 在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法;
2

如 由数 1,3,5,7,9 组成的集合可表示为: ?1, 3, 5, 7 , 9 ? ② 描述法:在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖 线,在竖线右边写上这个集合中元素所共同具有的特性,即:
A?

?x

x 满 足 的 性 质 p ? ,这种表示集合的方法叫做描述法.

如①由不等式 3 x ? 2 ? 0 的解的全体组成的集合可表示为:

?x

2? ? 3 x ? 2 ? 0? 或 ? x x ? ? ? , 3? ?
2

②方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的解的全体可表示为:

?x

x ? 3 x ? 2 ? 0 或 ? x x ? 1, 2 ?
2

?

③ 图示法:把集合中的元素写在一个光滑封闭的曲线内。

3.特殊集合的表示: 常用的集合的特殊表示法:实数集 R (正实数集 R ) 、 有理数集 Q (负有理数集 Q ) 、整数集 Z (正整数集 Z ) 、 自然数集 N (包含零) 、不包含零的自然数集 N ; 空集 ? (例:方程 x ? 2 ? 0 的实数解集为 ? ).
2
*

?

?

?

4.元素与集合的关系: 元素与集合的关系仅有属于“ ? ”和不属于“ ? ”两种 若 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作: a ? A ; 若 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作: a ? A ;

3

如: A ? ? x x ? ?
?

?

2? ? 3?

,1 ? A , ? 1 ? A

例 2.用列举法表示下列集合: (1) ? x ?
? ? 10 3 ? x? 8 ? ,x?Z? 3 ?

(2)所有小于 20 的质数组成的集合

(3) ? x
?

?

? ? Z,x? Z? x?3 ? 8
2

(4) ? ? x , y ? x ? y ? 6, x ? N , y ? N ?

(5) ? x x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R ? *(6) ? x x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R ?
2

例 3.用描述法表示下列集合 (1)正偶数集; (2)被 3 除余 2 的整数的全体所组成的集合; (3)由直线 y ? x ? 4 上所有点所组成的集合;
?4 x ? y ? 6 ?3 x ? 2 y ? 7

(4)方程组 ?

的解集.

4

例 4、用符号 ? 或 ? 填空: (1)2______ N (4)0______ ? 0 ? (7) 2 3 _ _ _ _ x x ? (2) 2 ______ Q (5) b ______ ? a , b , c ? (3)0____ ? (6)0______ N
*

?

11

?
?

(8) 3 _ _ _ _ x x ? n ? 1, n ? N
2

?

*

?
?

(9) ? ? 1,1 ? _ _ _ _ ? y y ? x

2

(10) ? ? 1,1 ? _ _ _ _ ? ? x , y ? y ? x

2

(三) 、巩固练习 课本 P7,练习 1.1

(四)、课堂小结
(五) 、作业布置 习题册 1.1

集合的概念、表示方法

(补充)已知集合 A ? x x ? a ?

?

2b, a , b ? Z ,

?

若 x 1 , x 2 ? A ,判断: x 1 ? x 2 ? A 是否成立.

随堂练习:把下列集合用另一种方法表示出来: (1) ? (1, 2 ), ( 2,1)? ;
? ? 12

(2) x x ? 3 x ? 4 ? 0
2

?

?

(3) ? x

? ? ? Z,x? Z ? 6?x ?

备用题:已知集合 A ? x a x ? 3 x ? 2 ? 0, a ? R , x ? R
2

?

?

5

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值。

6


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