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2.1.2指数函数习题课


2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质

一、指数函数的概念 1.解析式:________________. y=ax(a>0,且a≠1) 2.自变量:__. x 思考:指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么? 提示:(1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1. (3)ax的系数

是1.

二、指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象 请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出a>1和0<a<1时 的指数函数的图象

2.指数函数的性质 定义域 值域 定点

R __ (0,+∞) ________
(0,1) 1 ______,即x=__时,y=__ 0 减函数 当0<a<1时,在R上是_______ 增函数 当a>1时,在R上是_______

单调性

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x轴的上方.( (2)当a>1时,对于任意x∈R总有ax>1.( (3)函数f(x)=2-x在R上是增函数.( ) ) )

提示:(1)正确.直接观察指数函数的图象知指数函数的图象 一定在x轴的上方. (2)错误.当a>1时,对于任意x>0有ax>1,但是对任意x≤0 有0<ax≤1. (3)错误.函数f(x)=2-x可化为y=( )x,其底数是 , 所以函 数f(x)=2-x在R上是减函数. 答案:(1)√ (2)× (3)×
1 2 1 2

【知识点拨】 1.指数函数中规定a>0,且a≠1的原因 (1)如果a=0,当x>0时,ax恒等于0;当x≤0时,ax无意义. (2)如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于 x ? , ,?, 在实数范围 内该函数无意义. (3)如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
1 1 2 4

2.指数函数图象的变化趋势

3.指数函数值的变化规律
(1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律:

①当a>1时,若x>0,则y>1;
若x<0,则0<y<1. ②当0<a<1时,若x>0,则0<y<1; 若x<0,则y>1. (2)指数函数中函数值的“有界性”: 当a>0,且a≠1时,对于任意x∈R总有ax>0.

4.指数函数图象和性质的巧记 (1)指数函数图象的记忆方法:一定二近三单调,两类单调正 相反. (2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调,性质不同因 为a,分清是0<a<1,还是a>1,依靠图象记性质.

类型 一

指数函数的概念

【典型例题】 1.下列函数中是指数函数的有______(填序号). (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x; (4)y=(-4)x;(5)y=4x+1;(6)y=xx; (7)y= 4x ; (8)y=(2a-1)x(a> , 且a≠1). 2 2.若函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数,则实数a=______.
2

1

【解题探究】1.判断一个函数是不是指数函数的依据是什么? 2.题2中根据指数函数的定义可知,实数a应满足哪些条件? 探究提示: 1.判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具 有的三个特征: (1)底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 2.实数a应满足a2-5a+5=1,a>0且a≠1.

【解析】1.(1)(8)为指数函数. (2)不是指数函数,因为自变量不在指数上. (3)不是指数函数,因为4x的系数是-1. (4)不是指数函数,因为底数-4<0. (5)不是指数函数,因为y=4x+1=4·4x. (6)不是指数函数,因为底数x不是常数,不符合指数函数的定义. (7)不是指数函数,因为指数不是自变量x,而是x2.

答案:(1)(8)

?a 2 ? 5a ? 5 ? 1 , 2.由指数函数定义得 ? 解得a=4. , ?a ? 0, 且a ? 1

答案:4

【拓展提升】 1.判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式:只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1) 这一结构特征. (2)明特征:指数函数的解析式具有三个特征,只要有一个特 征不具备,则不是指数函数.

2.已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

1 【变式训练】指数函数f(x)的图象过点(-3, ),则 8

f(2)=______. 【解析】设f(x)=ax(a>0,且a≠1).
1 ≧f(x)的图象过点(-3, ), 8 1 ?a-3= , 3=8,故a=2,?f(x)=2x,?f(2)=22=4. a 8

答案:4

类型 二

指数函数的图象问题

【典型例题】

1.当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是(

)

2.图中的曲线是指数函数y=ax的图象,已知a的值取 3, 1 , 4 , 3
10 3 5

四个值,则相应的曲线c1,c2,c3,c4的a的值依次为(
A. 4 , 3, 1 , 3
3 10 5 B. 3 , 1 , 3, 4 5 10 3 C. 1 , 3 , 4 , 3 10 5 3 D. 3, 4 , 3 , 1 3 5 10

)

3.(2013·双鸭山高一检测)当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3 必过定点______.

【解题探究】1.题1中指数函数的图象自左向右是上升的还是

下降的?二次函数图象的开口方向是向上还是向下?
2.底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的?

3.指数函数的图象恒过哪个点?为什么?

探究提示:
1.本题中a>1,所以指数函数的图象自左向右是上升的;二次

函数y=(a-1)x2图象的开口方向向上.
2.(1)当a>1时,指数函数的图象从左到右是上升的,当0<a <1时,指数函数的图象从左到右是下降的. (2)在第一象限内,沿直线x=1从下到上看,指数函数的底数 由小变大. 3.指数函数的图象恒过定点(0,1).因为任何非负数的零次幂 等于1,即a0=1.

【解析】1.选A.由a>1知函数y=ax的图象过点(0,1),分布在

第一和第二象限,且从左到右是上升的.
由a>1知函数y=(a-1)x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶

点为原点.综合分析可知选项A正确.
2.选A. 因为直线x=1与函数y=ax的图象相交于点(1,a).

又因为 0< 1 <3 << 4 < 3, 所以曲线c1,c2,c3,c4的a的值依次为 1
10 4 1 3 , 3, , . 3 10 5 5 3

3.当a>0且a≠1时,总有
f(2)=a2-2-3=a0-3=1-3=-2,

所以函数f(x)=ax-2-3必过定点(2,-2).
答案:(2,-2)

【互动探究】若题1中的“a>1”改为“a>0,且a≠1”, “y=(a-1)x2”改为“ y=x+a”,则图象可能是( )

【解析】选B.当a>1时,函数y=ax的图象过点(0,1),分布在 第一、二象限,且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、 三象限,与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A,B,C, D四项均不符合此要求.当0<a<1时,函数y=ax的图象过点 (0,1),分布在第一、二象限,且从左到右是下降的. 直线 y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a),在点(0,1) 和点(0,0)之间.只有B项符合此要求.

【拓展提升】

1.处理指数函数图象问题的两个要点
(1)牢记指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1),分布在第一和

第二象限.
(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.

2.底数变化对指数函数图象形状的影响 指数函数y=ax的图象如图所示,由指数函数y=ax的图象与直线 x=1相交于点(1,a)可知: (1)在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; (2)在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. 如图中的底数的大小关系为 0<a4<a3<1<a2<a1.

类型 三

指数函数的定义域和值域问题

【典型例题】
1.(2013·厦门高一检测)已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)

的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为(
A.[9,81]

)

B.[3,9]

C.[1,9]
2.求函数 y ? 2
1 x-1

D.[1,+∞)
的定义域和值域.

【解题探究】1.已知函数图象经过某点,则此点与函数解析 式的关系是什么?若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则 当x∈[a,b]时,函数f(x)的值域是什么? 2.函数 y ? 2 探究提示: 1.因为函数图象与解析式一一对应,所以经过函数图象的点 满足函数解析式,若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则
1 x-1

与函数 y ?

1 定义域相同吗? x-1

当x∈[a,b]时,函数f(x)的值域是[f(a),f(b)].
2.函数 y ? 2
1 x-1

与函数 y ?

1 定义域相同. x-1

【解析】1.选C.因为函数f(x)=3x-b的图象经过点(2,1),所 以32-b=1,所以2-b=0,b=2, 所以f(x)=3x-2.由2≤x≤4得0≤x-2≤2, 因为函数y=3x在区间[0,2]上是增函数. 所以30≤3x-2≤32, 即1≤3x-2≤9,所以函数f(x)的值域是[1,9].

2.由x-1≠0得x≠1, 所以函数 y ? 2 令 t?
1 x-1

的定义域是{x|x≠1}.

1 ,则t∈{t|t≠0}. x-1

根据指数函数y=2t的图象可知 y=2t∈{y|y>0且y≠1}, 所以函数 y ? 2
1 x-1

的值域是{y|y>0且y≠1}.

【拓展提升】
1.函数单调性在求函数值域中的应用 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则 f(a)≤f(x)≤f(b),值域为[f(a),f(b)]. (2)若函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则 f(a)≥f(x)≥f(b),值域为[f(b),f(a)].

2.函数y=af(x)定义域、值域的求法

(1)定义域
函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域 ①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.

1 x 【变式训练】求函数f(x)=( ) +1(x∈[-1,1])的值域. 2 1 x 1 x 【解题指南】利用指数函数y=( ) 的单调性,先求( ) 的范 2 2 1 x 围,再求( ) +1的范围. 2

【解析】因为x∈[-1,1],
1 x ) 在区间[-1,1]上是减函数, 2 1 1 1 1 1 所以( )-1≥( )x≥ , 即2≥( )x≥ , 2 2 2 2 2 3 1 3 所以 ? ( ) x ? 1 ? 3, 所以所求函数的值域为[ , 3]. 2 2 2

且y=(

【易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误
【典例】(2013·淮安高一检测)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在

[0,1]上的最大值与最小值的差为 1 ,则a=______.
2

【解析】(1)当a>1时,函数f(x)=ax在[0,1]上是增函数.所以

当x=1时,函数f(x)取最大值;当x=0时,函数f(x)取最小值.
由题意得f(1)-f(0)=
3 1 1 , 即a-a0= , 解得a= . 2 2 2

(2)当0<a<1时,函数f(x)=ax在[0,1]上是减函数①.所以
当x=1时,函数f(x)取最小值;当x=0时,函数f(x)取最大值.
1 1 0-a= 1 , 由题意得f(0)-f(1)= , 即a 解得a= . 2 2 2 3 1 综上知a= 或 . 2 2 3 答案: 或 1 2 2

【类题试解】已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间 [-1,2]上的最大值为10,则a=______. 【解析】(1)若a>1,则函数y=ax在区间[-1,2]上是递增的, 当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10, 即a2=7,又a>1,?a= 7. (2)若0<a<1,则函数y=ax在区间[-1,2]上是递减的, 当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,?a= 综上所述,a的值为 7 或 . 7 答案: 7 或 7
1 1 1 . 7

【误区警示】

【防范措施】 1.加强分类讨论的意识 在解含字母的指数函数的有关问题时,要重视分类讨论思想 的应用.如本例中的函数f(x)=ax在a>1和0<a<1两种情况下, 最大值和最小值的取值情况是不同的. 2.重视指数函数单调性的应用 对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢,学会适时使用. 如本例中根据a的大小,确定指数函数的单调性,就可以得到 最大值、最小值,进而列方程求解.

1.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则(

)

A.a<0,b<0 C.0<a<1,b>1

B.a<0,b>0 D.0<a<1,0<b<1

【解析】选C.指数函数在底数大于1时单调递增,底数大于0 小于1时单调递减,因而选C.

2.当a>0,且a≠1时,函数f(x)=2-ax-1必过定点______. 【解析】令x-1=0得x=1,f(1)=2-a0=1,故必过定点(1,1). 答案:(1,1)

3.集合A={-1,0,1},B={y|y=3x,x∈A},则A∩B=______. 【解析】≧集合A={-1,0,1},B={y|y=3x,x∈A}, ?B={
1 , 1,3},?A∩B={1}. 3

答案:{1}

4.函数 y ? ( )

1 10

2x-1

的定义域是______.

【解析】要使函数解析式有意义则2x-1≥0,
1 2 1 答案:[ , +≦) 2

所以x≥ , 所以函数 y ? ( 1 )
10

2x-1

的定义域是[ , +≦).

1 2

5.求函数f(x)=3-x-1的定义域、值域. 【解析】因为f(x)=3-x-1=(
1 x ) -1, 3

所以函数f(x)=3-x-1的定义域为R.
1 x 1 x 由x∈R得( ) >0,所以( ) -1>-1, 3 3

所以函数f(x)=3-x-1的值域为(-1,+≦).


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