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立体几何测试题(文科)


立体几何文科试题 立体几何文科试题
小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题: 1、设有直线 m、n 和平面 α 、 β .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ α ,n∥ α ,则 m∥n B.若 m ? α ,n ? α ,m∥ β ,n∥ β ,则 α ∥ β C.若 α ⊥ β ,m ? α ,则 m ⊥ β D.若 α ⊥ β ,m ⊥ β ,m ? α ,则 m∥ α 2、已知直线 l , m 与平面 α, β , γ 满足 β I γ = l, l // α, m ? α 和 m ⊥ γ ,则有 A. α ⊥ γ 且 l ⊥ m C. m // β 且 l ⊥ m B. α ⊥ γ 且 m // β D. α // β 且 α ⊥ γ )

3.若 a = ( 0,1, ?1) , b = (1,1, 0 ) ,且 a + λ b ⊥ a ,则实数 λ 的值是( ) A .-1 B.0 C.1 D.-2 4、已知平面α⊥平面β,α∩β= l,点 A∈α,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β

r

r

(

r

r

)

r

5 一个几何体的三视图及长度数据如图,则几何体的表面积与体积分别为

( A)7 +

2 ,3

(B )8 +

2, 3

(C )7 +

3 2, 2

(D )8 +

2,

3 2

6、已知长方体的表面积是 24cm ,过同一顶点的三条棱长之和是 6cm ,则它的对角线长是 ( A. )

2

14cm

B. 4cm

C. 3 2cm

D. 2 3cm

7、已知圆锥的母线长 l = 5cm ,高 h = 4cm ,则该圆锥的体积是____________ cm

3

A. 12π

B 8π

C. 13π

D. 16π

8、某几何体的三视图如图所示,当 a + b 取最大值时,这 个几何体的体积为 ( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2

9







A, B , C , D













上, AB ⊥ 平面BCD, BC ⊥ CD , 若 AB = 6, AC = 2 13, AD = 8 ,则 B, C 两点间的球 面距离是 ( A. ) B.

π
3

4π 3

C.

2π 3

D.

5π 3

10、四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上,且 CD = 2 , AB = 点间的球面距离是( A. ) B.

3 ,在外接球面上 A,B 两 5π 6


π 6
B.2cm

π 3

C.

2π 3

D.

11、 半径为 2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上, 一阵风吹倒它, 它的最高处距桌面 ( A.4cm C. 2 3cm D. 3cm

12、 有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察 的结果如图所示.如果记 3 的对面的数字为 m,4 的对面的数字为 n,那么 m+n 的值为 ( ) A.3 B.7 C.8 D.11

个小题。把答案填在题中横线上。 二.填空题:本大题共 4 个小题。把答案填在题中横线上。 填空题: 13.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 ________ 14、在 ABC 中, AB = 13, AC = 12, BC = 5 , P 是平面 ABC 外一点,

PA = PB = PC =

13 10 ,则 P 到平面 ABC 的距离是 2

15 、 设 A、B、C、D 是 半 径 为 2 的 球 面 上 的 四 个 不 同 点 , 且 满 足 AB ? AC = 0 ,

uuu uuur r

uuur uuur uuur uuu r AC ? AD = 0 ,AD ? AB = 0 , S1、S2、S3 分别表示△ ABC 、 ACD 、 ABD 的面积, 用 △ △
则 S1 + S 2 + S3 的最大值是 .

16、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 2,2,3, 则此球的表面积为 .

个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: ∠ACB=90°.E 17、 (本小题满分 12 分)如图: 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2, 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= 3 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1-CDE 的体积.

18、(本小题满分 12 分) 如图 6,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

P

ABCD 是直角梯形, AD // BC , ∠BAD =90?, BC = 2 AD .
(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.

C
D A
图6

B

19、(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中, ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形, ∠APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

20、(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

CC1 = AC = BC = 2 , ∠ACB = 90° .
(1) 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图,请据此画出它的 左视图和俯视图; (2) 若 P 是 AA1 的中点,求四棱锥 B1 ? C1 A1 PC 的体积.
主视图 左视图

A1

C1

2
A
俯视图

2

C

21、(本小题满分 12 分)如图所示,等腰△ABC 的底边 AB=6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上 异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB.现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置, PE⊥AE.记 BE = x 使 V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值?

22.(本小题满分 14 分) 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视 图在下面画出(单位:cm)(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视 。 图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG。
6

D' G F B'

C'

2

2

2 4

E D A B C
正侧侧
4

侧侧侧

答案: 答案:

一、选择题 1 D 2、A3、D 4、D 5、C6、D 7、A. 8、D 、 、 、 、 、 、 、 9、B 10、C 11、D 12、C 、 、 、 、 二、填空题 13、 、

4 π 3

14、 、

39 2

15、8 、

16、17π 、

三、解答题 解答题 17 解:解:(1)在 Rt△DBE 中,BE=1,DE= 3 ,∴BD= DE -BE
2 2

1 = 2 = 2 AB,

∴ 则 D 为 AB 中点, 而 AC=BC, ∴CD⊥AB 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴CD⊥AA1 又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB ? 平面 A1ABB1 故 CD⊥平面 A1ABB1 6分 (2)解:∵A1ABB1 为矩形,∴∴A1AD,∴DBE,∴EB1A1 都是直角三角形, ∴ S ?A1DE = S A1 ABB1 ? S ?A1 AD ? S ?DBE ? S ?EB1 A1 1 1 1 3 =2×2 2 -2 × 2 ×2-2 × 2 ×1-2 ×2 2 ×1= 2 2 1 1 3 ∴ VA1-CDE =VC-A1DE = 3 ×SA1DE ×CD= 3 ×2 2 × 2 =1 -------------------------12 分 ∴ 三棱锥 A1-CDE 的体积为1.

18 解:解: (1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ∵ AB ⊥ AD , PA I AD = A , ∴ AB ⊥平面 PAD , ∵ PD ? 平面 PAD ,∴ AB ⊥ PD . (2)法 1: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE , EF , DF , 则 EF 是△ PBC 中位线.
P F E

…… 2 分

…… 4 分 …… 6 分

∴ EF ∥ BC ,

EF =

1 BC 2 ,

……8 分
D A B

C

1 AD = BC 2 ∵ AD // BC , ,
∴ AD // EF , AD = EF .

∴ 四边形 EFDA 是平行四边形, ∴ AE // DF . ∵ AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点.

……10 分

……12 分

法 2: 取线段 PB 的中点 E , BC 的中点 F ,连结 AE , EF , AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线.
P

∴ EF ∥ PC ,

CF =

1 BC 2 ,
D A

E C F B

∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD . …… 8 分

∵ AD // BC ,

AD =

1 BC 2 ,

∴ AD // CF , AD = CF .∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ∴ AF // CD ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ∵ AF I EF = F ,∴平面 AEF // 平面 PCD .∵ AE ? 平面 AEF , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. ……12 分 ……10 分

19 如图,连接 AC, ∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴AC 必经过 F 1分

又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP 2分 4分

∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内,∴EF∥面 PAD

(2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD I 面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD, 又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线,AP⊥面 PCD 又 AD ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD (3)取 AD 中点为 O,连接 PO, 因为面 PAD⊥面 ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形,所以 PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高 ∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥 P—ABCD 的体积 V = 10 分 6分 7分 8分

1 2 PO ? AB ? AD = --------12 分 3 3

20 解:

主视图

左视图

A1

C1

C1

B1
C1 B1

2
C
C1

2 B

…3
A1

A
俯视图

2 2

C

2

P
C

B

A1

A

…6

2
B1
(2)解:如图所示. 由 B1C1 ⊥ A1C1 , B1C1 ⊥ CC1 ,则 B1C1 ⊥ 面 ACC1 A1 .所以, 四棱锥 B1 ? C1 A1 PC 的体积为 VB1 ?C1 A1PC =

1 1 ?1 ? ? B1C1 ? SC1 A1PC = ? 2 ? ? (1 + 2 ) ? 2 ? = 2 . 3 3 ?2 ?

…10 …12

21 解: (1) V =

1 1 x 6 3 (9 6 ? ? ? x) ? x (0 < x < 3 6) 即 V = 3 6 x ? x (0 < x < 3 6) 3 2 6 36
6 2 6 x = (36 ? x 2 ) ,∴ x ∈ (0, 6) 时, V ′ > 0; ∴ x ∈ (6,3 6) 时, V ′ < 0; 12 12

(2) V ′ = 3 6 ?

∴ x = 6 时 V ( x ) 取得最大值.

22 、解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 4 2 2 (俯视图) 6

································································································ 4 分 (Ⅱ)所求多面体体积

V = V长方体 ? V正三棱锥

1 ?1 ? = 4× 4× 6 ? ×? × 2× 2?× 2 3 ?2 ?
284 D′ C′ (cm 2 ) . ············································································ 9 分 G 3 F A′ B′ (Ⅲ)证明:在长方体 ABCD ? A′B′C ′D′ 中, 连结 AD′ ,则 AD′ ∥ BC ′ . E D 因为 E,G 分别为 AA′ , A′D′ 中点, C 所以 AD′ ∥ EG , A B 从而 EG ∥ BC ′ .又 BC ′ ? 平面 EFG , 所以 BC ′ ∥面 EFG . ·············································································································· 14 分 =


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