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2014陕西高考数学理


2014 年陕西高考数学试题(理)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知集合 M

? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M
B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)


N ?(


<

br />A.[0,1]
2.函数

A.

? 2

f ( x) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期是( 6
B.?
1 x

?

C .2?


D.4?

3.定积分

? (2 x ? e )dx 的值为(
0

A.e ? 2

B.e ? 1

C .e

D.e ? 1


4.根据右边框图,对大于 2 的整数 N ,学科网得出数列的通项公式是(

A.an ? 2n

B.an ? 2(n ? 1)

C.an ? 2n

D.an ? 2n?1

5.已知底面边长为 1,侧棱长为

2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(
C .2?



A.

32? 3

B.4?

D.

4? 3

6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ( )

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5
) ( )

7.下列函数中,满足“
1 2

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是(
(C)

f

?

? ?x

3 (B) f ? x ? ? x x

?1? f ? x? ? ? ? ?2?

x

(D)

f ? x ? ? 3x

8.原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数,则 如下,正确的是( )

z1 ? z2

” ,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次

(A)真,假,真 9.设样本数据 x1 , x2 ,

(B)假,假,真

(C)真,真,假

(D)假,假,假

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数,

i ? 1, 2,

,10 ) ,则 y1 , y2,

y10 的均值和方差分别为(
(C) 1, 4

) (D) 1, 4+a 已知下降飞行

(A) 1+a, 4

(B) 1 ? a, 4 ? a

10.如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点

A 的水平距离 10 千米处下降,


轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为学科网(

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 x ?x (C) y ? 125
(A)

y?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 x ? x (D) y ? ? 125 5
(B)

y?

第二部分(共 100 分) 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.已知 4
a

? 2, lg x ? a, 则 x =________.
y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为_______.

12.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 (1,0) 关于直线 13. 设 0 ? ?

?

?
2

,向量 a

?

? ? ? ? ?sin 2? , cos? ?, b ?cos? , 1? ,若 a // b ,则 tan ? ? _______.

14. 观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 立方体 面数( F ) 5 6 6 顶点数( V ) 6 6 8 棱数( E ) 9 10 12

V, E 所满足的等式是_________. 猜想一般凸多面体中, F ,
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A. (不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a2 ? b2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2

的最小值为

B.(几何证明选做题) 如图,?ABC 中,BC ? 6 , 以 BC 为直径的半圆分别交 AB, AC 于点 E , F ,



AC ? 2 AE ,则 EF ?

C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (2,

?

) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离是 6 6

?

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos (II)若 a ,

A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ;

B 的最小值.

17. (本小题满分 12 分)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过被

AB 的中点 E 作平行于 AD , BC

DC, CA 于点 F , G, H. 的平面分别交四面体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线

AB 与平面 EFGH

夹角 ? 的正弦值.

18. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 三边围成的 区域(含边界)上 (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求

A(1,1), B(2,3), C (3,2) , 点 P ( x, y ) 在 ?ABC

OP ;

(2)设 OP ? m AB ? n AC(m, n ? R) ,用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元 的概率.

20.(本小题满分 13 分)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛物 a 2 b2

线 C2

: y ? ?x2 ? 1( y ? 0) 连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为

3 . 2

(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点

A, B ) ,若 AP ? AQ ,求直线 l 的方程.

21.(本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(1) g1 ( x) (2)若

? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( gn ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式;

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)设 n ? N ? ,比较 g (1) ?

g (2) ?

? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.


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