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由一道数学联赛题引申出的新结论


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中学数学教学  

2 0 0 4 年第4 期 

由一道数学联赛题引申出的新结论 
山东省邹平县教育局教研室  姜坤崇 ( 邮编: 2 5 6 2 0 0 )  
1 9 9 8 年全国高中数学联赛第一试第五题是

:  
已知抛物线 Y   :2 p : c 及定 点A( n , b ) , B( 一a ,  

否 具有 类似 性质的问 题。丽   a -  n   , 故若对于椭  
圆 c的另一条对称轴(  轴) 也具有这一性质的话, 那 
么 两点就应是 A(   1 ) 和B ( 0 一 o) 了。  

0 ) , ( Ⅱ 6 ≠0 , b   ≠2 p a ) 。M 是抛物线上的点, 没直线  

A M、 B M 与抛物线的另一交点分别为M。 、 M2 。  
求证: 当 M 点在抛物线上变动时( 只要 M。 , M!   存在且 MI ≠M2 ) , 直线 MI M2 恒过一个定点。并求   出这个定点的坐标。   这道竞赛题的答案是:   直线 M. M! 恒过一定点  

又 将 双 曲 线 ≤一   L   2  1 :  与 椭 圆  + 等: 1   类比 , 凸 。   b   “。   。  
对于 Y 轴而言, 双曲线 C中的两点应为A(  ” t ) 和B  
( ( ) , 一   ) 。  
”l  

N ( n ,  

。具体解答请参阅命题组提供的标准答  

最后, 将圆看成特殊的椭圆, 它有无穷多条对称 
轴。 我们只需选取一条直径所在直线并将其视为椭圆   的一条对弥轴考虑相关的问题即可。   通过以上这些探索, 笔者终于发现了椭圆、 双曲  

案, 这里从略。  

1 竞赛题引发的思考 
我们知道。 圆锥曲线具有相通性, 因此对于抛物线  所具有的一些性质, 我们可以思考在椭圆、 双曲线、 圆  

线、 圆所具有的如下十分重要而有趣的性质( 定理的证 

折的探索过程) , 它们与竞赛题  中是否具有和它相类似的性质, 如果这些曲线也具有  明也经历了一个艰难曲 所阐述的性质合起来可视为圆锥曲 线的一个通性。   这一性质, 那么 此性质即为圆锥曲线的一个通性。  
首先, 要将抛物线的此性质引申 到其它圆锥曲线  

2 几个定理及证明  

中去, 必须搞清楚抛物线问题中点 A、 B及动直线   M  M2 所过定点 N与抛物线的位置关系。显然, 点B  

定 理l给 定 椭 圆 ( 或 双 曲 线 ) c : ≤+  = l ( n >  

>o ) ( 或  一   b   =l ( a > 【 ) , 6 > 【 】 ) ) , A( ,   .  ) , B (   ,   是抛物线对称轴上的一定点, 直线 A N与抛物线对称  6 n  。   l  

轴垂直。对于点 A、 N与抛物线的位置关系, 若点 A   O ) , (   l ≠± n , 7   l ≠( ) ) 是两个定点( 其中 B是 C对称  在抛物线的内部, 线段 A N与抛物线的交点为A   ( n ,  
^  

轴上的一定点, 以下定 理不再作此说明) , M 是C上一 

h ) , 则h 2 = 2  , 而点 A、 N的纵坐标之积亦为b ?  

动点, 设直线 A M、 B M 与c的另一交点分别为M。 、  
M2 . 则直线 MJ M2 通过直线 L : . f =   上的一定点N   ( Ⅲ,   ) ( 或(   ) ) 。  

Ⅳ 

= 2 p a , 故 ?   =h   。对于 A 、 B的关系, 若设点 A  

在抛物线对称轴上的射影为A   ( n , 0 ) , 则点 A   与点B   关于点0( 0为抛物线的顶点) 对称, 而若设抛物线的  

定理2 给定椭圆( 或双曲线) c :   +   L 2   =1 ( n >
b >o ) ( 或  一   =1 ( Ⅱ > o , b >o ) ) , A(  , 优) , I 3 ( o ,   ) ( 或( O , 一b - ) )( m   ≠O 且对于椭圆 m≠ ± b ) 是 


焦 点为F (  , ( ) ) , 准线 与对称 轴的交点为F   ( 一 罟,  
( ) ) , 则此两点也关于点 0对称, 因此, 可以认为两点   B、 A   为两点F 、 F   ( 或F   、 F ) 的一般情形。于是, 将竞  
2  

赛题阐 述的抛物线性质引申到椭圆( 或双曲线) c :   n一  
1   ’  ’ 

两个定点, M是c上一动点. 设直线 A M、 B M 与c的  另一交点分别为MI 、 M: . 则盲线 Ml M2 通过直线 L:  
:  

+   :1 ( 或  一   =1 ) 中, 则两点 A、 B应 为A(  .  
, , 一  
’  

“一  

, ) 一  

上 的 一 定 点 N ( 旦 三   ;  ,   ) ( 或  
,   ) ) 。  

) 、 B(   , 0 ) 。  
7  

其次, 考虑到椭圆、 双曲 线都有两条对称轴, 因此.   对一条对称轴具有的性质也应考虑对另一条对称轴是 

( 一  

定理 3  给定圆 C :  !  Y   =r ! ( P >O ) , A(  ,  

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, I ) , B (  , 0 ) , ( m≠± r ,   ≠0 ) 是两个定点, M是C   上一动点, 设直线 A M、 B M 与C的另一交点分别为 
MI 、 M2 , 则直线 Ml M2 通过 L:  =m上的一定点 
N(  ,   二  ) 。  

又设 N( m,  3 ) , 记 P=2   l ( n ! +z 0 z 1 ) 一( 7  +  

n   ) ( z o + z 1 ) , 则在直线 Ml M2 的方程( z 2 一X 1 ) (  —  


) =(   2 一  1 ) ( z 一 丁 I ) 中令   r =   并将③、 ④代入得 
( X 2 一m)  l 二   ! 二翌  

Y 3  ———_ _ =  二  『 _ 一 
2   4 2 . } 2 a m  - ( m  

由于以上几个定理的证明方法是类似的, 因此, 下 

:  






_— 二 璺 ! 二  
— —




2 ) r0
..



一 Ⅳ 二 J ] :   :   l 一 ( : j : ,   1  


面我们仅给出定理 l 的证明, 其余定理的证明可仿照 
,  

=   2   a 2—2m rf ,  

进行, 本文从略。  

定理 l 的证明   设 C为椭圆  +  
J I v  

l ( n >6 >  
  J l y 

⑤ 



 



l  = 竺 2  = l 墅= 竺 2   竺   二  ) 』 ! 兰 l 二  2   ! 三 ! 兰 J I = 竺2  
l   0  

亚  。 x  
\  / M
, 

P  

(   ) 【 ( a , l - m ) 2 ?   b 2 (   _ ( J I _ 厂   )   墨   : 型   1 一. 2 - 0 ) P  
—  

所以  

[丛 
1一 X O  

② 



b   ( a   一  I   ) ( z 1 一  I 1 ) P   n   ( z 1 一  0 ) P  
 
 

r 当Y o ≠( ) 且直线 B M 不与z轴垂直时, 将直  ② 代  ×   人  线B M 的方程 
z :

! f 堡 ! 二  : 2  




。 

.  

i  ̄y 3 = 鱼 三  


塑二 

v +   代入 c的方程, 应用①式化简得 
上的一定点 N( m,   ) 。  
, 蛳  
【   l

⑤ 得 

即直 线 M , M2 通过直 线 L  

(   l   +n 2 —2 m x 0 )   + 2 ( 舭0 。 一a   )  0 Y+( a   一  
)  = 0 。  

2 。当  I l = 0 , 即 M 为( 一 Ⅱ , 【 1 ) ( 或( Ⅱ , 0 ) ) 或直线  B M 与z 轴垂直时, 易证直线 Ml M2 亦通过定点 N。   综上, 当 c为椭圆  +   l 时定理 1 得证。同  

由于 Y O  ̄ Y ! 为以上关于 Y的二次方程的两个根,   因此由根与系数的关系知  
( a   一m   )  
— Yo Y 2   — 2+ a2
m  


2 mx o ‘  

理可证, 当 c为双曲线  一  

l 时定理 1 亦成立。  

所以   =  ( a   2 -   m 2 )   y o  


.   一  J  
2  

,   =  

③ 

以上我们完成了由抛物线的一个性质到其它圆锥 
曲线的引申。  

从  = X 等 t l / ? 1  等 =  
④ 

( 收稿 日期 2 0 0 4 — 0 3 —1 5 )  

( 上接 第4 6页)  

联系形成结构; 练习必须配合讲评, 且要及时进行, 确   实达到练习的目的。  

⑤一个负数的 绝对值是 5 , 这个数等于多少?  
⑥I 一 3 I +I 一 2 I =?  

⑦I   n   I +! b   I = 0 , 则n = ?b =?   例如: 教师在讲完绝对值的概念和表示方法后, 可  总之, 进行“ 观点” 教育, 不能搞形式主义, 要贯穿   让学生做下面练习, 回答下列各题。   于教学过程, 结合教材特点有意识地有条不紊地进行。   ①一个数的绝对值可能是负数吗?   ②两个数的绝对值相等, 这两个数一定相等吗?   (   I 殳 稿 日期 2 0 0 4 … 【 ) 4 一l 3 )   ③一个数的绝对值是 3 , 这个数等于多少?   ④两个数和的绝对值一定是正数吗7 .  


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