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2.1.1指数与指数幂的运算3


第二章

基本初等函数(I)

2.1指数函数
—2.1.1指数与指数幂的运算
第三课时

温故知新
1.n次方根的定义:
一般地,如果 x ? a,那么x叫做a的n次方根,
n

其中n ? 1且n ? N .
2.根式的简单性质:
1) 当n ? 1, n ? N *时,总有 ( n a )n ? a .
2) 当n为奇数时 , n a n ? a; (a ? 0); ?a 当为偶数时 , a ?| a |? ? ?? a (a ? 0).
n n

?

温故知新
3. 分数指数幂的意义

1) a ? a (a ? 0, m`n ? N , 且n ? 1)
n m

m n

?

2)

a

?

m n

?

1
m n

(a ? 0, m`n ? N , 且n ? 1)

?

3) 0

m n

a m ? ? n ? 0, 0 无意义(m`n ? N , 且n ? 1)
(a ? 0, r , s ? Q ); (a ? 0, r , s ? Q );

4.有理指数幂的运算性质
(1)? a r ? a s ? a r ? s ( 2)? (a r ) s ? a rs

r r r ? ( 3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q ).

温故知新
值得注意的问题:
n (1)对根式n a m 不要随意写成 a m ? ( n a ) m ,事实上这种

写法, 仅当a ? 0时才成立 ,而a ? 0时它是不一定成立的 . 如5 (-2)3 ? ( 5 ? 2 ) 3 , 但4 (-2)2 ? ( 4 ? 2 )2 .
( 2)在根式n a m中, 若根指数 n与幂指数 m有公约数时 , 当a ? 0时可约分 . a ? 0时不可随意约分 当 . 如8 3 2 ? 4 3 ,
10

( ?2) 2 ? 5 ? 2而15 ( ?2)5 ? 3 ? 2 .

(3)指数可以是无理数, 我们在后面加以研究。

2 讨论: 5 的结果?

5 2 的近似值

2的不足近似值

9.518269694 9.672669973 9.735171039 9.738305174 9.738461907 9.738508928 9.738516765 9.738517705 9.738517736 ………………

1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 1.41421356 1.414213562 …………………

2 讨论: 5 的结果?
2的过剩近似值

5 2 的近似值

1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563 ………………

11.18033989 9.829635328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.738517752 ……………..

讨论: 5 的结果?
? ? ? ? 1.42 5
5 5 观察:从上图可以看出 :

2

? ? ? ? ? ? ?1.4142136 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.4142 1.4141 1.4142135

5 ?

2

5

5

?

?

?

5

? 1.41

当 2的近似值从小于 2的一侧向 2靠近时, 5 2 的近似值也从小于 5 2 的一侧向 5 2 靠近; 当 2的近似值从大于 2的一侧向 2靠近时, 5 2 的近似值也从大于 5 2 的一侧向 5 2 靠近; 结论:一般地,无理指 数幂a ? (a ? 0, ?是无理数)是一个确定 的实数, 有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指 数幂.

(1)? (2)? (3)?

ar ? a s ? a r ?s (a r ) s ? a rs

(a ? 0, r , s ? R); (a ? 0, r , s ? R);

(ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? R).

思考:请说明无理数指数幂

2

3

的含义。

快速练习
1.化 简a ? 4 (1 ? a )4的 结 果 是(

C

)

A.1 B .2a ? 1 C .1或 2a ? 1 D .0 2当 . a , b ? R时,下 列 各 式 总 能 成 立 的 是 ( B ) A.( 6 a ? 6 b )6 ? a ? b, C .4 a 4 ? 4 b 4 ? a ? b,
答案 :
4

B .8 ( a 2 ? b 2 )8 ? a 2 ? b 2 D .10 ( a ? b )10 ? a ? b

3.化 简: 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 .
8 2
1 ? 1 4. 已 知10? ? ( ) 2 ,10? ? 3 32 , 2

3. 2 2 ; 4.

求10

3 2? ? ? 4

的 值.

能力训练
例1.计算下列各式(式中字母都是正数) : (1)( 2a b )( ?6a b ) ? ( ?3a b ); ( 2)( m n ) ;
1 4 ? 3 8 8 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

例2.计算 : 3 0 1 ?2 (1)( 2 ) ? 2 ? (2 ) 5 4 ( 2) a
3 9 2 ? 1 2

m2 例1. (1)4a; (2) 3 n

? (0.01) ;
0. 5

a

?3

?

3

a

?7

? a (a ? 0).
3 13

64 例2. (1) ; 60 (2) 1.

能力训练
例3 : 计算下列各式:例3. (1)6 5 ? 5; (1)( 25 ? 125 ) ? 25 ;
3 4

(2)6 a 5 .
( a ? 0)
1 3 1 3

( 2)

a

2

a ? 3 a2

例4.化简:

(1)( x ? y ) ? ( x ? y )
2 2 1 3 1 3

?2

?2

1 ? 2 2 , 2x y x y
1 3 1 3

(2)( x ? y ) ? ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? ( x ? y )
课堂练习 1 :课本P54 中练习第 1, 2, 3题 课堂练习 2:课本P59 习题2.1 中A组第2, 3, 4题

指数式的计算与化简 指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外, 还要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征, 灵活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
2 2 2 ( 1 )( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b 回 顾 一、巧用乘法公式 基 本 ( 2)a 2 ? b 2 ? (a ? b)( a ? b)

由于引入 负指数及分数 指数幂后,初 中的平方差、 立方差、完全 平方公式等, 有了新特征:

公 式 ( 3)a 3 ? b 3 ? (a ? b)( a 2 ? ab ? b 2 )

如 : ( a ? a ?1 ) 2 ? a 2 ? 2 ? a ?2 ; a ? b ? (a ? b )( a ? b ); a ? b ? (a ? b )( a ? a b ? b )等.
1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2

能力训练
例1 已知 a ? a
?1 1 2 ? 1 2

? 3,求下列各式的值
?2

(1)a ? a ; ( 2)a ? a ; ( 3)
2

a ?a ) a ?a
1 2 1 ? 2

3 2

?

3 2

.

答案:
3 2 ? ? 3 2 1 2 1 2 ? 1 2

(1)a ? a ?1 ? 7; ( 2)a 2 ? a ? 2 ? 47; ( 3) a ?a a ?a
1 2

?

(a ? a )( a ? a ?1 ? a ? a ) a ?a
1 2 ? 1 2

1 2

?

1 2

? a ? a ?1 ? 1 ? 8.

注:本题不能使用求出 a的值再代入的“笨”办 法。 聪明的办法是分析已知 与未知的内在联系,用 “整体代入”的办法

能力训练
二、巧用倒数
?n m b ?n a n a b 巧用(1)( ) ? ( ) ; ( 2)a ? n a n ? 1; ( 3) ? m ? n 等. a b b a

1 ?2 1 1 例2.计算( ) ? ( ) ? ( ) 的值. 2 343 27

1 3

1 3

三、化底为幂,化小数指数为分数
把底数化为幂的形式.

7 0.5 10 例3.计算( 2 ) ? ( 2 ) 9 27

?

1 3

? 0.1 .

?2

能力训练
例4.已知a
2n

a ?a ? 2 ? 1, 求 n 的值. ?n a ?a
3n 3n ?3 n

?3 n

a ?a ? 2 2 ? 1. 注:先化简再求值. n ?n a ?a
例5.已知a ? (2 ? 3 ) , b ? (2 ? 3 ) , 求(a ? 1) ? (b ? 1) 的值.
?2 ?2 ?1 ?1

2 3

小结

1、本节的化简、求值问题,要注意整体代换, 注意平方差、立方差、立方和等公式的运用。 2、将指数合理拆分,进而因式分解是指数运算 中的常用技巧。 3、单项式乘以单项式、多项式乘以多项式 以及多项式除以单项式、多项式除以多项式的运 算都没有改变。

作业:作业本P60B 组2题 2.计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) [( 8)
?2 3

? ( 3 10 2 ) ] ? 105 .
?1 2

9 2

3 :已知x ? x ?1 ? 2, 求下列各式的值 ( 1 )x
1 2

? 81 (2) ( ) 4 ? [( ?3)?2 ]2 625

3

3

?x

( 2) x 2 ? x ? 2

(3) x 2 ? x ? 2 ( 4) x 3 ? x ?3


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