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2013版高三(理)一轮复习 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

100 分)

1.直线经过原点和点(-a,a)(a≠0),则它的倾斜角是( (A)45° (C)45°或 135° (B)135° (D)0°

)

2.设直线 3x+4y-5=0 的倾斜角为 θ , 则该直线关于直线 x=m(m∈R)对称的直线的倾斜角 β 等于( π (A) -θ 2 (C)2π -θ ) π (B)θ - 2 (D)π -θ

3.(2012?佛山模拟)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a、b、c 应 满足( ) (B)ab>0,bc>0 (D)ab<0,bc<0

(A)ab>0,bc<0 (C)ab<0,bc>0

4.(2012?江门模拟)直线 l:ax+by+6=0 平行于直线 3x-2y+1=0,且在 x 轴上的截距 为 1,则 a,b 的值分别是( (A)3 和-2 (B)6 和-4
2

) (C)-3 和 2
2

(D)-6 和 4

5.已知 b>0, 直线 x-b y-1=0 与直线(b +1)x+ay+2=0 互相垂直, ab 的最小值等于 则 ( (A)1 ) (B) 2 (C)2 2 (D)2 3

y-3 6.(2012?珠海模拟)已知全集 I={(x, y)|x, y∈R}, M={(x, y)|y≠x+1}, N={(x, y)| x-2 =1},则 (A) ? ? (C)(2,3) (M∪N)为( ) (B){(2,3)} (D){(x,y)|y=x+1}

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) π 2π 7.(易错题)若过点 P(- 3,1)和 Q(0,a)的直线的倾斜角的取值范围为 ≤α ≤ ,则实 3 3 数 a 的取值范围是 . .

8.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为

9.在平面直角坐标系中,设△ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,0),点 P(0,p)在

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线段 AO 上(异于端点),设 a、b、c、p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC、AB 于点 E、 1 1 1 1 F,一同学已正确算得 OE 的方程:( - )x+( - )y=0,请你求 OF 的方程: b c p a ( 1 1 )x+( - )y=0. p a

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知两直线 l1:x+ysinθ -1=0 和 l2:2xsinθ +y+1=0,试求 θ 的值,使得:(1)l1 ∥l2;(2)l1⊥l2. 11.(2012?青岛模拟)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈[- 【探究创新】 (16 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴 的正半轴上,A 点与坐标原点重合,将矩形 ABCD 折叠使 A 点落在直线 DC 上,若折痕所在直 线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程. 3 -1, 3-1],求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3

答案解析 0-a 1.【解析】选 B.因为经过原点和点(-a,a)(a≠0)的直线的斜率 k= = 0+a -1,所以直线的倾斜角为 135°. 2.【解析】选 D.结合图形可知θ +β =π ,故β =π -θ .

a c 3.【解析】选 A.易知直线斜率存在,即直线 ax+by+c=0 变形为 y=- x- , b b

?-a<0 ? b 由题意知? c ?-b>0 ?

,∴ab>0,bc<0.

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a 3 4.【解析】选 D.由两直线平行得- = ,又由直线 l 在 x 轴上的截距为 1,得 b 2 6 - =1,∴a=-6,b=4. a 5.【解题指南】由两直线垂直可得到关于 a、b 的一个等式,则 ab 可用一个字母来表示,进 而求出最值. 【解析】选 B.∵直线 x-b y-1=0 与直线(b +1)x+ay+2=0 互相垂直,
2 2

b2 ? 1 ∴(b +1)-b a=0,即 a= , b2
2 2

∴ab=(

b2 ? 1 b2 ? 1 1 )b= =b+ ≥2(当且仅当 b=1 时取等号),即 ab 的最小值等于 2. 2 b b b

6.【解析】选 B.集合 M 表示直线 y=x+1 外的点组成的集合,集合 N 表示直线 y=x+1 上 除(2,3)外的点组成的集合. ∴ (M∪N)={(2,3)}.

7.【解题指南】解决本题可以先求出直线的斜率,再由倾斜角的取值范围,得出斜率的取值 范围,然后求出实数 a 的取值范围. 【解析】过点 P(- 3,1)和 Q(0,a)的直线的斜率 a-1 a-1 k= = , 0+ 3 3 π 2π 又直线的倾斜角的取值范围是 ≤α ≤ , 3 3 a-1 a-1 所以 k= ≥ 3或 k= ≤- 3, 3 3 解得:a≥4 或 a≤-2 答案:a≥4 或 a≤-2 x y 8.【解析】根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上, a b -2 -2 故 + =1,所以-2(a+b)=ab,又 ab>0,故 a<0,b<0,根据基本不等式 ab=-2(a a b +b)≥4 ab,又 ab>0,得 ab≥4,故 ab≥16,即 ab 的最小值为 16. 答案:16 【方法技巧】研究三点 A、B、C 共线的常用方法: 方法一:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程; 方法二:过其中一点与另两点连线的斜率相等;
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方法三:以其中一点为公共点,与另两点连成有向线段所表示的向量共线. x y x y 1 1 1 9.【解析】由截距式可得直线 AB: + =1,直线 CP: + =1,两式相减得( - )x+( - b a c p c b p 1 )y=0,显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 a OF 的方程. 1 1 答案: - c b 1 2 2 10.【解析】(1)∵l1∥l2,∴2sin θ -1=0,得 sin θ = , 2 ∴sinθ =± 2 π ,∴θ =kπ ± ,k∈Z. 2 4

π ∴当θ =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)∵l1⊥l2,∴2sinθ +sinθ =0, 即 sinθ =0,∴θ =kπ (k∈Z), ∴当θ =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2. 【变式备选】设直线 l 的方程为 (a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,当然相等. ∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, a-2 得 =a-2,即 a+1=1, a+1 ∴a=0,方程即为 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
?-(a+1)>0 ? ∴? ? ?a-2≤0 ?-(a+1)=0 ? 或? ? ?a-2≤0

.

∴a≤-1. 综上可知 a 的取值范围是 a≤-1. 11.【解析】(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1
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π (2)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈[- 3 ,0)∪(0, 3], 3

1 3 ∴k= ∈(-∞,- 3]∪[ ,+∞), m+1 3 π π π 2π ∴α ∈[ , )∪( , ]. 6 2 2 3 π 2π 综合①②知,直线 AB 的倾斜角α ∈[ , ]. 6 3 【探究创新】 1 【解析】(1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在直线的方程为 y= ; 2 (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在直线 DC 上的点为 G(a,1),所以 A 与 G 关于折痕所在 1 的直线对称,所以有 kAG?k=-1, k=-1,所以 a=-k, a -k 1 G 点的坐标为 G(-k,1),从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标为 M( , ),折痕所在的 2 2 直线方程为:

k 1 k 1 y- =k(x+ ),即 y=kx+ + ; 2 2 2 2
因此当 k≠0 时,折痕所在的直线方程为 y=kx+ k 1 1 对 y=kx+ + ,当 k=0 时,y= . 2 2 2 k 1 综上,折痕所在的直线方程为 y=kx+ + . 2 2
2 2

2

k2 1 + . 2 2

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