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组合透镜成像


§1.5、透镜成像
1 1 1 ? ? u ? f 1.薄透镜成像公式是:

式中 f、u、v 的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。

2.组合透镜成像
如果由焦距分别为 f1 和 f 2 的 A、 B 两片薄透镜构 成一个透镜组(共主轴)将一个点光源 S 放在主轴上 距透镜 u 处, 在透镜另一侧距透镜 v 处成一像 S

?(图 1-5-4)所示。对这一成像结果,可以从以下两个不 同的角度来考虑。 因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设 这个组合透镜的焦距是 f,则应有
1 1 1 ? ? u ? f
u 图 1-5-4 v

A B

S

S?



另一个考虑角度可认为 S ? 是 S 经 A、B 两个透镜依次成像的结果。如 S 经 A 后成像 S1 ,设 S1 位于 A 右侧距 A 为 ?1 处,应有
1 1 1 ? ? u ?1 f1

② ,

因为 S1 位于透镜 B 右侧 ?1 处,对 B 为一虚物,物距为 ?1 ,再经 B 成像 所以

1 1 1 ? ? u ?1 f1



由②、③可解得
1 1 1 ? ? ? ?1 ? f2



比较①、④两式可知
1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2

如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f1 或 f 2 代入即可。

3.光学仪器的放大率
实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于

此类仪器获得的是物体的实像, 因而放大率 m 一般是指所有成实像的长度放大率, 即 v=mu。 如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距 2.5m 时,可在银幕上得到放大率为 24 的像;若想得到放大率为 40 的像,那么,假设幻灯片不动,镜头和银幕应分 别移动多少? 根据第一次放映可知

?u1 ? ?1 ? 2.5 ? ? ? ??1 ? m1u1 ? 24u1
可解得

u1 ? 0.1m , ?1 ? 2.4m
f ? u1?1 ? 0.096m u1 ? ?1

第二次放映

1 1 ?1 ? ? ? ?u2 ? 2 f ? ? ? ?? 2 ? m 2 u 2 ? 40u 2

可解得

u 2 ? 0.0984m , ? 2 ? 3.94m

比较 u 1 和 u 2 ,可知镜头缩回 1.6mm;比较 ?1 和 ? 2 ,可知银幕应移远 1.54m。 虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此

类仪器得到的是物体的虚像,目的是扩大观察的视角,因此放大率 m 一般是指视 角放大率。如果直接观察物体的视角为α ,用仪器观察物体的视角为β ,那么

m=β /α
先看显微镜的放大率。如果
A


L



B2 有一台显微镜,物镜焦距为 f1 ,目
镜焦距为 f 2 ,镜筒长 L,若最后的 像成在离目镜 d 处, 试证明显微镜
m? Ld f1 f 2 。

F1
B

B1
?

F2
O2

O1

A1

的放大率

显微镜的光路如图 1-5-5 所 示 , AB 经物 镜 Ⅰ 成一放大实像

A2

d 图 1-5-5

A1 B1 ,物镜的长度放大率
m1 ? A1 B1 B1O1 ? AB BO1

因 f1 、 f 2 相对 L 都较小,而且 B 很靠近 F1 ,所以

B1O1 ? L , BO1 ? f


m1 ? L / f1
A1 B1 位于目镜Ⅱ的焦点内,经目镜成一放大的虚像 A2 B2 (通常让 A2 B2 成在观

察者的明视距离 d 上) 。因为都是近轴光线,所以此时观察者从目镜中看到 A2 B2 的视角β 为

? ? tan ? ?

A2 B2 A1 B1 A1 B1 ? ? d B1O2 f2

若观察者不用显微镜,直接观看 AB 的视角α 为

? ? tan ? ?
则显微镜的放大率 m

AB d

m?

? A1 B1 d Ld ? ? ? ? f2 AB f1 f 2

不难看出目镜的长度放大率为

m2 ? d / f 2
所以有

m ? m1m2

下面再看天文望远镜的放大率,如果天文
A




望远镜的物镜焦距为 f1 ,目镜焦距为 f 2 ,试证 明天文望远镜的放大率 m ? f1 / f 2 。 望远镜成像光路如图 1-5-6 所示,远处物 体 AB 由物镜Ⅰ成像 A1 B1 ,然后再由目镜Ⅱ在远 处成一虚像 A2 B2 (图中未画出) ,观察者观察

B

?
O1
s f1 图 1-5-6

B1 A1

?
f2

O2

A2 B2 的视角即为图中的β , ? ? A1 B1 / f 2 。若不用望远镜,观察者直接观察距望
远镜 S 远处的物体 AB 的视角,近似为图中的α

? ? AB / S ? A1 B1 / f 2
因此望远镜的放大率 m 为

m?

f f ? A1 B1 ? ? 1 ? 1 ? f2 A1 B1 f 2

4.常见的光学仪器


聚 光画 镜片

A B 相放大机以及绘图用的投影仪等,都 C

投影仪器

电影机、幻灯机、印



P Q C?

B?

投影镜头

R?


Q
A?

属于投影仪器,它的主要部分是一个 会聚的投影镜头,将画片成放大的实 像于屏幕上,如图 1-5-7。由于物距 u 略大于焦距 f,画片总在物方焦平面 附近,像距υ ?f,放大率 m ? ? / f , 它与像距 v 成正比。
A L

R
u≈f 图 1-5-7

v

P?

A M P M P
图 1-5-9

P?

图 1-5-8

一光学系统如图 1-5-8 所示,A 为物平面,垂直于光轴,L 为会聚透镜,M 与光轴成 45°角的平面镜。P 为像面,垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为 A 面上的一个“上”字,试在图 1-5-9 中实像面 P 上画出像的形状。 眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。 从结构上看, 类似于照像机,

图 1-5-10 为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜,相当于照像 机中的感光底片,虹膜相当于照像机中的可变光阑,它中间的圆孔称为瞳孔。眼 球中的晶状体是一个折射率不均匀的 透镜,包在眼球外面的坚韧的膜,最前 面的透明部分称为角膜, 其余部分为巩 膜。角膜与晶状体之间的部分称为前 房,其中充满水状液。晶状体与网膜之 间眼球的内腔,称为后房,其中充满玻 璃状液。所以,眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时,
H H?
角膜 虹膜 瞳孔 H H’ F 前房水状液 后房玻璃状液 晶状体 黄斑 巩膜 网膜

N?

F
盲点

视 神 经

图 1-5-10

物焦距 f=17.1mm,像方焦距 f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率(焦距)来 调节聚焦的距离。 眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点,分别称为它调节范围的 远点和近点。正常眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长,无穷远的物体成像 在网膜之前,它的远点在有限远的位置。远视眼的眼球过短,无穷远的物体成像 在网膜之后 (虚物点) 。 矫正近视眼和远视的眼镜应分 别是凹透镜和凸透镜。所谓散光,是由于眼球在不同 方向的平面内曲率不同引起的,它需要非球面透镜来 矫正。 视角、 视角放大 物体的两端对人眼光心所张的
图 1-5-11

A? A F? E BO

B?

F

角度叫做视角, 视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离有关。 当两物点 (或
?4 同一物体上的两点)对人眼视角大小 I ? (约 2.9 ? 10 m d )时,才能被人眼区分。

在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离,但当其小于人眼近点 距离时, 视网膜上所成的像反而模糊不清。 为此, 必须使用光学仪器来增大视角。 图 1-5-11 是人眼(E)通过放大镜观察物体 AB 的像 A?B ? ,当人眼靠近光心 时视角。

? ? ? ?A?OB ? ?

A?B ? AB ? B ?O BO

A B
图 1-5-12

若物体很靠近焦点,且成像于明视距离,则:
B ?O ? 25cm , BO ? f

?

E

?? ?

A?B ? AB ? B ?O f

若不用放大镜将物体置于明视距离,如图 1-5-12,BE=25cm,则视角:

? ? ?AEB ?

AB 25cm

把用光学仪器观察虚像所得视角 ? ?? 与将物体放在虚像位置上直接观察的视

角φ 的比值叫做光学仪器的视角放大率。用β 表示视角放大率,即有
AB 25cm f ?? ? AB f 25 cm 对于放大镜,有 。

??

? ?? ?

显微镜

图 1-5-13 是显微镜成像原理图。 被观察
B? L

?

L2
A?

物体 AB 置于物镜 L1 焦点外很靠近焦点处, ( u1 ? f1 ) , 成 放 大 实 像 A?B ? 于 目 镜 L2 焦 点 内 靠 近 焦 点 处 ( u2 ? f ) ,眼睛靠近目镜 L2 的光心可观察到位于明视 距离的虚像 A ??B ?? 显微镜的物镜视角放大率
B ??

??
L1 A B
图 1-5-13

A??

A?B? AB ? ?? f L ?? 1 ? L ? 1 ? AB AB f 1 ?1 L L

?1 未在图中画出。目镜放大率:
A?B ? A??B ?? ? ?? f2 25cm ? 2 ? 2 ? 25 ? ? A?B ? A?B ? ?2 f2 25 25cm

? 2 未在图中画出。显微镜的视角放大率:
? ? ?1 ? ? 2 ?
25L f1 ? f 2

式中 L 是镜筒长度。由于 f 2 ?L,因此在计算放大率时用 L 代表物镜像距。 通常显微镜焦距 f1 很小,多为 mm 数量级,明镜焦距稍长,但一般也在 2cm 以内。

望远镜

望远镜用于观察大而远的物体,如图 1-5-14,图 1-5-15 分别表示
B ?? A
?

开普勒望远镜和伽利略望 远镜的光路图。

B?

两种望远镜都是用焦 B 距较长的凸透镜做物镜。远 处物体从同点发出的光线 可近似为平行光,因此将在
B ??
图 1-5-14

F1 F2 ? ?
A? A??

B?
??

物镜的焦平面上成一实像
A ?B ? 。 开普勒望远镜的目镜

A
?

B

F1 F2
A?

也是凸透镜,其焦距较短, 物方焦平面和物镜的像方 焦平面几乎重合。结果,以

A??

图 1-5-15

A?B ? 为物,在无穷远处得到虚像 A ??B ?? 。而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜,当

它的物方焦平面(在右侧)与物镜的像方焦平面重合时,实像 A?B ? 却成了虚物, 经凹透镜折射成像 A ??B ?? 于无穷远处。 由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的,可用于观察地面物体,而 开普勒望远镜观察到的像是倒立的,只适合作为天文望远镜。从图中的几何关系 还可看出两种望远镜的视角放大率均为:

??

f1 f2

还有一类望远镜的物镜是凹面镜,称为反射式望远镜。大型的天文望远镜 都是反射式望远镜。

例 4、 焦距均为 f 的 二凸透镜 L1 、 L2 与两个

M1

L1
A

L2 F1?
O
f

M2 F2?

F1
f 2

F2
f f f

M2 圆形平面反射镜 M 1 、
f f

放置如图 1-5-22。 二透镜 共轴, 透镜的主轴与二平

f 2

图 1-5-22

面镜垂直,并通过二平面镜的中心,四镜的直径相同,在主轴上有一点光源 O。 1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 1-5-22 所示)在此光学系统中的 光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点 除外)形成光源

M1
P

L1
A

L2 F1?
O

M2 F2?
f 2

O 的能看到的像,
哪些是实像?哪 些是虚像。 3、现在用不

Q

F1
f 2

F2

图 1-5-23

透明板把 L1 和 L2 的下半部(包括透镜中心)都遮住,说出这些像有什么变化。

解: 1、光线 OA 的第一次往返光路如图 1-5-23 所示。当光线由图中左方返 回经 O 点后,将继续向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光路在图中未 画出,可按图中光路对称于主轴画出。以后,光线重复以上两种往返光路。 2、向右发出的光线: F2? 处成实像,右方无限远处成虚像; F1 处成实像;P

f 处( M 1 左方 2 处主轴上)成虚像。

向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2? 处成实像;Q 处
f M ( 2 右方 2 处主轴上)成虚像。

3、向右发出的光线只在 F2? 处成实像。向左发出的光线只在 F1 处成实像。两 像均比未遮住时暗。 例 5、 一平凸透镜焦距为

f,其平面上镀了银,现在其凸
面一侧距它 2f 处,垂直于主 轴放置一高为 H 的物,其下端 在透镜的主轴上 (图 1-5-24) 。

H F 2f F/

图 1-5-24

(1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 (2)用计算法求出此像的位置和大小。 分析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。

虽然我们画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路,但光路仍然遵守凸透镜与 平面镜成像规律,这是我们在 具体分析光路时必须牢牢抓
H P LM Q F A A/ P/ S T 图 1-5-25 S/ F/ O

住的一点。成像的计算也是遵 守凸透镜与平面镜的成像计 算方法的。 解: ( 1 )用作图法求

? ?

得物 AP 的像 A?P ? 及所用各条光线的光路如图 1-5-25 所示。

说明:平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 组合 LM,如图 1-5-25 所示。图中 O 为 L 的光心, AO F ? 为主轴,F 和 F ? 为 L 的 两个焦点,AP 为物。作图时利用了下列三条特征光线: ①由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M, 然后被 M 反射,反射光线与主光轴的夹角等于入射角,均为α 。反射线射入透镜 时通过光心 O,故由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ? 。 ②由 P 发出且通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR, 它经过 L 折射后的出射线 与主轴平行,垂直射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并 向左射入 L,经 L 折射后的出射线通过焦点 F,即为图个中 RFP。 ③由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ,它经过 L 折射后的出射线将射向

L 的焦点 F ? ,即沿图中的 QF ? 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ?
对称的 F 点,即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 辅助线 S ?OS , S ?OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点,故 QF 经 L 折射后的出 射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P ? 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A? 即 A 的像点。由图可判明,像 A?P ? 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可 得 A?P ? ,即为正确的答案。 (2)按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像, 取 u1 ? 2 f , 由成像公式可得像距 ?1 ? 2 f , 即像在平面镜后距离 2f 处,像的大小 H ? 与原物相同, H ? ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2f 处,对

M 来说是虚物,成实像于 M 前 2f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。
第二像作为物,再经透镜 L 而成的像为第三像。这是因为光线由 L 右方入 射。且物(第二像)位于 L 左方,故为虚物,取物距 u3 ? ?2 f ,由透镜公式
1 1 1 ? ? u3 ? 3 f 可得像距

? ?
3

fu 3 ?0 u3 ? f

2 f 上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离 3 处,像

H ??? ? 3 1 ? ? 的大小 H ??? 可由 H ?? u3 3 求得,即
H ??? ? 1 1 H ?? ? H 3 3

1 像高为物高的 3 。

例 6、 如图 1-5-26 所示, 凸透镜焦距 f=15cm, OC=25cm, 以 C 为圆心、 r=5cm 为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。 分析: 先考虑发光圆环上任意一点
C F O F

P 经透镜所成之像, 当 P 点绕圆环一周时,
对应的像点的集合就构成整个发光圆环

图 1-5-26

通过透镜所成的像。因此可用解析几何的 方法讨论本题。 解: 如图 1-5-27 所示, 以 O 点为直角坐标系原点建立坐标系 xOy 和 x?Oy ? 。

考虑发光圆环上任一点 P(x,y) ,则有

( x ? 25) 2 ? y 2 ? 52



发光点 P(x,y)的像为
P?( x?, y ?) ,根据透镜成像公式
y,yˊ P x C F O F xˊ Pˊ

及放大率关系可有
1 1 1 ? ? x x? f y ? x? ? y x



图 1-5-27



联立②、③式解得
x? 15 x ? x ? ? 15 15 y ? x ? ? 15



y?



将④、⑤式代入①式中并整理得

( x? ? 45) 2 y?2 ? ?1 152 (5 3) 2



⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心 45cm 处,以主光 轴为长轴的椭圆。 讨论 如果把发光圆环用一球壳取代,则根据对称性,球壳的像是以圆环

的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。 点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状,至于是什么样的

曲线,要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一 例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。 例 7、 照相机镜头 L 前 2.28m 处的物体被清晰地成像在镜头后面 12.0cm 处的 最相胶片 P 上,两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间,与光轴垂直,位置如 图 1-3-29 所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜,光线为近轴光线。

1、求插入玻璃板后,像的新位置。 2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变,若 要求物体仍然清晰地成像于胶片上,则物体应放在何处? 解: 解法 1

L

0.90cm
z z

P

A zB
8.0cm 12.0cm 图 1-3-29
z

1、折射率为 n,厚度为 d 两面平行的玻璃板,对于会 聚在像点 P ? 的傍轴光束的折射作用可如下方法求出:如图

1-3-30,取任一指向 P ? 点的傍轴光线 C P ? ,此光线经平行玻璃板折射的光路为

CDE P ?? ,在平板第一面的入射角 i 与折射角 r 均为
小角度,反向延长 E P ?? 交 D 点处的法线于 F,容易 看出,DE P ?? P ? 为平行四边形,则

C
i D F

r

E

b

d

P?

P ??

P?P?? ? DF ? b / tan? ? b / tani
图 1-3-30

平行板厚度 d 为
d ? b / tan?



P?P?? ? d (1 ? tan? / tani)

因为 i 与 r 都很小,所以
tan? / tani ? sin ? / sin i ? 1 / n

故得
? 1? P?P?? ? d ?1 ? ? ? n?

以上结果对任何会聚于 P ? 点的傍轴光线均成立,所以向轴上 P ? 点会聚的傍 轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上 P ?? 点。在这种情形下,平行玻璃板的作 用是使像点向远离平板方向移动距离 P ? P ?? ,由题给数据得
P?P?? ? 0.9 ? (1 ? 1 / 1.5) ? 0.3(cm)

故像成在镜头后面 12.0+0.3=12.3(cm)处。 2、设照像机镜头焦距为 f, 不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f, 可得 f=11.4cm。

插入玻璃板时,若要像仍成在离镜头 12cm 处的胶片上,应改变物距使不放 玻璃板时成像在镜头后面 v 处,即

v=12.0-0.3=11.7(cm)。
设这时物距为 u,则

1/u+1/11.7=1/11.4,
得 u≈4.45m。

即:物体置于镜头前 4.45m 时,插入玻璃板后,仍可在胶片上得到清晰的像。 解法 2 1、对于玻璃板第一面上的折射,其物距为
AP ? ?8.9cm , n0 ? 1.0 , n ? 1.5
n0 ? 1.0 n ? 1.5

根据公式 可得

AP 1 / AP ? ?n / n0

A

p

p1

(见图 1-5-31)
图 1-5-31

AP (cm) 1 ? ? AP ? n / n0 ? (?8.9)(?1.5 / 1.0) ? 13.35

对于玻璃板第二面上的折射, (见图 1-3-32) 其物距为

BP 1 ? ?( AP 1 ? AB) ? ?12.45cm
又根据 可得

n ? 1 .5

n0 ? 1.0

BP 2 / BP 1 ? ?n / n0

B

p2 p1

BP 2 ? (?n / n0 ) BP 1 ? (?1.0 / 1.5)(?12.45) ? 8.3(cm)

图 1-5-32

故像成在镜头后面的像距为

? ? 3.1 ? 0.9 ? 8.3 ? 12.3(cm)
比原像向后移动△v,即
?? ? 12.3 ? 12 ? 0.3(cm)

2、设照像机镜头焦距为 f,不插入玻璃板时,

1/f=1/228+1/12,


f=11.4cm。

要使放上玻璃板后,像还成在离镜头 12cm 处的胶片上,可采用个光路可逆性原 理从已知像 P2 的位置,求此物体应在的位置。 对于玻璃板第二面上的折射:
1 ,则可得 已知:像距 BP2 ? 8cm , n ? 1.50 , n0 ? 1.0 ,设与之相应的物为 P

BP 1 (?n / n0 ) ? BP 2 ? ?12cm
对于玻璃板第一面上的折射:

n ? 1.0 ,设与之相应的物为 P,则可 1 ? 12.9cm , n ? 1.5 , 0 已知:像距 AP


AP ? (?n / n0 ) ? AP 1
? (?1.0 / 1.5) ? 12.9 ? ?8.6(cm)

对于凸透镜,像距为 v=8.6+3.1=11.7(cm) ,则此时物距为 u,则有

1/u+1/11.7=1/11.4, u=4.45m。
即物体应放在照相机镜头前 4.45m 处,才能在胶片上得到清晰的像。

例 8、有两个焦距分别为 f a 和 f b 的凸透镜。如果把这两个透镜做适当的配 置,则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像,如图 1-5-33 所示。试求出满足上述要求的配置方案中各
物 L1 L2

透镜的位置。 分析: 首先,我们应根据题目给出的


L2 所成像的虚、 条件, 分析得出物经透镜 L1 、
实与大小,从而得出光学系统的配置关系; 然后再运用透镜成像公式求出光学系统中 物、 L1 、 L2 位置的具体距离与 f a 、 f b 的数 量关系。
d+u u 图 1-5-29 L1 v
O1

d d-v

L2

O2

解:

设光线由左向右,先后经过两个

图 1-5-31

凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去 考虑,光线经过第 2 个透镜后将继续向右传播,所以最后成的像必为虚像才能满 足题设要求。由此判定,作为透镜 2 的“物”必在其左侧,物距 u 2 小于透镜 2 的焦距 f 2 ,并且是倒立的。再考虑到透镜 2 的“物”应该是透镜 1 对给定的傍轴 物体所成的像(中间像) ,它只能是给定物的倒立实像,必然成像在透镜 1 的右 侧。 (由于最后的像与原物同样大小,还可以肯定中间像一定是缩小的。 )以上分 析表明,光线系统的配置如图 1-5-28 所示。 根据图上标明的两透镜位置和物距、像距,有
1 1 1 ? ? u ? f1



因最后像为虚像,则

1 1 1 ? ? d ?? d ? u f2



又因物、像大小相等,则
u ? u?d d ??

?
由③得



??

ud 2u ? d

代入①②并经过化简可得
u? 2 f1 f 2 f2 ? f1

d ? 2 f1 f 2 ,

因题图中要求 u ? 0 ,故必须 f 2 ? f1 。由以上分析可知,要取焦距较小的透 镜(即如 f a ? f b ,取透镜 a,反则反之)作透镜 L1 ,放在物右方距离 u 处,而把 焦距较大的透镜作为 L2 透镜放在透镜 L1 右方距离 d 处,就得到题所要求的配置 方案。 例 9、焦距为 20cm 的薄凸透镜和焦距为 18cm 的薄凹透镜,应如何放置,才 能使平行光通过组合透镜后成为 1、平行光束;2、会聚光束;3、发散光束; (所有可能的情况均绘图表示) 。 解: 设凸透镜主焦点为 F1 , F1? ;凹透镜主焦点为 F2 , F2? 。

1、平行光束 (1)凸透镜在前时,d=2cm,d 为两透镜间距离(见图 1-5-34) 。

L1

L2

F′ F (共焦) d 2cm 图 1-5-34 18cm

L1

L2 F2

L2 F1

L1

F′ d 图 1-5-35

F2

图 1-5-36 L1 L2

L1 F2 F1

L2 F2 F′

d 图 1-5-37 F
1 F 2

图 1-5-38

d

LL 图 1-5-39 2 1

(2)凹透镜在前时,d=2cm,根据光路可逆性原理,这相当于把前面的系 统反过来。 2、会聚光束。

(1) (2)

凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-35) 。 凹透镜在前时 d>2cm(图 1-5-36) 。

3、发散光束 (1)凸透镜在前时,d>2cm(图 1-5-37) (2)凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-38) 凹透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-39)

10、焦距 f 的数值均相同的三个薄透镜 L1 、 L2 与 L3 ,依次为凸透镜、凹 透镜与凸透镜,它们构成一个共轴光学系统,相邻透镜间的距离均为 d,各透镜 的光心分别为 O1 , O2 , O3 ,如图 1-5-40 所示,在透镜 L1 左方,位于主光轴上的物 点 P,经过此光学系统最终成像于透镜 L3 右方的 Q 点 物点 P 与透镜 L1 的距离应为多少? 分析: 此题按陆续成像考虑, 一个一个透镜
P

若距离 PO2 ? O2 Q ,则

L1

L2

L3
Q

做下去也能得出⑥式的解,但列式子时容易出错, 不如考虑对称性的解法,有清晰的物理图像,求

O1

d

O2

d

O3

P2

图 1-5-40

解主动。 此题的⑦式的解也以用“P 经 L1 成像 O2 ”的思路解出最为简明,但能这样 想必须以“透镜成像时,若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。 解:(1)该系统对凹透镜 L2 而言是一左右对称的光学系统。依题意,物点 P 与像点 Q 处于对称的位置上,即对凹透镜 L2 而言,物点及经它成像后的像点应 分居 O2 的两侧,且物距 u 2 与像距 ? 2 相等。即

u2 ? ? 2
代入凹透镜 L2 的物像公式
1 1 1 ? ?? u2 ? 2 f


1


2

解得

u 2 ? ? 2 ? ?2 f ? 0


3

物距与像距均为负值表明: 物点 P 经透镜 L1 成像后, 作为凹透镜 L2 的物点 P2 位于它的右侧,因而是虚物,经凹透镜 L2 成像于它的左侧,为一虚像,虚像点 P2 与虚像点 Q2 的凹透镜 L2 位于对称位置(图 1-5-41)

?1 ? 2 f ? d
代入凸透镜 L1 的物像公式
1 1 1 ? ?? u1 ?1 f


4

L1
P

L2

L3
Q


5

Q2

O1

O2

O3

P2

解出
u1 ? f (2 f ? d ) f ?d

图 1-5-41

(2)由②式,凹透镜 L2 的像距可表示为
P

L1

L2 Q2 P2
d

L3
Q

O1

d

O2

O3

图 1-5-42

?2 ? ?

fu 2 ?f ? f u2 ? f 1? u2

当物点 P2 由右向左逐渐趋近于 O2 时,即物距 u 2 由负值逐渐增大而趋于零 时, 像距 ? 2 亦由负值逐渐增大趋于零, 即像点 Q2 由左向右亦趋近于 O2 。 即 u2 ? 0

? 2 ? 0 当 u 2 ? 0 时, ?2 ? 0 , 时, 即对凸透镜 L1 而言, 像距 ?1 ? d , 参见图 1-5-42,
代入⑤式
1 1 1 ? ?? u1 d f

解得:
u1 ? fd d? f


7

此结果表明,当物点 P 经过透镜 L1 后恰成像于透镜 L2 的光心 O2 上,由系统 的对称性,可知经透镜 L3 后,将成像于对称点 Q。像距 ? 3 数值为

?3 ?

fd d? f

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解,但对⑦式的结果,透镜间距 d 必须满足 条件
d? f


8

这也可以从另一角度来考虑,当 P 通过 L1 成像正好在 L2 的光心处时,它经 过 O2 的像仍在原处,即 u 2 ? ? 2 ? 0 。这样也可得到上面的结果。 例 11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射后,会聚于透 镜后 f=48cm 处,透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12cm 处,求最后所成像的位置。 分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜,我们可根据平凸透镜平行光汇

聚的几何关系求出凸球面的曲率半径 R,即求出凹面镜的焦距,根据平面折射成 像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。 解:(1)先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发 生折射,它在球面上发生折射,交主光轴于 F 点,如图 1-5-43 所示,C 点为球 面的球心, CO ? R ,由正弦定理可得
R? f sin r ? R sin(r ? i)


1

i

r
r ?i O
f

由折射定律知
sin i 1 ? sin r n

C

i

E


2

当 i、r 很小时, sin r ? r , sin(r ? i) ? r ? i , sin i ? i 由 以上两式得
1? f r n 1 ? ? ? 1? R r ? i n ?1 n ?1
R ? (n ? 1) f

图 1-5-43


3

所以


4

(2)凸面镀银后将成为半径 R 的凹面镜,如图 1-5-44 所示令 P 表示物所在的位置,P 点经平面折射 成像于 P ? ,根据折射定律可推出

P ? P ??? C P?

P

O

12cm 图 1-5-44

P?O ? n PO


5

由于这是一个薄透镜,P ? 与凹面镜的距离可认为等于 P?O , 设反射后成像于
P ?? ,则由球面镜成像公式可得

1 1 2 ? ? P ?O P ?O R


6

因此可解得 P ?O ? 36 cm ,可知 P ? 位于平面的左方,对平面折射来说,是一

个虚物,经平面折射后,成实像于点。
P ???O 1 ? P ??O n


7

P???O ? 24(cm)
最后所成实像在透镜左方 24cm 处。


8

例 12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为 90mm 的凸透镜,在透镜 下方中轴线上距透镜 100mm 处平放一个圆面形光源(如图 1-5-45) 1、光源产生一个半径为 45mm 的实像,求此实像的位置。 2、若往容器中注水,水面高于光源 10mm,求此像的位 置。 3、继续注水,注满容器但又恰好不碰上透镜。求此时像 的大小。 解:1、设 u,v,f 分别为物距、像距和焦距,由成像公式
1 1 1 ? ? u ? f
图 1-5-45



? ? uf /(u ? f )
代入 u=100mm,f=90mm,得

? ? 900 mm
又从放大率公式知光源的半径 b 为
b ? ub? / ? ? 5mm

2、注入水后,当水面高于光源 h(mm)时,由于水面的 折射作用,使光源等效于上浮一段距离,等效光源在距水
h h′ i

γ

图 1-5-46

面 h? 处。设 i,r 分别为入射角和折射角,则 h? ? cot? , h ? cot i (图 1-5-46) , 对近轴光线

h? / h ? tani / tan? ? tan? / sin ? ? n / n水 ? 3 / 4
故原来的物距 u 在注入水后变成等效物距 u
u ? ? u ? h ? h? ? u ? h / 4
?

于是像距为
h? ? h ? ? u ? ? u ? f /(u ? ? f ) ? ? u ? ? f /? u ? ? f ? 4? ? 4 ? ?

本小题中,h=100mm,u=100mm,故得

? ? ? 1170m m
实像在透镜上方 1170mm 处。 3、当水注满而又恰好不碰上透镜时,仍可用上面的公式,但此时 h=100mm,
u? ? u ? h ? 75 mm 4

等效光源已在焦距之内,此时像的半径为

b? ? b? ? / u ? ? bf /(u ? ? f ) ? ?30mm
此时所成像是一半径为 30mm 的正立虚像,位于透镜下方。 例 13、有一个由单个凸透镜构成的焦距为 12cm,暗箱的最大伸长为 20cm 的 照相机,要用这个照相机拍摄距镜头 15cm 处的物体,需要在镜头上附加焦距为 多少的一个薄透镜,使暗箱最大伸长时,像能清晰地呈现在底片上?(假设两个 薄透镜紧贴着,其间距离可以忽略不计) 分析: 这是一个组合透镜成像的问题, 可以从两个不同角度来考虑求解。 (1) 依照成像先后顺序,物体经前一个透镜成的像视为后一透镜成像之物,重复运用 透镜成像公式来求解; (2)把组合透镜视为一个透镜整体来处理,再根据组合透

镜的总焦距与各分透镜之间的关系式来求解。 解法一:将附加薄透镜加在镜头的前面,照相机镜头焦距为 12cm,暗箱最 大伸长为 20cm,设它能拍摄的物体的最近距离为 u。 以 f=12cm,v=20cm 代入透镜成像公式,可以求得 u。
1 1 1 ? ? u ? f u? f? 12 ? 20 ? ? 30cm u ? f 20 ? 12
A? A?
A
附加薄透镜

B?F ?

O 15 cm 30 cm
B

F?

30 cm

(a)
主透镜

设附加镜头的焦距为 f ? ,它的作用是使距镜头 15cm 的物体成像在 30cm 处。

B?

F B?? F

以 u=15cm,v=-30cm 代入透镜成像公式,可以求 得 f ?。
1 1 1 ? ? f? u ? f?? u? 15 ? (?30) ? ? 30(cm) u ? ? 15 ? (?30)

O

12cm 30cm (b)


20cm

A??

A B



B??

15cm (C) 图 1-5-47

A??

所以 f ? ? 30cm , 是凸透镜, 光路图如图 1-5-47 所示。

图 1-5-47(a)表示附加薄透镜的作用是将距镜头 15cm 的物体在 30cm 处造 成的虚像 A?B ? 。图 1-5-47(b)表示以 A?B ? 为物,经主透镜成像于镜后 20cm 处 底板上成实像 A ??B ?? 。图 1-5-47(c)表示附加透镜加在主透镜的前面,距透镜 15cm 的物体 AB, 其所发的光线经附加透镜和主透镜折射后在另一侧 20cm 处得一 实像 A ??B ?? 。 解法二:将附加薄透镜加在镜头后面。

无附加透镜时,物距 u=15cm,焦距 f=12cm,像距为 v。
1 1 1 ? ? u ? f



??


fu 12 ? 15 ? ? 60cm u ? f 15 ? 12

设附加镜头的焦距为 f ? ,上述像即附加透镜中的虚物,此时物距为
u ? ? ?60cm ,像距为 ? ? ? 20 cm 。



1 1 1 ? ? u? ? ? f ?
f?? u ?? ? ? 30cm u? ? ? ?



光路图如图 1-5-48 所示。 图 1-5-48(a)表示距主透镜 15cm 的物体,在主透镜另一侧成一距透镜 60cm 的实像 A?B ? 。图 1-5-48(b)表示附加透镜附于主透镜之后,光线①因 通过光心方向不变,由物体射出之光线,经主
主透镜

透镜折射后其中的光线②再经附加透镜的折 射,改变方向为光线③因而成像于 A ??B ?? 处。图 1-5-48(c)表示距透镜 15cm 的物体,经主透

A B B?

12cm 15cm (a)
2 ○

2 ○ 1 ○

A?

附加薄透镜
B?? F?

镜、附加透镜折射后成像于另一侧 20cm 处。 解法三:照相机镜头焦距 f=12cm,附加薄凸透 镜焦距为 f ? ,相当于一个焦距为 F 的凸透镜,且有
1 1 1 ? ? F f f?

F?

1 ○

O?


3

A??
1 ○

(b)


A B



透镜

B??

因为

15cm (c) 图 1-5-48

A??

u ? 15cm , ? ? 20cm
1 1 1 ? ? u ? F

所以

F?

u? 15 ? 20 60 ? ? (cm ) u ? ? 15 ? 20 7

把求得的 F 值代入①式 有
1 1 1 ? ? 60 12 f ? 7

则 f ? ? 30(cm) 即为所求附加薄透镜焦距。 点评:透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或多个光学元件构 成一个光学系统的成像问题是一类典型的问题,对于这类问题,一方面要注意不 同的光学元件各自的成像规律, 另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相 对性。即前一光学元件的像视为后一光学元件之物。 例 14、 长度为 4mm 的物体 AB 由图 1-5-49 所示的光学系统成像, 光学系统由 一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成,各有关参数和几何尺寸均示 于图中。求: 1、像的位置; 2、像的大小,并作图说明是实像还 是虚像,是正立还是倒立的。 解: 解法 1
图 1-5-49
A 6cm

B

f1=-20cm
10cm

f2=-10cm
5cm L1 L2

6cm n=1.5
45?

f1

f2

1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率,棱镜斜面上的全反射临界角为

? c ? arcsin

1 ? 42 ? n
6cm 6cm 10cm L1 5cm L2

注意到物长为 4mm, 由光路可估 算,进入棱镜的近轴光线在斜面上的

N=1.5

45?

入射角大多在 45?左右, 大于临界角, 发生全反射,所以对这些光线而言,
图 1-5-50

棱镜斜面可看成是反射镜, 本题光路可按反射镜成像的考虑方法, 把光路 “拉直” , 如图 4-3-34 的示。 现在,问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及 其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置 厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像, 它成为光学 系统后面部分光路的物,故可称为侧移的物。利 用沿光轴的光线和与光轴成 a 角的光线来讨论就 可求出这个移动的距离。 设轴上物点为 B, 由于厚度平玻璃板的作用而 形成的像点(即侧像的物点)为 B ? (图 1-5-51) 。 画出厚平玻璃板对光线的折射,由图可知
?l ? d (cot? )
?

?

?

B

?
?l

d
B?

d

?

?

D

图 1-5-51



d ? D(tan? ? tan ? )

所以 当 a 为小角度时

? tan ? ? ?l ? D?1 ? ? ? tan? ?

tan ? sin ? 1 ? ? tan ? sin ? n

故得
? 1? ?l ? D?1 ? ? ? 2cm ? n?

这也就是物 AB 与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。 这个像对透镜 L1 来说就是物,而物距

u1 ? [(6 ? 2) ? 6 ? 10]cm ? 20cm
可见,物证好在 的左方焦平面上,像距即为

?1 ? ?
再考虑透镜 L2 ,这是平行光线入射情况

u2 ? ?
所以必成像于这个发散透镜 L2 左侧焦平面上(虚像) 。

? 2 ? f 2 ? ?10cm
整个光路的最后成像位置就是在 的左侧 10cm 处。

3、求像的大小和虚、实、正、倒情况 可用作图法求解,如图 1-5-52 所示(为
A?
A??

f2 L1 L2

了图示清楚,图中把物高加大了) 。 连接 A?O1 并延长,便得到发自 A? 的光线 经 A? 后的平行光线的方向。 过 L2 的光心 O1 作
B? B ??

C

?
O2

O1

f1

A?O1 的平行线,它与 L1 交于 C 点,则 A?C 即
为从 A? 出发经过 L1 折射又通过 L2 光心的光

图 1-5-52

线。 反向延长 O2 C 与 L2 左侧焦面的交点 A?? 就是 A? 由 L1 经 L2 所成的像点。 令 L2 左 侧焦面与光轴的焦点为 B ?? , A ??B ?? 就是 A?B ? 的像。这是一个正立的虚像。由图可



A??B?? ? f 2 tan?
A?B? ? f1 tan?

而 A?B ? 与 AB 等高,所以像的大小为

A??B?? ?
解法 2

f2 f1

A?B? ? 2mm

关于物体经棱镜(折射、反射、再折射)后, 所成像的位置及大小可采用视深法处理。
A2
A? B?

A1
A

B1
B

如图 1-5-53 所示,AB 发出的与 PQ 面近乎垂直的小光束 经 PQ 面折射后成像于 A1 B1 这是视深问题, A1 , B1 与 PQ 面的距离均为 A,B 与 PQ 面的距离的 n 倍,即
B2

P

C1 C2

Q C3
R

图 1-5-53

C1 B1 ? nC1 B

A1 B1 ? AB , (像与物的大不相同)

A1 B1 经 PQ 面的折射成像于 A2 B2 ,大小不变,且
C2 B2 ? C2 B1 ? C2C1 ? C1 B1 ? PC1 ? nC1 B

A2 B2 经 PQ 面的折射成像于 A?B ? ,大小不变,且
C3 B ? ? 1 1 C 3 B2 ? C 3 C 2 ? C 2 B 2 n n

?

?

?

1 C1Q ? PC1 ? nC1 B n 1 ? PQ ? C1 B n

?

?

? 6 ? ?? ? 6 ?cm ? 10cm ? 1.5 ?

由此即可求出这个像 A?B ? 作为透镜 L1 的物距。其它部分的求解同解法 1。

例 15、 在焦距为 20.00cm 的薄凸透镜的主轴上离透 镜中心 30.00cm 处有一小发光点 S,一个厚度可以忽略 的光楔 C (顶角 a 很小的三棱镜) 放在发光点与透镜之间,
S

C

L

M

图 1-5-54

垂直于轴,与透镜的距离为 2.00cm,如图 1-5-54 所示, 设光楔的折射率 n=1.5,楔角 a =0.028 弧度。在透镜另一侧离透镜中心 46.25cm 处放一平面镜 M,其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相 对发光点的位置在何处(只讨论近轴光线,小角度近似适用。在分析计算过程中 应作出必要的光路图)? 分析:这是一个光具成像问题,厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当 于一使光线产生偏折的薄平板,平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像,在这一 过程中,我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算, 就可得出最后结果。 解:共有五次成像过程。 (1)光楔使入射光线偏折,其偏向角(出射光线与入射光 线方向的夹角)用 ? 表示,由图 1-5-55 可知

a
i1 ? ? i2 i2 i1 n

?

? , sin i2 ? n sin i2 ? , i1 ? ? i2 ? ?? sin i1 ? n sin i1 ?; 对近轴光线, i1 很小,有 i1 ? ni1
因 a 也很小,同样有

图 1-5-55

? ? ni2 i2
故有

? ) ? (i2 ? ? i2 ) ? ? (i1 ? i1 ? ? ? ? (n ? 1)? ? i1 ? i2

?
S1?
S
h l
图 1-5-56

?

代入数值,得

? ? (1.5 ? 1) ? 0.028rad ? 0.014rad
因 ? 与入射角大小无关,各成像光线经光楔后都偏折同样角度 ? 。又因光楔 厚度可忽略, 所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角 ? 的薄平板, 图 1-5-56。

?。 ? 在 S 正上方, 光点 S 经光楔成一虚像点 S1 对近轴光线,S1 到 S 的距离为 h,
离光楔距离 l ? 28.00cm 。
h ? ?l ? (n ? 1)?l

代入数据,得
h ? 0.39cm

? 的位置可由下式求出 ? 为透镜 L 的实物,像点 S 2 (2) S1
1 1 1 ? ? u ? f

以 u=30.00cm,f=20.00cm 代入,得

? ? 60.00cm
将 SS1? 视为与光轴垂直的小物,由透镜的放大率公式
M1 ?

?
u
C
L

可求得

M

? ? M 1h ? 0.78cm h2 ? 在光轴下方与光轴的 即像点 S 2

? S1 h S

F

? h3
30.00

? h2 ? S2

距离为 0.78cm,与透镜的中心距离 为 60.00cm 处,图 1-5-57。
图 1-5-57

? S3 d 46.25 60.00

? 在平面镜之后, (3)S 2 对平面
? 与 S2 ? 对称于平面镜(图 1-5-57) 镜是虚物,经平面镜成像,像点 S 3

d ? 13 .75cm

? ? h2 ? ? 0.78cm h3 ? 作为透镜的实物,经透镜折射后再次成像,设像点 S 2 ?与 ?? , S 2 ?? 及 S 3 (4) S 3
L 的距离分别为 和 u ? ,则

u ? ? 32.50cm ,

?? ?

fu ? ? 52.00cm (u ? f )

?? 在透镜左侧,主轴上方,图 1-5-58。 S2 ?? ? M 2 h2 ? ? 1.25cm h2
(5)第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折,再次成像,像点 S1??

?? 正下方, 在 S2 离光楔距离为
50cm,离光轴的距离为(见 图 1-5-58) 。
l? 52.00

C

L

?? S2 ? S ?? h2 1

?h h?
F

? S2

?h ? ?l ? ? 0.70cm

图 1-5-58

?? ? ?h ? 0.55cm h? ? h2
像点 S1?? 在光轴上的垂足与 S 的距离为
?s ? l ? ? l ? 22.00cm

即最后的像点在发光点 S 左侧光轴上方,到光轴的距离为 0.55cm,其在光轴上 的垂足到 S 的距离为 22.00cm。


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