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高中数学必修五全部学案


【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 时间:2007.8

组题人:

一、1、基础知识 设 ? ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a 、b、c,R 是 ? ABC 的外接圆半径。 (1)正弦定理: = = =2R。 (2)正弦定理的三种变形形式: ① a ? 2R sin A, b ? ,c= 。



a , sin B ? 2R ③ a:b:c ?
② sin A ? (3)三角形中常见结论: ①A+B+C= ③任意两边之和 ④ sin

, sin C ? 。 。② a < b ? 第三边,任意两边之差 , s i nA ( ? B) ?



。 第三边。 , sin 2( A ? B) = 。

A? B = 2

2、课堂小练 (1)在 ?ABC 中,若 sin A > sin B ,则有( ) A、 a <b B、 a ? b C、 a >b (2)在 ?ABC 中,A=30°,C=105°,b=8,则 a 等于(

D、 a ,b 的大小无法确定 ) 三角形。

A、4 B、 4 2 C、 4 3 D、 4 5 (3)已知 ?ABC 的三边分别为 a, b, c ,且 cos A : cos B ? b : a ,则 ?ABC 是 二、例题 例 1、根据下列条件,解 ?ABC : (1)已知 b ? 3.5, c ? 7, B ? 30 ,求 C、A、 a ;
?

(2)已知 B=30°, b ? 2 ,c=2,求 C、A、 a ; (3)已知 b=6,c=9,B=45°,求 C、A、 a 。

例 2、在 ?ABC 中, sin A ?

sin B ? sin C ,试判断 ?ABC 的形状。 cos B ? cosC

三、练习 1、在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cosB ,求证: ?ABC 是等腰三角形或直角三角形。

1

2、在 ?ABC 中, a : b : c ? 1 : 3 : 5 ,求

2 sin A ? sin B 的值。 sin C

四、课后练习 1、在 ?ABC 中,下列等式总能成立的是( A、 a cosC ? c cos A C、 absin C ? bcsin B
?



B、 b sin C ? c sin A D、 a sin C ? c sin A )

2、在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 3, C ? 120 ,则 sin A : sin B 的值是( A、

5 3 3 5 B、 C、 D、 3 5 7 7 ? 3、在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 ,C=75°,则 b 等于( ) 32 A、 4 2 B、 4 3 C、 4 6 D、 3 4、在 ?ABC 中,A=60°, a ? 4 3, b ? 4 2 ,则角 B 等于( )
A、45°或 135° B、135° C、45° D、以上答案都不对 5、根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A、 a ? 8, b ? 16, A ? 30 ,有两解
?

B、 b ? 18, c ? 20, B ? 60 ,有一解
?

C、 a ? 5, b ? 2, A ? 90 ,无解
? ?

D、 a ? 30, b ? 25, A ? 150 ,有一解
? ?

6、已知 ?ABC 中, a ? 10, B ? 60 , C ? 45 ,则 c 等于( A、 10 ? 3 B、 10( 3 ? 1)
2 2

) D、 10 3

C、 10( 3 ? 1)

7、在 ?ABC 中,已知 a tan B ? b tan A ,则此三角形是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、直角或等腰三角形 8、在 ?ABC 中,C=2B,则 A、

sin 3B 等于( sin B



b a a c B、 C、 D、 a b c a ? 9、在 ?ABC 中,已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 45 ,如果利用正弦定理,三角形有两解,则 x 的取值范围是( A、2< x < 2 2 B、 x > 2 2 C、 2 < x <2 D、0< x <2 3 10、三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 。该三角形的面积为 14,则这两边分别为( ) 5
A、3 和 5 B、4 和 6 C、5 和 7
?



D、6 和 8 , ?C ? 。

11、在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, ?B ? 60 ,则 c=

12、在 ?ABC 中,已知 (b ? c) : (c ? a ) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sin C 等于 13、在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 1, B ? 30 ,则三角形的面积等于 。 14、若 ?ABC 三个角 A、B、C 成等差数列,且最大边为最小边的 2 倍,则三内角之比为 。
?

15、已知 ?ABC 中, BC ? a, AB ? c ,且

tan A 2c ? b ? ,求 A。 tan B b

2

16、已知在 ?ABC 中,A=45°, AB ?

6 , BC ? 2 ,求其他边和角。

17、在 ?ABC 中若 C=3B,求

c 的取值范围。 b

18、已知方程 x ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为 ?ABC 的两边,A、B 为 a、b 的对角,试判定 此三角形的形状。
2

五、课后反思 组题人:张玉辉 一、基础填空 1、余弦定理:三角形中任何一边的 的 a2= 2、余弦定理的推论: 的 倍,即 ,b2= ,c2= 。 等于其他两边的 的 减去这两边与它们的 的 1.12 余弦定理 时间:

cos A ?

,c o s B?

, cos C ?



3、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题: 、 (1)已知三边,求 (2)已知 4、 S ?ABC = 二、典型例题 例 1、 ?ABC 中,已知 b ? 3, c ? 3 3, B ? 30 ,求角 A、角 C 和边 a。
?

; 和它们的 = = ,求第三边和其他两个角。 。

3

练习 1:已知 ?ABC 中, a : b : c ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,求 ?ABC 的各角度数。

例 2、在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)( a ? b ? c) ? 3ab ,且 2 cos A ? sin B ? sin C ,确定 ?ABC 的形状。

练习 2、在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,试判断三角形的形状。

三、课堂练习 1、在 ?ABC 中,已知 B=30°, b ? 50 3, c ? 150 ,那么这个三角形是( A、等边三角形 C、等腰三角形 B、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形 )

2、在 ?ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若

c 2 ? a 2 ? b2 >0,则 ?ABC ( 2ab



A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形 C、一定是钝角三角形 D、是锐角或直角三角形 3、在 ?ABC 中, a : b : c ? 3 : 5 : 7 ,则 ?ABC 的最大角是( A、30° B、60° C、90° D、120°



4、在 ?ABC 中, a ? 7, b ? 4 3, c ? 13 ,则 ?ABC 的最小角为( A、



? 3

B、

? 6
2 2

C、

? 4

D、

?
12

5、在 ?ABC 中,若 b ? a ? c ? ac ,则 ?B 为(
2

) D、30°

A、60°

B、45°或 135° C、120°
4 4 4 2 2 2

6、在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? 2c (a ? b ) ,则 C 等于( A、30° B、60° C、45°或 135° D、120°



7、在 ?ABC 中,已知 a 比 b 长 2,b 比 c 长 2,且最大角的正弦值是

3 ,则 ?ABC 的面积是( 2



21 3 35 3 15 15 B、 C、 D、 3 4 4 4 4 8、若 ?ABC 为三条边长分别是 3,4,6,则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是(
A、 A、1:1 B、1:2 C、1:4 D、3:4
4



9、已知 ?ABC 中, AB ? A、

3, AC ? 1 ,且 B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积等于(
C、



3 2

B、

3 4

3 或 3 2

D、 )

3 3 或 4 2

10、在 ?ABC 中, sin A ? A、

16 65

3 5 , cos B ? ,则 cosC=( 5 13 56 16 56 B、 C、 或 65 65 65

D、以上皆对

11、在 ?ABC 中,若 B=30°,AB= 2 3, AC ? 2 ,则 ?ABC 的面积 S 是 12、已知三角形的两边分别为 4 和 5,它们夹角的余弦是方程 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根,则第三边长是 13、 ?ABC 中三边分别为 a、b、c,且 S ? ? 。

a 2 ? b2 ? c 2 ,那么角 C= 4

14、在 ?ABC 中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为 。 15、三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹角的余弦为方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则这个三角形的面积为
2

16、在 ?ABC 中,已知 a ? b ? 4, a ? c ? 2b ,且最大角为 120°,则这个三角形的最大边等于



17、如图所示,在 ?ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 的中点,且 AD=4,求 BC 边的长。

18、已知圆 O 的半径为 R,它的内接三角形 ABC 中 2R (sin A ? sin C ) ? ( 2a ? b) sin B 成立,求 ?ABC 面积 S 的最大值。
2 2

19、已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3cm ,周长为 20cm,求此三角形的各边长。

2

20、在 ?ABC 中, ?A ? 60 ,b=1, S ? ?
?

3。

a?b?c 的值; sin A ? sin B ? sin C (2) ?ABC 的内切圆的半径长。
求(1)

5

四、课后练习 1、在 ?ABC 中,下列等式总能成立的是( ) A、 a cosC ? c cos A B、 b sin C ? c sin A C、 ab sin C ? bc sin B D、 a sin C ? c sin A 2、在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 3, C ? 120 ,则 sin A : sin B 的值是(
?



5 3 3 5 B、 C、 D、 3 5 7 7 ? ? 3、在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b 等于( 32 A、 4 2 B、 4 3 C、 4 6 D、 3
A、 4、在 ?ABC 中, A ? 60 , a ? 4 3, b ? 4 2 ,则角 B 等于(
?





A、45°或 135° B、135° C、45° D、以上答案都不对 5、根据下列条件,判断三角形的情况,其中正确的是( ) A、 a ? 8, b ? 16, A ? 30 ,有两解
?

B、 b ? 18, c ? 20, B ? 60 ,有一解
?

C、 a ? 5, b ? 2, A ? 90 ,无解
?

D、 a ? 30, b ? 25, A ? 150 ,有一解
?

6、已知 ?ABC 中, a ? 10, B ? 60 , C ? 45 ,则 c 等于(
? ?



A、 10 ?

3

B、 10 ( 3 ? 1)
2 2

C、 10 ( 3 ? 1)

D、 10 3 )

7、在 ?ABC 中,已知 a tan B ? b tan A ,则此三角形是( A、锐角三角形 C、钝角三角形 8、在 ?ABC 中,C=2B,则 A、 B、直角三角形 D、直角或等腰三角形

b a

B、

a b

sin 3B 等于( sin B a C、 c

) D、
?

c a


9、在 ?ABC 中,已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 45 ,如果利用正弦定理,三角形的两解,则 x 的取值范围是( A、2< x < 2 2 B、 x > 2 2 C、 2 < x <2 D、0< x <2 )

10、三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 A、3 和 5 B、4 和 6

3 ,该三角形的面为 14,则这两边分别为( 5
D、6 和 8 , ?C ?
?

C、5 和 7

11、在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, ?B ? 60 ,则 c ?



12、在 ?ABC 中,已知 (b ? c) : (c ? a ) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sin C 等于 。 13、在 ?ABC 中, a ?

3, b ? 1, B ? 30 ? ,则三角形的面积等于



14、若 ?ABC 三个角 A、B、C 成等差数列,且最大边为最小边的 2 倍,则三内角之比为 。 15、已知 ?ABC 中, BC ? a, BC ? c ,且

tan A ? tan B

2c ? b ,求 A。 b

16、已知在 ?ABC 中,A=45°, AB ?

6 , BC ? 2 ,求其他边和角。

6

17、在 ?ABC 中,若 C=3B,求

c 的取值范围。 b

18、已知方程 x ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为 ?ABC 的两边,A、B 为 a、b 的对角,试判定
2

此三角形的形状。

【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第三课时 正弦定理和余弦定理综合问题 组题人:杨玉萍 时间:2007.8 一、①基本知识 1、利用正、余弦定理可判断三角形的形状,其途径通常有两种: (1)将已知条件统一化成 (2)将已知条件统一化成 2、三角形中常用面积公式: 的关系,用代数方法求解; 的关系,用三角方法求解。

1 aha (ha 表示 2 1 (2) S ? ab sin C ? 2
(1) S ? 3、解斜三角形通常有下列四种情形:

) ; = 。

(1)已知“一边和二角(如 a, B, C ) ” ,则可由 A+B+C=180°,求角 A,再由 此时 S ? ?

定理求出 b 与 c。

1 ac sin B 在有解时只有 2

解。 定理求第三边 c, 再由 定理求出小边所对的角, 再由 A+B+C=180°

(2) 已知 “两边及夹角 (如 a, b, C ) ” , 则可由 求出另一角。 其中 S ? ?

1 ab sin C 在有解时只有 2

解。 定理求出角 A,B,再利用 解。 定理求出角 B,由 A+B+C=180°,求出角 C 再利用 定 求出角 C。

(3)已知“三边(如 a, b, c) ” ,可用 其中 S ? ?

1 ab sin C 在有解时只有 2

(4)已知“两边和其中一边的对角(如 a, b, A) ” ,可由 理求出边 c。 其中 S ? ? ②课堂小练 1、已知 ?ABC 中, a ? 2 3, b ? 2 2 , c ? A、锐角三角形 B、直角三角形
2 2

1 ab sin C 可有 2

解、

解或

解。

6 ? 2 ,则 ?ABC 的形状为(
C、钝角三角形
2

) D、不能确定 )

2、在 ?ABC 中,若三内角满足 sin A ? sin B ? sin B ? sin C ? sin C ,则角 A 等于( A、30° B、60° C、120° D、150° 3、在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC ,则这个三角形一定是( )
7

A、锐角三角形或钝角三角形 C、以 c 为斜边的直角三角形

B、以 a 或 b 为斜边的直角三角形 D、等边三角形
?

5、已知 ?ABC 的周长为 20,面积为 10 3 , A ? 60 ,则 BC 的长为 二、例题 例 1、在 ?ABC 中,若 a tan B ? b tan A ,求证 ?ABC 是等腰三角形。
2 2



例 2、在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 b ? ac ,且 a ? c ? ac ? bc ,求 ?A 的大小及
2 2 2

b sin B 的值。 c

例 3、已知在 ?ABC 中,锐角 B 所对的边 b=7,外接圆半径 R=

7 3 ,三角形面积 ? 10 3 ,求三角形其他两边的长。 3

三、课堂练习 1、已知 ?ABC 中, b ? 8, c ? 3, sin A ?

247 ,求 a 的值,并判断三角形的形状。 16

2、 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 ?A 、 ?B 、 ?C 的对边,如果 2b ? a ? c, ?B ? 30 , ?ABC 的面积为
?

3 ,那么 b=( 2



2? 3 C、 1 ? 3 D、 2 ? 3 2 2 3、已知锐角三角形 ABC 中,边 a 、 b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B 满足 2 sin(A ? B) ? 3 ? 0 ,求角 C 的度数, 边 c 的长度及 ?ABC 的面积。
A、 B、

1? 3 2

8

四、课后练习 2、在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为(



1 2 1 2 A、 ? B、 C、 ? D、 4 3 4 3 ? 3、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 1, B ? 45 , S ?ABC ? 2 ,则 ?ABC 的外接圆直径是(
A、 4 3 B、5 C、 5 2 D、 6 2 4、在 ?ABC 中,若 2 cos B sin A ? sin C ,则 ?ABC 的形状一定是( A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 6、 ?ABC 中,若 b ? 2a, B ? A ? 60 ,则 A=
?






2

7、 已知 ?ABC 中,?A ? 60 , 最大边和最小边的长是方程 3x ? 27 x ? 32 ? 0 的两实根, 那么 BC 边长等于
?



7 8、在 ?ABC 中,若 c=4,b=7,BC 边上的中线 AD 的长为 ,求边长 a 。 2

9、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a, b, c ,若 b ? a cosC 且 ?ABC 的最大边长为 12,最小角的正弦值为 (1)判断 ?ABC 的形状; (2)求 ?ABC 的面积。

1 。 3

五、课后反思 【高二数学学案】 §1.2 应用举例 组题人:杨玉萍 时间:2007. 8. 26 一、基础知识填空 (一)在解决与三角形有关的实际问题时,经常出现一些有关的名词、术语,如仰角、俯角、方位角、方向角、铅垂平面、坡角、 坡比等。 (1)铅垂平面:是指与海平面 的平面。 (2)仰角与俯角:在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为 角;当视线在水平线之下时,称为 角。 (3)方位角:从正北方向线 时针到目标方向线的水平角,或称北偏 多少度。 (4)方向角:从 方向线到目标方向线的水平角,如南偏西 60?,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转 60?。 (5)坡角: 与水平的夹角。 (6)坡比:坡面的 (二)课堂小练 1、如右图,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,测量到下列四组数据,较适宜的是( A、c 与 ? B、c 与 b C、c 与 ? D、b 与 ?
9



之比。即 i ?

h ?tan ? (? 为坡角, i 为坡比) l


2、在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30?和 60?,则塔高为( A、



400 3

B、

400 3 3

C、

200 3 3

D、

200 3

3、在静水中划船的速度是每分钟 40m,水流的速度是每分钟 20m,如果船从岸边 A 处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那 么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( ) A、15? B、30? C、45? D、60? 4、海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60?的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75?的视角,那么 B 岛与 C 岛间的距离是 。 米。

5、一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成 30?角,树干底部与树尖着地处相距 5 米,则树干原来的高度为

二、例题 例 1:某观测站 C 在城 A 的南向西 20?的方向,由城 A 出发的一条公路,走向是南向东 40?,在 C 处测得公路上距 C 为 31km 的 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20km 后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21km,则这个人还要走多远才可到达 A 城?

例 2、某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45?距离为 10n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105?的方向,以 9n mile/h 的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间。

三、课堂练习 1、为了测量上海东方明珠塔的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5?,前进 38.5m 后,到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0?, 试计算东方明珠塔的高度(精确到 1m)

2、甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60?的 B 处,乙船以每小时 a 海里的速度向北行驶,已知甲船的速度为每小时 3a 海里,问甲 船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?

四、课后练习 1、如右下图,为了测量隧道口 AB 的长度,给定下列四组数据,测量时应当用数据( A、 ? , a, b B、 ? , ? , a C、 a, b, ? D、 ? , ? , b



2、已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40?,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60?,则灯

10

塔 A 在灯塔 B 的什么位置?

3、 在某个位置测得某山峰仰角为 ? , 对着山峰在平行地面上前进 600m 后测仰角为原来的 2 倍, 继续在平行地面上前进 200 3m , 测得山峰的仰角为原来的 4 倍,则该山峰的高度为多少?

4、在一幢 20 米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为 60?,塔基的俯角为 45?,那么这座塔的高度是多少米?

5、已知海岛 A 四周 8 海里内有暗礁,今有一货轮由西向东航行,望见 A 岛在北偏东 75?,航行 20 2 海里后,见此岛在北偏东 30?,如货轮不改变航向继续前进,问有无触礁危险?

6、某人在静水中游泳,速度为 4 3km/ h , 如果他径直游向河对岸,水的流速为 4km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?

第三章 数 列 刘淑珍 重点:数列的概念及数列的通项公式 难点:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
11

一、基础知识 引例:按一定次序排列的一列数 (1)1,2,3,4,5 (3) ? 1,1,?1,1, ?? (5)1,3,5,4,2 (6) 2 的精确到 1,0.1,0.01,0.001,??的不足近似值排列成一列数 1、概念: (1)数列: 注:①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是: 。 (1)与(5)相同吗? (2)项: (3)项的序号: 2、表示:数列的一般形式为: ,简化为 例: 1, (2)1,

1 1 1 1 , , , 2 3 4 5

(4)1,1,1,1,??



1 1 1 1 , , , ? , , ?简记为: 2 3 4 n 1,3,5,7,? 2n ? 1 ,?简记为



注: {a n } 与 a n 的区别: 3、数列与函数的关系:

4、数列的通项公式: 作用:①以序号代 n 可求数列各项;②可验证某数是否是数列中的项 注:①通项公式有时不存在;②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式: 6、分类:

二、例题 例 1、根据 {a n } 的通项公式,写出它的前 5 项。 (1) an ?

n n ?1

(2) an ? ( ?1) ? n
n

例 2、写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数 (1)1,2,3,4; (2)1,3,5,7; (3)

2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 52 ? 1 , , , ; 2 3 4 5
1 a n ?1
给出,写出这个数列的前 5 项。

例 3、已知: {a n } 中, a1 ? 1 ,以后各项由 a n ? 1 ?

三、练习 1、根据 {a n } 的通项公式,写出它的前 5 项: (1) a n ? 5 ? ( ?1)
n ?1

(2) a n ?

2n ? 1 n2 ? 1

12

2、根据通项公式,写出它的第 7 项与第 10 项 (1) an ? n(n ? 2) (2) an ? ?2 ? 3
n

3、写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数。 (1)1,2,3,4 (2)2,4,6,8

1 1 1 1 , ,? , 2 4 8 16 4、写出下面数列 {a n } 的前 5 项
(3) ? (1) a1 ? 5 (2) a1 ? 2 课本 P108 页练习

(4) 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 , ? , ? . ? 2 2 3 3 4 4 5

an ? an ?1 ? 3(n ? 2) an ? 2an?1 (n ? 2)

13

二、数列 刘淑珍 重点:由数列的递推公式,求数列的某些项 难点:由递推公式猜想数列的通项公式 一、知识要点: 1、已知数列的通项公式,求某一项。 2、判断一个数是否为数列的项。 3、由数列的递推公式求数列的指定项,由递推公式猜想数列的通项公式。 二、例题: 1、已知数列{an}中,a1=1,a2=1, 以后各项由 an+2=an+1+an 给出,写出这个数列的第 6 项。

2、已知一个数列 a1=1,an=an-1+2n-1(n>1) ,求数列的前 4 项,并猜想出数列的通项公式。

3、已知数列的通项公式为 an=n2-n-30 1)求数列的前三项,60 是此数列的第几项? 2)n 为何值时,an=0? an>0? an<0?

4、数列{an}对一切正整数 n 满足 a1+2a2+4a3+ ……+2n 1an=9-6n ,求{ an }的前 4 项。
-

三、练习

、 7、 11、 15 ?? 的( 1、5 3 是数列 3



A、第 18 项 B、第 19 项 C、第 20 项 D、第 21 项 2、以下四个结论中①数列的递推公式也是给出数列的一种方法 ②数列都可以用通项公式来表示 ③数列可以用图象表示,从图象 上看,它是一群孤立点 ④数列的通项公式是唯一的 其中正确的是( ) A、①② B、①③ C、②③ D、①②③④ 3、已知: a1 ? 1, an ? 7an ?1 (n >1) ,则 a n 的通项公式为( A、 a n ? 7
n ?1

) D、 an ? 7(n ? 1)

B、 a n ? 7

n

C、 a n ? 7n
2

4、已知:数列的通项公式为: an ? n ? n ? 30 ,则该数列中哪一项为+26? 5、数列 {a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? A、

1 7

1 1 2 2 ? ? ( n ? 2 且 a n ? 0) 。则 a 6 等于( ,且 a n ?1 a n ?1 a n 3 2 7 B、 C、 D、7 7 2



6、在数列 {a n } 中,已知 a2 ? 2, an ?2 ? an ? 2n ,则 a 8 ?

14

7、已知:数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, a4 ? 15 ,且 a n ?1 ? pan ? q 。求 p、q 的值。

8、已知数列 {a n } 的通项公式为 an ? log( n ?1) n ? N ,求此数列前 30 项的乘积。

( n?2 )

?

9、数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a2 ? 5, an ?2 ? aa ?1 ? an (n ? N ) ,求 a 2000 的值。

?

三、等差数列 刘淑珍 重点:等差数列的概念及通项公式 一、基础知识 1、等差数列的定义: 难点:等差数列通项公式的灵活运用

等差数列可简记为 A?P 数列 2、由等差数列定义知,其递推公式可写为: 3、由等差数列定义知,要证明一个数列为等差数列,只需证明: 4、若一个等差数列的首项为 a1,公差为 d,则其通项公式 a n = 证明:

二、例题 1、 (1)求等差数列 8,5,2?的第 20 项 (2)-401 是否为等差数-5,-9,-13?的项?如果是是第几项。

2、在等差数列 {a n } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31 ,求首项 a1 与公差 d。

3、梯子的最高一级宽 33cm,最低一级宽 110cm,中间还有 10 级。各级的宽度成等差数列,计算各级的宽度。

4、在等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? 110, a2 ? 116 ,则此数列在 450 到 600 之间有多少项?

15

5、证明:以 an ? pn ? q 为通项公式的数列为等差数列(p、q 为常数)

6、在等差数列中, a p 与 a q 是其中两项,求 a p 与 a q 间的关系。

三、练习 1、等差数列的首项为 15,公差为 6,则它从第

项开始,各项都大于 100。

2 、 数 列 {a n } 的 首 项 a1 ? 23 , 公 差 数 为 整 数 的 等 差 数 列 , 且 前 6 项 为 正 的 , 从 7 项 开 始 变 为 负 的 , 则 此 数 列 的 公 差 d= 。 3、若 m ? n ,数列,m,a1,a2,n 和数列 m,b1,b2,b3,n 都是等差数列,则 4、若等差数列 {a n } 中, p ? q 时, a p ? q, a q ? p 则 a p ? q = 5、一个等差数列的第 5 项等于 10,第 10 项为 25,则 d=

a 2 ? a1 = b2 ? b1
。 。

四、等差数列的性质 刘淑珍 重点:等差数列的性质及性质的应用 难点:性质的运用 一、已知:A?P 数列 {a n } 、{bn } 分别是 1,4,7,10?和 2,6,10,14?判断下列数列是否为 A?P 数列,若是,其公差与 {a n } 、

{bn } 的公差有何关系。
1、 {an ? bn } 3,10,17,24? 2、 {a n ? 2} 3、 { a n } 3,6,9,12?

1 2

1 7 ,2, ,5 ? 2 2
一般地 A?P 数列 {a n } 与 {bn } 的公差分别是 d 1 、 d 2 则

4、在数列 {a n } 中,每隔两项取一项,1,10,19,28? 1、数列 {an ? bn } 是 2、数列 {a n ? m} 是 3、数列 {kan }(k ? 0) 是 数列其公差为 数列其公差为 数列其公差为

4、数列 {a n } 每隔 k 项取一项,组成新数列 {c n } ,则 {c n } 是 证明:
16

二、1、已知 {a n } 是 A?P 数, an ? ?2n ? 5 ,则① a1 ? a11 ? ② a2 ? a10 ? ③ a6 ?
?

2、在 A?P 数列 {a n } 中,若 m ? n ? p ? q(m 、 n 、 p 、 q ? N ) 则 a m ? a n 证明:

a p ? aq

一般地,若 a1 , a 2 , a3 ? an ?1 , an 是等差数列,则距首末两端
?

的两项和等于同一个常数。

3、在等差数列 {a n } 中,若 m ? n ? 2l (m, n, l ? N ) ,则 a m 、 a n 、 a l 的关系为 三、等差中项、定义: 1、求下列两数的等差中项 (1) ? 180 与 360
? ?

(2) ( a ? b) 与 ( a ? b)
2

2

2、若和为 S 的三个数成等差数列,可按下列三种方式求中间项。 (1)设此三数为 a, a ? d , a ? 2d (2)设此三数为 a ? d , a, a ? d (3)设此三数为 a ? 2d , a ? d , a 在此三种说法中,以第 种设法最简。 若四数、五数??成等差数列可分别设为

3、要证三数成等差数列,只要证

四、练习 1、在等差数列 {a n } 中, (1) a1 ? 3, a100 ? 36 ,则 a3 ? a98 ? (2) a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 30 则 a1 ? a20 ? (3) a5 ? a, a10 ? b, 则 a15 =

2、A·P 数列 {a n } 满足 a7 ? m, a14 ? p( m ? p ) ,则 a 21 = 3、一个无穷等差数列 {a n } ,公差为 d,则 {a n } 中有有限个负数的充要条件为 4、 2b ? a ? c ,则 a、b、c 成等差数列的 条件。

5、在等差数列 {a n } 中, a3 ? a11 ? 40 ,则 a6 ? a7 ? a8 = 6、三个数成 A·P 其和为 18,平方和为 116,则此三数为 7、在 A·P 数列 {a n } 中,d>0 且 a3 ? a7 ? ?12, a 4 ? a6 ? ?4 ,则 d= 8、若

1 1 1 b?c c?a a?b 也成 A·P (a ? b ? c ? 0) , , 成 A·P 证明 , , a b c a b c

五、等差数列前 n 项和 刘淑珍 重点:等差数列前 n 项和公式。难点:获得推导前 n 项公式思路。 一、复习 1、设 x 是 a、b 的等差中项,并且 x 是 a 与 ? b 的等差中项,则 a、b 关系(
2 2 2



A、 a ? ?b

B、 a ? 3b

C、 a ? b ? 0
17

D、 a ? ?b 或 a ? 3b

2、若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值为(
x x

) D、0 或 32

A、0

B、 log 2 5

C、32

3、在数列 1、3、5、7??中, 6n ? 1 是第几项? 二、公式 1、设等差数列的前 n 项和为 S n ,即 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a n (1)在等差数列 {a n } 中, a1 ? an , a2 ? an ?1 , a3 ? an ?2 ?相等吗? (2)等差数列前 n 项和公式(1) 证明:

2、小结 (1) a n 、 S n 表达式中包括 a1 、 a n 、 S n 、 n 、 d 五个量中,如果已知其中任意三个量,可求出另外 (2) a n 是 n 的 次函数( d ? 0) 次函数( d ? 0) 且不含 项。 个未知量。

Sn 是 n 的
(3) a n 与 S n 关系:

三、例题 1、等差数列-10,-6,-2,2,?前多少项的和是 54?

2、在等差数列 {a n } 中, d ?

1 , S 37 ? 629 ,求 a1 及 a37 。 3

3、求集合 M ? {mlm ? 7n, n ? N , 且 m<100}的元素个数,并求出这些元素的和。

?

4、在 A·P 中,S10=100,S100=10。求 S110=-110

四、练习
18

1、求前 n 个自然数的和,0+1+2+?+(n-1)= 2、1+4+7+?+100= 3、在等差数列中, a1 ? a4 ? 10, a2 ? a3 ? 2 ,则 S n ? 4、一个等差数列共 10 项,其中奇数项和为 12



。 。

1 ,偶数项的和为 15,则 a 6 = 2 5、A·P 中, a4 ? 8, a11 ? 22 ,则 a31 ? a32 ? a33 ? ? ? a80 = 6、在等差数列 {a n } 中,已知 S n ? m, S m ? n(m ? n) 求 S m ? n 。

六、前 n 项和习题课 刘淑珍 重点:难点:等差数列前 n 项和的应用 1、前 100 个正整数中,先划去 1,然后又每隔两个数划去一个数,则留下的各数之和为 。 2、如果一个 A?P 数列的前 n 项和公式为 S n ? an ? bn ? c ,其中 a、b、c 是常数,则常数 c 的值一定等于
2



3、在等差数列 {a n } 中,若 a2 ? ?61, a5 ? ?16 ,它的前 4、已知 A?P 数列的前 n 项和 S n ? ?

项最小,最小和是 项和最大。 。



1 2 n ? 5n ,则它的前 2

5、三个数成 A?P,其和为 9,积是 15,这三个数是 6、若 A?P 数列 {a n } 中, d ?

1 且 S100=145,则 a1+a3+a5+?a99= 2


7、设数列 {a n } 、 {bn } 都是 A?P 数列,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列 {an ? bn } 的前 100 项的和为 8、已知 S n ? pn ? qn (p、q 为常数且 q ? 0) ,求 a n 并证明 {a n } 为 A?P。
2

9、在 A?P 数列中,S10=310,S20=1220,求 S n 。

10、在 A?P 数列 {a n } 中, S m ? S n (m ? n) ,求 S m ? n 。

11、已知 S n 是数列 a n 的前 n 项和,且 a1 ? 1, {

1 } 是首项为 1,公差为 2 的 A?P 数列,求数列 {a n } 的通项公式。 Sn

12、已知 an ? 2n ? 17 ,当 n 取什么值时, S n 最小?

19

13、设 A?P 数列 {a n } 的前 n 项和为 A,第 n+1 项到第 2n 项和为 B,第 2n+1 项到第 3n 项和为 C,求证 A、B、C 与 A?P。

14、 (选做)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? 求证: {a n } 为等差数列。

n(a1 ? an ) (n ? 3) 2

七、等差数列习题课 刘淑珍 重点、难点:等差数列的通项公式,前 n 项和公式的综合作用。 1、A?P 数列 {a n } 中, a2 ? a12 ? 19 ,则 S13=( A、 ) D、

249 2

B、

247 2

C、

245 2

243 2


2、A?P 数列 {a n } 中,已知 a1 : a2 ? 4 ,那么 S 7 : S5 的值为( A、1 B、

7 2

C、3

D、4 )不成立

3、A?P 数列 {a n } 中,公差 d ? 0 且 a1 ? d 。若前 20 项的和 S20=10M,则下列( A、 M ? a6 ? a15 C、 M ? 2a1 ? 19 d A、 a 7 B、 a 8 B、 M ? a1 ? 2a10 D、 M ? 2a20 ? 19 d ) C、 a 9 D、 a10 )

4、在首项是 31,公差为-4 的 A?P 数列中,与零最靠近的项(

5、等差数列 96,88,80?的前 n 项和 S n 的最大值是(

A、606 B、612 C、618 D、624 6、如果一个数列是 A?P 数列,将它的各项取绝对值后仍是等差数列则( A、它是常数列 B、其公差必大于 0 C、其公差必小于 0 D、都可能 7、等差数列 {a n } 中,若 A、



Sn a n2 ? 2 (m ? n ) 则 n 的值是( S m m am



m n

B、

2m ? 1 n

C、

m 2n ? 1

D、

2n ? 1 2m ? 1


8、已知两个等差数列 {a n } 和 {bn } 的前 n 项和之比为

a 7n ? 1 ( n ? N ? ) ,则 11 等于( b11 4n ? 27
D、

A、

7 4

B、

3 2

C、

4 3

78 71


9、一个项数是奇数的等差数列,它的奇数项与偶数项之和分别为 168 和 140,最后一项比第一项大 30,则数列的项数是( A、21 B、15 C、11 D、7
20

10、已知 {a n } 为等差数列, a1 >0 且 S15=S20,问它的前多少项和最大。

11、设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 3 ? 12 ,且 S12>0,S13<0 (1)求公差 d 的范围

(2)问前几项和最大,说明理由

n 2 ? 5n 12、 (选做)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 且 Cn ?| an | 。求 {C n } 的前 n 项和 Pn 。 2

八、等比数列 刘淑珍 重点:等比数列的概念及通项公式;难点:等比数列通项的运用。 一、基础知识 1、等比数列定义:

2、等比数列递推公式: 3、等比数列的通项公式: 证明:

4、要证明一个数列是 G?P,应证明 5、在 G?P 数列中,任意两项 a m 、 a n 间的关系 6、等比中项:

21

二、例题 1、试在

1 1 和 之间插入两个中间项,使其成 G?P,求这两个数。 2 128

2、已知 {a n } 、 {bn } 是项数相同的等比数列,求证 {a n ? bn } 是等比数列。

3、一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别为 12 与 18。求它的第 1 项与第 2 项。

三、练习 1、求证:以 a n ?

3 n ?1 ? 2 为通项公式的数列为等比数列。 8

2、求等比数列 1,2,4,8?的第 10 项 3、首项为 3,末项为 3072,公比为 2 的等比数列的项数

。 。 (增或减)的数列,首项 a1 ? ,

4、已知:数列的通项公式为 a n ? ?( ) ,那么它是一个递
n

1 6

公比 q= 。 5、求下列各数的等比中项。 (1)45 与 80 (2) a ? a b 与 b ? a b
4 2 2 4 2 2

6、一个各项均为正数的 G?P 数列,它任何项都等于它后面连续两项的和,其公式 q= 7、首项为

1 ,从第 11 项开始,各项都比 1 大的等比数列的公比 q 的取值范围 32
1 n 2 n n n

8、要使 G?P 数列 10 ,10 ,?10 ?的前 n 项积超过 105,那么 n 的最小值是 9、在 G?P 数列 {a n } 中,若 a1 ? a 2 ? 324 , a 3 ? a 4 ? 36 ,则 a5 ? a6 = 10、在 G?P 数列 {a n } 中, a5 ? 61, a11 ? 1647 ,则 a 7 = 11、三数成 G?P 数列,它们的积为 64,其算术平均数为 12、已知 {a n } 是 G?P 数列,求证: { 。



14 ,这个数列为 3



1 },{ a n } 也是 G?P 数列。 an

九、等比数列的性质 刘淑珍
22

重点:等比数列的性质及应用 一、基础知识 (1) {a n ? bn } (3) {Man }( M ? 0)

难点:性质的应用

1、若等比数列 {a n } 、 {bn } 的公比为 q1、q2 判断下面数列是否为等比数列,若是则公比为多少? (2) {a n }
t

(4)在原数列中每隔 K 项取一项组成数列 {c n } 。证明结论。 2、在等比数列 {a n } ,与首末两项等距离的两项的
?

等于同一个常数。

3、在等比数列 {a n } 中,若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ) ,则 am ? an 证明:

a p ? aq 。

特别地:当 m ? n ? 2l 时, a t

2

am ? an 。

4、已知:三数成 G·P,若知三数积为 m,怎样设最好? 若知三数和为 S,怎样设? 如果是四数呢? 二、例题 1、三数成 G·P,其积为 125,其和为 31。求此数列。

2、某种细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂为两个) ,经过 4 小时,这种细菌由一个可繁殖成多少?

3、20,50,100 各加上同一个数常后,构成一个 G·P 数列,求 q。

4、已知 {a n } 成 G·P,前三项为 a,2a ? 2,3a ? 3 。则此数列第几项为 ? 13

1 ? 2

5、三个互不相等的数成 A·P,如果适当排列这三个数也可成 G·P,已知这三个数的和为 6。求此三个数。

三、练习 1、已知 G·P 数列中, a2 ? 5, a6 ? 8 ,则 a 4 ? 2、已知:在 G·P 数列中, a5 ? b, a10 ? a 。则 a15 =
23

, a 3 ? a5 = 。



3、在 G·P 数列中, a3 ? a6 ? a9 =27,则 a 6 =
2 2 2 2 2



4、若方程 (a ? b ) x ? 2b(a ? c) x ? b ? c ? 0(a, b, c 为非零实数)有实根。求证:a、b、c 成等比数列。

5、已知:三数成 G·P,和为 26,且此三数分别加上 1,2,3 构成 A·P,求原三数。

十、等比数列前 n 项和 刘淑珍 重点:等比数列的前 n 项和公式。难点:获得推导前 n 项和公式的思路。 一、等比数列 {a n } 前 n 项和公式为 (1)当 q ? 1 时, S n = 证明: (一)错位相减法 = (2)当 q=1 时, S n = (二)等比定理法

二、例题 1、求等比数列

1 1 1 , , ?的前 8 项和。 2 4 8

2、某制糖厂第 1 年制粮 5 万吨,如果平均每年的产量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总产量达到 30 万吨? (保留到个位)

3、求和 ( x ?

1 1 1 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ? ? ( x n ? n )( x ? 0) y y y

4、求和 S ? a ? 2a ? 3a ? ? ? na
2 3

n

三、练习 1、等比数列

3 3 3 , , ?从第 3 项到第 9 项的和为 2 4 8

。 。
10

2、在等比数列 {a n } 中,若 a3 ? 12, a6 ? ?96 ,则 S6= 3、已知数列 lg x ? lg x ? ? ? lg x =110 则 lg x ? lg x ? ? ? lg
2 10 2

x=


4、已知正数 G·P 数列 {a n } 中,S3=6, a7 ? a8 ? a9 ? 24 ,则 S99=
24

5、等比数列 a 、 ab 、 ab ? ab

2

n ?1

? (a ? 0, b ? 0) 前 n 项和 S n =

6、等比数列 {a n } 中, a1 ? a2 ? 20, a3 ? a4 ? 40 ,求 S6。

7、有 5 个数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成 G·P,前 4 项和为 6 ? 3 2 ,后四项和为 6 ? 6 2 ,求此 5 个数。

8、七个实数排成一排,奇数项成 A·P,偶数项成 G·P,且奇数项之和与偶数项之积的差为 42,首末两项与中间项之和为 27, 求中间的值。

9、 (选做)在 G·P 数列中, T1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , T2 ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 n ,

T3 = a2 n ?1 ? a2 n ?2 +? ? a 3n 。问 T1、T2、T3 有什么关系?并证明之。

十一、等比数列习题课 刘淑珍 重点、难点:等比数列的前 n 项和公式的应用 一、选择题 1、数列 {a n } 是一个常数列,下面结论正确的是( A、 {a n } 等差数列,也是等比数列
n



B、 {a n } 不是等差数列,也不是等比数列 )

C、 {a n } 是等差数列,不一定是等比数列 D、 {a n } 是等比数列,不一定是等差数列 2、 若一个等比数列的前 n 项和是 S n ? ab ? c 其中 a、 b、 c 是常数, 且 a ? 0, b ? 0 ,c ? 1 , 那么 a、 b、 c 必须满足的条件是 ( A、 b ? c ? 0 B、 a ? c ? 0
n

C、 a ? b ? c ? 0

3、设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? 3 ? r ,那么 r 的值等于(

D、 a ? b ? c ) )

A、-1 B、0 C、1 D、3 4、已知 {a n } 是等比数列且 a n >0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 =( A、5 B、10 C、15 D、20

5、若 a、b、c 成等比数列,又 m 是 a、b 的等差中项,n 是 b、c 的等差中项,那么

a c ? ?( m n



A、4 B、3 C、2 D、1 6、某人从 1996 年起,每年 7 月 1 日到银行新存入 a 元,一年定期,若年利率 r 保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年 定期,到 2003 年 7 月 1 日将所有存款及利息取回,他可取回的钱数(元)为( ) A、 a (1 ? r ) C、 (1 ? r ) 二、填空题。 1、等比数列 {a n } 中, S 4 ? 2, S8 ? 6 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为 2、等比数列的通项公式 a n ? 2 3、若 a、b、c 成 A·P、
4?n

6

B、 a (1 ? r ) D、

7

8

a [(1 ? r )8 ? (1 ? r )] r


则 S5 =

。 。

a?b a?c b?c 成 G·P,则该数列公式为 , , 2 4 6
25

4、在等比数 {a n } 中,已知 S 2 n ? 120, S3n ? 30 ,则 S n ? 5、设 a ? b ? c, b ? c ? a, c ? a ? b, a ? b ? c 组成等比数列,其公式为 q,那么 q ? q ? q 的值等于
2 3



三、解答题 1、等比数列的第 n 项和 S n ? k ? 3 ? 1 ,则 k 的值是多少?
n

2、已知:三个数为 G·P 数列,若将等比数列的第 3 项减去 32,则成等差数列,再将此等差数列的第 2 项减去 4,又成等比数列, 求原来的三个数。

3、已知 y ? f ( x ) 为一次函数,且 f (2), f (5), f (4) 为等比数列,且 f (8) ? 15 ,求 S n ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (n )( n ? N ) 的表 达式。

?

4、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 2, a n ?1 ? 2( a1 ? a 2 ? ? ? a n )( n ? N ) 求证:此数列从第二项起是 G·P 数列。

?

5、 (选做)已知等差数列 lg x1 , lg x2 , ? 的第 r 项为 S,第 S 项为 r。求 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x n .

十二、等差、等比数列习题课(一) 刘淑珍 重点、难点:等差数列,等比数列的通项公式,前 n 项公式的综合应用。 一、填空题 1、在 a 与 b 之间插入三个数,使它们成 A?P,则此三数为 2、在 160 与 10 之间插入三个数,使它们成 G?P,则此三数成 3、已知数列 {

1 } 与 A?P 且 b2=2,b6=4,则 b4= bn
2

4、若 S n ? 5n ? 3n 则 a n ? 5、若 S n ? 3 ? b(b 为常数)则 a n ?
n

6、在等比数列中, a1 ? 2, a5 ? 6 ,则 a 3 ? 7、在等比差数列中, S m ? a, S n ? b(n >m)则 S m ? n =
26

8、若一个数列既是等差数列,又是等比数列则该数列为 9、已知 a1 , a 2 , a 3 成 A·P,c 是正常数,则 C 1 , C 2 , C 3 是
a

a

a

a

数列。
a a

10、已知 a1 , a 2 , a 3 ?成 G·P,且各项均为正数,a>1,且 a ? 1 ,则 loga1 , loga2 , loga3 ?是 11、1+4+7+?+(3n+1)= 12、某商品零售价 2001 年比 2000 年上涨 25%欲控制 2002 年比 2000 年上涨 10%,则 2002 年比 2001 年降价 二、简答题 1、求和: S ? (a ? 1) ? (a ? 2) ? ? ? (a ? n)
2 n

数列。



2、一个递减的等比数列,其前三项之和为 62,前三项的常用对数和为 3,则数列第 5 项的值为多少?

3、设等比数列的前 n 项和为 S n ,积为 Pn ,倒数的和为 Tn ,求证: Pn ? (

2

Sn n ) Tn

4、有四个数,前三个数成 A·P,后三个数成 G·P,首末两项之和为 11,中间两项之和为 10,求这四个数。

5、已知某市 1991 年底人口为 100 万,人均住房面积为 5m2,如果该市人口平均增长率为 2%,每年平均新建住房面积为 10 万 m2, 试求到 2001 年底该市人均住房面积为多少平方米?

6、 (选做)设 {a n } 成 A·P, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?
a

1 2

21 1 , b1b2 b3 ? ,求 a n 。 8 8

十三、等差、等比数列习题课(二) 刘淑珍 重点、难点:等差数列,等比数列的通项公式,前 n 项和公式的综合应用。

27

1、数列 1 ,2

1 1 1 ) ,3 ,4 ?前 n 项的和为( 4 8 16 n2 ? n 1 1 n2 ? n A、 n ? B、 ? n ?1 2 2 2 2 2 n ?n 1 n(n ? 1) 1 C、 D、 ? n ? n ?1 2 2 2 2 a ?( b


1 2

2、三个不同实数 a,b,c 成等差数列,a,c,b 又成等比数列,则 A、

7 4

B、4

C、-4

D、2 )

3、在等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? a6 ? a15 ? a 20 ? 30 ,则数列的前 20 项和 S20=( A、100 B、120 C、140 D、150

4、已知数列 {a n } 的 a1 ? ?60 , an ? an ?1 ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ? ? | a30 | =( A、-495 B、765 C、1080 D、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为 p%,则年平均增长率为( )



?1 1 1 1 1 1 6、设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 S 3 与 S 4 的等比中项为 S5 , S 3 与 S 4 的等差中项为 1,求通项 a n 。 3 5 3 4 4
A、12p% B、 (1 ? p %)
12 11 12

C、 (1 ? p %) ? 1

D、 (1 ? p %)

7、设有数列 a1 , a2 , ? a n ?又若 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ? a n ? a n ?1 是首项为 1,公比为

1 的等比数列。 ( 1)求 a n 3

(2)求

a1 ? a2 ? ? ? a n

8、在等比数列 {a n } 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

211 , 27

1 1 1 1 1 211 ? ? ? ? ? ,求 a 3 。 a1 a 2 a3 a 4 a5 48

9、 (选做)已知两个数列 {a n } ,{bn } 满足关系式 bn ? 列。

1a1 ? 2a2 ? ? ? nan (n ? N ? ) ,若 {bn } 是等差数列,求证 {a n } 也是等差数 1? 2 ? 3 ??? n

28

10、 (选做)已知数列 {c n } 其中 cn ? 2 ? 3 且数列 {cn ?1 ? pcn } 为等比数列。
n n

(1)求常数 p

(2)设 {a n } , {bn } 是公比不相等的两个等比数列。 cn ? an ? bn 证明数列 {c n } 不是等比数列。

十四、数列的通项(一) 刘淑珍 重点:利用 S n 、 a n 的关系及一阶递推公式求通项公式。 难点:如何构造等差、等比数列。 一、观察法 写出数列的一个通项公式,使得它的前几项分别为以下各数: 1、 ?

2 4 8 16 , ,? ,? ? 3 5 7 9

2、9,99,999,9999?

3、1,5,7,17,31,65? 二、已知 S n ,求 a n 1、在数列 {a n } 中,已知 S n ? 2 ? 2an ,求通项公式 a n 。

2、在数列 {a n } 中, S n ?1 ? S n ? 2an ?1 , a1 ? 3 。求通项公式 a n 。

3、在数列 {a n } 中,已知 an ? S n ? S n ?1 (n ? 2), a1 ?

2 ,求通项公式 a n 。 9

三、由一阶递推公式求通项公式 1、 数列 {a n } 中,已知 a1 ? 3, a n ?1 ? a n ? n 。求通项公式 a n

2、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 1 , an ?

1 an?1 ? 1.( n ? 2) 。求通项公式 an 。 2

29

3、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n 。求通项公式 a n 。
n

四、练习 1、已知正数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ?

1 1 ( a n ? ) 求数列 {a n } 的前 3 项,并由此猜测出 a n 。 2 an

2、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 1, S n ? n an ,求通项公式 a n 。
2

十五、数列的通项(二) 刘淑珍 重点:由递推的公式、根式、指数求通项公式。难点:如何构造相应的等比数列。 一、换元法 1、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 2,

1 1 1 ? ? (n ? 2) 。求通项公式 a n 。 an an ?1 2

二、取倒数法 2、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 2, a n ?1 ?

an 。求通项公式 a n 。 an ? 3

三、取对数法 3、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 2, a n ?1 ?

3n 。求通项公式 a n 。

30

4、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 4,2a n ? a n ?1 ( n ? 2) 。求通项公式 a n 。

3

4

四、练习 1、数列 1,1 ?

1 1 1 1 1 1 ,1 ? ? ,1 ? ? ? ?的第 n 项 a n ? 2 2 4 2 4 8



2、已知等差数列 {a n } 前三项依次为 a ? 1, a ? 1, a ? 3 。则其通项 a n = 3、若数列 {a n } 由 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2n(n ? 1) 确定,则 a100 = 4、数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 a n 之间满足 a n ?
2 2Sn ( n ? 2) 2Sn ? 1

(1)求证:数列 {

1 } 是等差数列 Sn

(2)求数列 {a n } 的通项公式

5、在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 1, n ? 2 时, a n 、 S n 、 S n ?

1 成 G?P,求 S n 、 a n 的表达式。 2

6、数列 {a n } 对一切自然数 n 满足 a1 ? 2a2 ? 4a3 ? ? ? 2

n ?1

an ? 9 ? 6n 求数列 {a n } 的通项公式。

十六、数列求和 刘淑珍 重点:用累加法、倒序相加法、错位相减法、拆项法求数列前 n 项的和 难点:如何选择合适的方法 一、1、已知 a n ?

3 。求 S n 2n

n个5

31

2、5+55+555+?+555?5=

3、求和。 S ? (2 ? 3 ? 1) ? (2 ? 3 ? 2) ? (2 ? 3 ? 3) ? ? ? (2 ? 3 ? n)
2 3 n

4、已知 a n ?

2n ? 1 。求 S n 2n

5、已知 an ?

1 求 Sn n(n ? 1)

6、已知: a n ? n 。求 S n
2

二、总结数列求和方法

三、练习 1、已知 a n ?

1 ,求 S n n ( n ? 2)

2、已知: a n ? 2 ? 3

n ?1

? 3n ? 1 。求 S n

3、 S ? 2 ? 4a ? 6a ? ? ? 2n ? a
2

n ?1

4、 S ?

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? ??? n ) 2 2 4 2 4 2

32

5、 数列 {a n } 与 {bn } 的前 n 项和分别记作 S n 与 S n , 如果 S n ? n ? 2n ? 1, S n ? n ? 2n ? 3 ,设 Cn ? a n ? bn 。 求 {C n } 前 n 项和 Pn 。
' 2 ' 2

十七、数列求和和与应用题 刘淑珍 重点: (1)巩固求前 n 项和的方法 难点:建立合适的数学模型解应用题 1、求 (2)用数列求解应用题

1 1 1 1 的和 ? ? ? ?? ? 1? 3 3? 5 5 ? 7 (2n ? 1)( 2n ? 1)

2、 1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n

3、

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 1? 2 2? 3 3?2 n ? n ?1

4、设{an}为等差数列,公差是 d ,则

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? a1a3 a3a5 a5 a7 a2 n ?1a2 n ?1

5、 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ?? ? n(n ? 1) ?

6、从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水填满,再倒出 1 升混合溶液,用水填满,这样继续下去,一共倒了 4 次,这 时容器里还有多少纯酒精?(保留到 1 位)

33

7、某林场原有森林木材存量为 a,木材以每年 25%的增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为 x,为了实验经过 20 年达到木材 存有量至少翻两番的目标,则 x 的最大值是多少?(1g2=0.3)

8、 (选做)已知数列{an}的前 n 项和为 S n ? 10 n ? n ,数列{bn}的每一项 bn ?| a n | ,求数列{bn}的前 n 项和。
2

【高二数学学案】 3.1.1 不等关系与不等式 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

【基础知识】 一、不等式的定义及分类 1、定义: 2、分类:

赠言:高二夯实基础,强化能力,作好飞跃的准备。

二、比较两代数式大小的理论依据

a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

注:任意两实数 a, b,在三个关系中有且仅有一种关系成立。 ▲:作差法 【典例精析】 例 1、比较 x2-x 和 x-2 的大小。

练:比较 x ? 2 x与 ? x ? 3 的大小。
2

小结: 例 2、比较 x ? 2 x与x ? 1 的大小。
2

练:已知 a>b, 试比较 a3 与 b3 的大小。

34

小结: 【当堂练习】 1、请用不等号表示下列关系: (1)a 是非负实数; (2)实数 a 小于 3,但不小于-2; (3)a 和 b 的差的绝对值大于 2,且小于等于 9。

2、试比较

4a 和 1 的大小。 4 ? a2

3、已知 a ? b, 求证 :

a 2 ? 4b 2 ? 2b(a ? b)

4、已知 a, b ? R? , 且 a ? b ,试比较 a5+b5 和 a2b3+a3b2 的大小。

5、列出下题中未知数 x 所满足的不等式(或不等式组) : 一辆汽车原来每天行驶 x 公里,如果它每天多行驶 19 公里,那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2200 公里;如果它每天比原来少行 驶 12 公里,那么行驶同样的路程 s 就需超过 9 天时间。

【课堂小结】 3.1.1 不等关系与不等式习题 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:踏踏实实学习,快快乐乐生活。
1、 下列不等式① x ? 3 ? 2 x ( x ? R)
2

② a ? b ? a b ? a b ( a, b ? R) ③ a ? b ? 2(a ? b ? 1) , 其中正确的个数为 (
5 5 3 3 2 3 2 2



个 A、0 个 B、1 个
2

C、2 个
2

D、3 个

2、已知 ? 1 ? a ? 0, A ? 1 ? a , B ? 1 ? a , C ?

1 , 把 A、B、C 由小到大排为 1? a

3、有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表: 方式 效果 种类 粮食 石油 轮船运输量/t 300 250
35

飞机运输量/t 150 100

现在要在一天内运输 2000t 粮食和 1500t 石油,写出安排轮船艘救和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式。

4、若 x<y<0,试比较 ( x ? y )( x ? y)与( x ? y )( x ? y) 的大小。
2 2 2 2

5、证明:对任意实数 x,f(x)=3x2-x+1 总大于 g(x)=2x2+x-1。

6、比较

1 与1 ? x 的大小,其中 x ? R且x ? ?1 1? x

7、 lg x ? log x 10 ? 2 ,并说明式中等号成立的条件。

8、已知 xy ? 0, x ? y, 试比较 log a ( x 4 ? 6 x 2 y 2 ? y 4 )与 log a [4 xy( x 2 ? y 2 )] (a ? 0, a ? 1) 的大小。

9、 (选)设 f(x)=1+logx3, g(x)=2logx2, 其中 x>0,且 x≠1,比较 f(x)与 g(x)的大小。

【高二数学学案】 3.1.2 不等式的性质(一) 刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:天道酬勤,上帝不会让任何努力学习、奋勇前进

的人失望的。

36

【基本知识】 复习:1、不等式的定义、分类 2、比较两数(式)大小的方法: 新授:1、对称性 证明:

2、传递性 证明:

3、可加性 证明:

4、可乘性: 证明:

推论 1 证明:

推论 2:可乘方性:

5、可开方性: 证明: 注: (1)记清各性质的使用条件 (2)注意各性质中是单向推导还是双向互推。

例题部分 a>b>0 1、 求证: ? ac<bd c<d<0

2、已知 ?

?
2

??<? ?

?
2

,求

? ??
2

3、已知-3<a<b<1,-4<c<0,求 (a ? b) ? c 的取值范围。

4、已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ,满足 ? 1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的范围。
2

37

练习 1、已知

a c a?b c?d < ,比较 与 的大小。 b d b d

2、 ? 为第三角限角, ? 是第二象限角,则
2

? ??
2

的终边所在象限是



3、 f ( x ) ? ax ? c ,且 ? 4 ? f (1) ? ?1,?1 ? f (2) ? 5 ,试求 f (3) 的取值范围。

4、已知 2 ? a ? 3 且 ? 2 ? b ? ?1 。试求 a ? b, a ? b, ab 和 【高二数学学案】

a 的取值范围。 b

3.1.2 不等式的性质(二) 刘淑珍 张文刚

赠言:用青春和激情抒画自己最美的高中历程。
知识回顾:默写不等式的性质及推论

习题部分 1、若 a>b>c,且 a+b+c=0,则下面恒成立的不等式是( A、ac>bc B、ab>ac C、a|b|>|b|c ) D、ab>bc

2、对于实数 u ,v,w 下列命题成立的是( ) A、若 u>v,且 w>v,则 u>w B、若 w>v,且 u>v,则 uw>vw C、若 u>v,则 uw>vw D、若 u>-v,则 w-u<w+v 3、若 0<x<y<1,下列不等式中正确的是( ) A、 (1 ? x ) > (1 ? x ) C、 (1 ? x ) > (1 ? x )
y

1 y

y

B、 (1 ? x ) > (1 ? y )
x

y

y 2

D、 (1 ? x ) > (1 ? y )
x

y

4、若 m>n,

1 1 > ,则( m n

) C、m<0,n>0
2 2

A、m>0,n<0

B、m>0,n>0

D、m<0,n<0

5、若 a>b,则给出下列不等式:① (ac) ? (bc) ;② A、① B、②
x x

c2 c2 a b 2 2 bc > ;③ > ;④ > ,则成立的有( ac a b c2 c2
D、①③④



C、②③

6、已知 f ( x ) ? a , g ( x ) ? b ,当 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 3 时, x1 > x 2 ,则 a 与 b 的大小关系不可能成立的是( A、b>a>1 B、a>1>b>0 C、0<a<b<1 D、b>1>a>0 7、已知 a, b, c ? R ,则下面推理中正确的是( ) A、 a > b ? am > bm
2 2



B、

a b > ? a >b c c
38

1 1 1 1 2 < D、 a 2 > b , ab >0 ? < a b a b 8、若 a, b 是任意实数,且 a >b,则( ) b 1 1 2 2 A、 a > b B、 <1 C、 lg(a ? b) >0 D、 ( ) a < ( ) b a 2 2
C、 a 3 > b , ab >0 ?
3

1

1

9、当 0<a<1 时, (1 ? a ) 3 与 (1 ? a ) 2 的大小关系是 10、若 d>c,a+b=c+d,a+d<b+c,则 a,b,c,d 的大小关系是 。 11、若 x, y, z, w 是四个实数,且满足 xz>0,xyw<0,xyzw>0,y+w<0,则 x, y, z, w 各实数的正负符号是 12、设 a ? b ? 0, p ? 13、证明下列不等式: ①已知 a<b<0,求证



a ? b , q ? a ? b ,p 与 q 的大小关系为

b a < a b

②已知 a>b>0,求证

a b > b a

③已知 a>b,

1 1 < ,求证:ab>0 a b

【高二数学学案】 刘淑珍 张文刚 3.2 均值不等式(一) 时间:

赠言:始终坚信自己能成功,并执著求索,那你就离成功不远了。
知识部分 1、重要不等式:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”号)
2 2

证明:

注:

2、基本不等式:如果 a、b 是正数,那么 证明:

a?b (当且仅当 a=b 时取“=”号) ? ab , 2

39

注:

例 1、已知 a, b, c ? R ,求证: a ? b ? c ? ab ? ac ? bc
2 2 2

例 2、已知 a>0,b>0 求证:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 2

例 3、已知 x>0,y>0 (1)若积 xy 为定值 P,求和 x ? y 的最小值: (2)若和 x ? y 为定值 S,求积 xy 的最大值。

练习 1、 a, b, c ? R 且均不为 0,求证 (1) a ? b ? c ? abc( a ? b ? c)
4 4 4

(2)

b2 c 2 c 2 a 2 a 2b2 ? 2 ? 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 2 a b c

2、证明下列不等式 (1) a ? 1 ? 2a (2) ab ? (
2

a?b 2 ) 2

(3) b ? (

1? b 2 ) 2

(4)x,y 同号,

x y ? ?2 y x

a (5)a>0,x>0,则 x ? ? 2 a x
【高二数学学案】

a2 ? 2a ? b(b >0) (6) b

刘淑珍 张文刚

3.2 均值不等式(二) 时间:

知识:设 x, y 都为正数,则有

赠言:每天进步一点点,成功迟早来到眼前。
。 。

(1)若 x ? y ? S (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 (2)若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时和 x ? y 取得最小值 利用上述结论求最大值或最小值时应注意: ① ②
40

③ 例 1、 (1)已知 x <

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

(2)已知 0<x<

2 2 ,求 y ? 2 x ? 5x 的最大值。 5

(3)已知 x>3,求 y ?

2x2 的最小值。 x?3

例 2、 (1)已知 x>0,y>0,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

(2)已知 x>0,y>0 且 2 x ? y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值。 x y

例 3、 (1)已知 a>b>0,求 a ?
2

16 的最小值。 b( a ? b )

(2)已知 a,b 为实常数,求 y ? ( x ? a ) ? ( x ? b) 的最小值。
2 2

例 4、 (1)已知函数 y ? ax ?

b ,研究其值域、单调性。 ( a >0,b>0) x

(2)求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值。

(3)已知 x ? (0,

?
2

] ,求函数 y ? sin x ?

1 的值域。 sin x
41

【高二数学学案】 §3.3 一元二次不等式及其解法(一) 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:

大胆的想象,不倦的思索,一往直前的前进,这才 是青春的美,青春的快乐,青春的本分。

【基础知识】 1、解一元二次不等式的一般步骤: 当 a>0 时,解形如 ax ? bx ? c ? 0(? 0) 或 ax ? bx ? c ? 0(? 0) 的一元二次不等式,一般可分为三步:
2 2

(1) (2) (3) 2、 “三个一元二次”的关系 判别式△=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的 图像 △>0 △=0

; ; 。

△<0

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根

一元二次 不等式的 解集

ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)

3、关于一元二次方程根的分布 设方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两根分别为 x1, x2(x1<x2)







【典型例题】 例 1、解不等式 3x ? 2 x ? 2 ? 3x
2

42

例 2、解关于 x 的不等式: x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 0 。
2 2

例 3、若关于 x 的不等式

4x ? m ? 2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 x ? 2x ? 3
2

例 4、关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的两根都大于 2,求实数 m 的取值范围。
2

例 5、解关于 x 的不等式 ( x ? 2)[( a ? 1) x ? a ? 2] ? 0 (a ? 0)

【课堂练习】 1、解不等式 ? 2 x ? x ? 1 ? 0 。
2

43

2、已知一元二次方程 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ,求 a, b 的值。

3、若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。
2

4、已知关于 x 的方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一根大于 1 另一根小于 1 则实数 a 的取值范围。
2 2

(选做)5、已知函数 f ( x) ? lg[(a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1]
2 2

(1)f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 (2)f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围。

3.3 一元二次不等式及其解法习题 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:

岁月如流水,不断地逝去却又源源而来,惟有青春 一去不复返。

2
2

1、在下列不等式中,解集是 ? 的是( A、 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

B、 x ? 4 x ? 4 ? 0 D、 ? 2 ? 3x ? 2 x ? 0

C、 4 ? 4 x ? x ? 0
2

2、若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是 {x | ?

1 1 ? x ? } ,则 a+b 的值为( 2 3



A、14 B、-10 C、10 D、-14 3、二次函数 y=-x2-6x+k 的图象的顶点在 x 轴上,则 k 的值为( ) A、-9 B、9 C、3 D、-3 4、已知函数 y=ax2+bx+c, 如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是图中的(



5、要使关于 x 的方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一根比 1 大,且另一根比 1 小,则 a 的取值范围是(
2 2



44

A、 ? 1 ? a ? 1 B、 a ? ?1或a ? 1 C、 ? 2 ? a ? 1 D、 a ? ?2或a ? 1 2 6、二次方程 ax +bx+c=0 的两根分别为-2, 3,a<0,那么 ax2+bx+c>0 的解集为( A、 {x | x ? 3或x ? ?2} B、 {x | x ? 2或x ? ?3} C、 {x | ?2 ? x ? 3} 7、2x -3x-2>0 的解集是 8、当 x ?
2



D、 {x | ?3 ? x ? 2} 。

2

时, x ? x ? 12 有意义。
2

9、若关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | x ? ?2或x ? ? } ,则关于 x 的不等式 cx2-bx+a>0 的解集是 10、已知函数 y=x2-4x+3,则当自变量 x 满足 变量 x 满足 ,函数值小于 0。 ,函数值等于 0;当自变量 x 满足

1 2



,函数值大于 0;当自

11、m 为什么实数时,关于 x 的方程 mx2-(1-m)x+m=0 有实根?

12、若函数 y ? x ? 2ax ? a ? 1(0 ? x ? 1) 的函数值大于 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2 2

13、已知不等式 (a ? 1) x ? 2(a ? 1) x ? 3 ? 0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围。
2 2

2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 14、若不等式组 ? 2 的整数解只有-2,求 k 的取值范围。 ? ?2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0

2 (选做)15、已知函数 y ? ax ? bx ? c 的图象过点(-1,0) ;是否存在常数 a, b, c,使不等式 x ? ax ? bx ? c ?
2

1 (1 ? x 2 ) 对一 2

切实数 x 都成立?

【高二数学学案】 §3.3 一元二次不等式及其解法(二) 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:

学问是好的,……如果自己不想,只随口问,即使能得到正确答 复,也未必受大益,所以学问二字, “问”放在“学”的下面。
45

【基础知识】 1、分式不等式:

f ( x) ?0? g ( x)

f ( x) ?0? g ( x)

f ( x) ?0? g ( x)

f ( x) ?0? g ( x)

2、一元高次不等式的解法: 步骤:

【典型例题】 例 1、解不等式:

1 ?1 x

例 2、解关于 x 的不等式

a( x ? 1) ? 1 (a ? 0) x?2

例 3、

x 2 ? 4x ? 1 ?0 3x 2 ? 7 x ? 2

【当堂训练】

( x ? 1) 2 ( x ? 2) ? 0 解集是 1、不等式 ( x ? 3)( x ? 4) 2 3 2、不等式 ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 3) ? 0 解集 x?a 3、不等式 2 ? 0 解集是 {x | 1 ? x ? a或x ? 2} ,则 a 范围 x ? 3x ? 2 x?3 4、不等式 ? 0 解集为 2? x x 2 ? px ? q 2 ? 0 解集 5、若 x ? px ? q ? 0 解集为 {x | 1 ? x ? 2} ,则 2 x ? 5x ? 6 1 6、若 m>0, n>0,不等式 ? m ? ? n 解集 x x?c ( x ? a)( x ? b) 7、已知, ? 0 解集为 ? 0 解为 ? 1 ? x ? 2或x ? 3 ,则 ( x ? a)( x ? b) x?c
46

8、对 ? ? R, 不等式 cos 2? ? 3 ? 2m cos? ? 4m 恒成立,求 m 范围。

【高二数学学案】 设计人:刘淑珍 张文刚 3.4 不等式的实际应用 时间:

赠言:要紧张不要慌张,要快乐不要没落。
【基础知识】 1、应用不等式解决数学问题时,关键在于要善于把 转化为 ,以及不等关系的转化等,把问题转化为 不等式问题求解。 2、解答不等式的实际应用问题,一般可分三个步骤: (1)阅读理解材料,应用题所用语言多为“ 、 、 ”并用,而且文字叙述篇幅较长,阅读 理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型,这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形 成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向。 (2)建立数学模型。即根据题意找出常量与变量的不等关系。 (3)利用不等式的有关知识解题,即将数学模型转化为数学符号或图形符号。 3、利用均值不等式求最值常见的有: (1)已知某些变量(正数)的积为定值,求和的最小值。 (2)已知某些变量(正数)的和为定值,求积的最大值。 在运用基本不等式解决上述问题时要注意“一正、二定、三相等” 。对于函数 f ( x) ? ax ? 型的最值问题,要会用函数单调性求解。 【典型例题】 例 1、如图所示,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a, b 各为多少米时, 最小(A, B 孔的面积忽略不计) 。

b b 的类 (a ? 0, b ? 0) 定义域内不含实数 a x
米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔 流出的水中该杂质的质量分数与 a, b 沉淀后流出的水中该杂质的质量分数

例 2、某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1000 辆,本年度为适应 市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ? x ? 1) ,则出厂价相应的提高比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价—投入成本)×年销售量。 (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

47

例 3、经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间的函 数关系为 y ?

920 v (v ? 0) 。 v ? 3v ? 1600
2

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到 0.1 千辆/小时) ; (2)如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车平均速度应处于什么范围?

【练习】 1、将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,每涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,为获得最大利润,售价 应定为( ) A、每个 95 元 B、每个 100 元 C、每个 105 元 D、每个 110 元

y ? ?4 x ? 440 x , 2、 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线, 生产的摩托车数量 x 辆与创造的价值 y 元之间的关系如下:
2

那么它在一个星期内大约生产 辆摩托车才能创收 12000 元以上。 A、 (50,60) B、 (100,120) C、 (0,50) D、 (60,120) 3、b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0) ,若再添加 m 克糖(m>0),则糖水变甜了,试根据这一事实可提炼的不等式是(



a?m a ? b b a?m a C、 ? b?m b
A、 方案(1)先降价 a%,再降价 b%; 方案(2)先降价 b%,再降价 a%; 方案(3)先降价

a a ? b?m b a?m a D、 ? b?m b
B、

4、某品牌彩电为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号彩电降价,有四种降价方案:

a?b a?b %, 再降价 %; 2 2


方案(4)一次性降价(a+b)% 其中 a>0, b>0, a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是

5、现有含盐 7%的食盐水 200 克,生产上需要含盐 5%以上、6%以下的食盐水,设需要加入含盐 4%的食盐水为 x 克,则 x 的取 值范围是 。

10 5 6、某商品进货价每件 50 元,据市场调查,当销售价格(每件 x 元)在 50<x≤80 时,每天售出的件数 P ? ,若想每天 ( x ? 40 ) 2
获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?

48

7、假设国家收购某种农副产品的价格是 1200 元/吨,其中征税标准是每 100 元征税 8 元(叫做税率是 8 个百分点,即 8%) ,计划 收购 m 万吨,决定税率降低 x 个百分点(0<x<8),预计收购量可增加 2x 个百分点,要使此项税收在税率降低后不低于原计划的 78%, 试确定 x 的取值范围。

【高二数学学案】 §3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.5.1 二元一次不等式(组)与平面区域 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:做行动的巨人,不做言论的矮子。
【基础知识】 1、把含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为 2、把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 。 。

3 、 满 足 二 元 一 次 不 等 式 ( 组 ) 的 x 和 y 的 取 值 构 成 有 序 实 数 对 (x, y), 所 有 这 样 的 有 序 实 数 对 (x, y) 构 成 的 集 合 称 为 , 可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是, 就可以看成直

角坐标系内的点构成的集合。 4、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域,我们把直 线画成 ,以表示区域不包括 ,不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括 定界、 定域。 ,即各个不等式所表示的平面区域的 。 ,把边界画成 。

5、画二元一次不等式表示的平面区域,常用的方法是: 【典型例题】 例 1、画出下面二元一次不等式表示的平面区域。 (1) x ? 2 y ? 3 ? 0 (2) 2 x ? y ? 4 ? 0

二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的

49

?x ? y ? 5 ? 0 ? 例 2、画出不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的平面区域 ?x ? 3 ?

例 3、已知 D 是以点 A(4,1) ,B(-1,-6) ,C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部) ,如图所示。 (1)写出表示区域 D 的不等式组; (2)设点 B(?1, ? 6), C (?3, 2) 在直线 4 x ? 3 y ? a ? 0 的异侧,求 a 的取 值范围。

?3 x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 例 4、求不等式组 ? x ? 4 y ? 4 ? 0 的整数解。 ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?

【练习】

? x ? 3, ?2 y ? x , ? 1、画出不等式 ? 表示的平面区域。 3 x ? 2 y ? 6 , ? ? ?3 y ? x ? 9

2、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域。

?2 x ? y ? 0, ? 3、画出不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 表示的平面区域,并求其中的整数解(x, y) ?5 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?

【高二数学学案】 §3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.5.2 简单线性规划 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:知始于行,行成于知。
【基础知识】 1、对于变量 x、y 的约束条件,都是关于 x, y 的一次不等式,称为 y 的解析式,叫做 , z ? f ( x, y) 是欲达到最大值所涉及的变量 x, 。 问题,满足线性约束条件的解 (x, y) 叫 。

,当 f ( x, y ) 是 x, y 的一次解析式时: z ? f ( x, y) 叫做

2 、求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,称为 做 ,由所有可行解组成的集合叫做

,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做
50

? x ? 4 y ? ?3 ? 3、已知变量 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,设 z ? 2 x ? y, 取点(3,2)可求得 z ? 8 ,取点(5,2)可求得 z max ? 12, 取得(1, ?x ? 1 ?
1)可求得 z min ? 3, 取点(0,0)可求得 z=0,则点(3,2)叫做 【典型例题】 ,点(5,2)和(1,1)均叫做

? x ? y ? 4, ? 例 1、已知 x, y 满足条件 ? y ? x, 求下列各式的最大值和最小值。 ?x ? 1 ?
(1) x ? y
2 2

(2) 2 x ? y

(3) | x ? y ? 4 |

(4)

y x ?1

例 2、若 3 ? a ? 6,

1 a ? b ? 2a ,求 a+b 的取值范围。 3

例 3、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格的小钢板,每张钢板可截得三种规格的小钢板的块数如下表表示: 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 2 1 B 规格 1 2 C 规格 1 3

如果至少需要 A、B、C 三种规格的小钢板各 15 块、18 块、27 块,问分别截这两种钢板各多少张可以满足需要,且使所用两种钢 板的张数最少?

【练习】

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 1、已知 x, y 满足 ?2 x ? y ? 0 ,则 z=x+3y 的最小值为( ?x ? 1 ?
51



5 C、-5 D、5 3 ?y ? 0 y ?1 ? 2、实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 ? ? 的取值范围是( x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A、7 B、 A、 [?1, ] C、 [? , ? ?)



1 3

1 2

1 1 , ] 2 3 1 D、 [ ? , 1) 2
B、 [ ? ) B、3 D、1
2

3、在如图所示的可行域内(阴影部分且包括周界) ,目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值是( A、-3 C、-1

4、已知函数 f ( x) ? ax ? bx, 满足 ? 1 ? f (?1) ? 2, 2 ? f (1) ? 4 ,求 f (?2) 的范围。

5、甲、乙两个粮库要向 A、B 两镇运送大米,已知甲库最多可调出 100t 大米,乙库最多可调出 80t 大米,A 镇需要 70t 大米,B 镇需要 110t 大米,两库到两镇的路程和运费如下表: 路程(km) 甲库 A镇 B镇 20 25 乙库 15 20 运费(元/t·km) 甲库 12 10 乙库 12 8

(1)这两个粮库各运往 A、B 两镇多少大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少? (2)最不合理的调运方案是什么?它造成的经济损失是多少?

52

§3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题 设计人:刘淑珍 张文刚 时间:

赠言:优秀从良好的心态开始。
一、选择题

? x ? 2, ? 1、若 ? y ? 2, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是( ?x ? y ? 2 ?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] )

) D、[3,5]

?0 ? x ? 1, ? 2、若 ?0 ? y ? 2, 则 z ? 2 y ? 2 x ? 4 的最小值为( ?2 y ? x ? 1 ?
A、2 B、3 C、4

D、5

?x ? 1 y ?1 ? , 则z ? 3、实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 0 的取值范围是( ) x ?x ? y ? 0 ? A、 [?1, 0] B、 (??, 0] C、 [?1, ? ?) D、 [?1, 1)
4、在△ABC 中,三顶点分别为 A(2,4) ,B(-1,2) ,C(1,0) ,点 P(x,y)在△ABC 内部及其边界上运动,则 m ? y ? x 的 取值范围为( ) A、[1,3] B、[-3,1] C、[-1,3] D、[-3,-1]

?x ? y ? 1 ? 0 ? 2 2 5、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 且 u ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 8 ,则 u 的最小值为( ? y ? ?1 ?
A、 二、填空题 6、给出下列命题:



3 2 2

B、

9 2

C、

2 2

D、

1 2

①线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量 x 或 y 的值; ②线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值; ③线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域; ④线性规划中最优解指的是使目标函数取得最小值或最大值的可行解。 其中正确命题的序号是 7、如图所示中阴影部分的点 。

? x ? y ? 5, ?2 x ? y ? 6, ? 满足不等式组 ? 在这些点中, x ? 0 , ? ? ?y ? 0
使目标函数 k ? 6 x ? 8 y 取最大值的点的坐
53

标是



?x ? 0 ? 8、已知:点 M(a, b)在由不等式组 ? y ? 0 确定的平面区域内,则点 N (a ? b, a ? b) 所在平面区域的面积为 ?x ? y ? 2 ?
三、解答题



9、医院用两种原料为手术后的病人配制营养食品,甲种原料每 10 克含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 克含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元。若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质,问应如何配置食品,既满足营养要 求,又使费用最省?

10、某人有楼房一幢,室内面积共计 180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积 18m2,可住游客 5 名,每名游客 每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15m2,可以住游客 3 名,每名游客每天住宿费 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房 间每间需要 600 元。如果他只能筹 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间多少间,能获得最大收益?

54


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