当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

利用思维导图剖析一道高中竞赛试题


1 8  

数 学通 讯— — 2 O 1 2年 第 9期 ( 上半 月 )  

?辅教 导 学 ?  

利用思维导 图剖析一道高中竞赛试题 
蔡祖才  
( 江苏省常熟市中学 , 2 1 5 5 0 0 )  

2 0 1 2年 江 苏 省 高 中数 学 竞 赛 初 赛

试 题 第 1 4  
题为:  

这 种思维 导 图给数 学 问题 的剖 析 提供 了明 晰  的思 路 , 本 文尝 试 利 用 思 维 导 图来 研究 上面 的竞  赛题 , 通过 直角 三角形 面 积公 式 的不 同形 式 , 从 特  例人 手 、 反面思考, 利用 分 解 因式 、 类 比探 究 和 寻 

题目   设口 , b , c , d是正整 数 , 口 , b 是方 程 z   一  
(  — c ) x+ c d 一 0的两个 根. 证明: 存 在边 长是 整 

数 且 面积 为  的直 角三角形 .  
试 题 条件 清 晰 , 是一 道值 得 回 味的好 试 题 , 参  考解 答利 用 构造法证 明 , 证法 技巧性 强.   参 考答 案  由题设 可知 口 +b =d —c , 0 t , 一c d .   由于 口 , b , c , d是正 整数 , 所 以口 +b , 口+c , b +  c中任意 两个 数 之和大 于第三 个数 , 从 而 知存 在 以 
口+ 6 , n +c , b +c 为边 的三 角形. 因为 
( 口+ c ) 。 + ( 6+ f ) 。  
=  

找 几何意 义等 方 式 , 揭 示 了本 题 的 命 题 背 景 和 实  际的含义 , 为技 巧构造 性证 明提 供 了依据 .  




咬住特 例不 放松 —— 面积 分解入 手 

先 从特 例 入 手 和 从 反 面考 虑 , 如果 有 一 个 边  长 为整 数 的直角 三 角形 , 那 么 这 样 的正 整 数 口 , b ,  
c , d存在 吗? 它 们分别 是多 少 ?  

直角 三 角 形 的 面 积 等 于 两 直 角 边 之 积 的一  半, 从 面积 的分 解人 手 可 以 得 到 这 样 的三 角 形 确 
实存在 , 而且有 很多 .  

+6 2+ 2 c 。 +2 c ( a+ 6 )  

=  - 4 - b 。+ 2 c 。 +2 c ( d— c )  
= 口 。 +b  - 4 - 2 c d— t 2  + b . z +2 a b= ( 口+ 6 )   .  

如果 直角 三角形 的 三边 长为 3 , 4 , 5 , 则 三 角形  的面 积为 6 .  
若 a b= c d一 6 , 因为 口 , b , c , d是正 整数且 口 +  b = d—f , 所 以, 由6 的正 因子 , 易 知一组 解 口一 2 ,  

所 以, 这样 的三角 形是 直 角三 角形 , 其 中直角  边 长 为 口+c , b +f , 斜边 长为 口+b , 且 该三 角形 的 
1  1 

面积为 s=÷( 口 +c ) ( 6 +c ) =去[  +c ( a +b +  
厶  厶 

b= 3 , f一 1 , d一 6 , 符合 题设 条件 .   仿此 , 我们 还 可 以探究 其 它 的直 角三 角形 , 结 
论 如下 :  
直 角 三 角 形  面 积
S   口   6   C   d 

1 

c ) ]=  ( Ⅱ 6 +c d)= a b .  
厶 

故 边 长为 口 +b , 口 +f , b +f 的三 角形符 合题 设 
要求 .  

的三 边 长 
3, 4, 5   5, 1Z, 1 3   7, 2 4, 25   9, 40, 4 i   6   3 0   8 4   18 O   2   3   4   5   3   1 0   2l   36   l   2   3   4   6   1 5   2 8   45  

看 了试题 及 参考 解 答 , 我们 不禁 要 问 : 这样 的  条 件存 在 吗? 为 什么要 如 此构 造? 笔 者对 试 题 的剖 
析 思维 就是 从质 疑开 始 的.  

不 妨先 从波 利 亚的解 题思维 导 图谈 起 :  
数学  问题 

众 所周知 , 边 长为正 整数 的直 角三 角形 , 三边 
弄 清  问题 

拟定  计 划 

实 现  计 划 

长 可 以用 2 x y,   。 一Y   , z   +Y 。 ( z>   , z , Y∈ N   )  

来 表示 , 则直 角三角 形 的面积 为  ( z   ~Y   ) .   若  ( z   一Y   ) 一a b— c d, 因为 口 , b , c , d是正  整数且 口 十6 一 d—c , 由因子 分解 可知 , 不 妨设 n— 

陆  阐 

l  

x( x—  ) , b— y( x+ 3 , ) , c— y ( x—  ) , d — x( x+ 

) , 就 能符合题 设条件 .  

?

辅教 导学 ?  

数 学 通 讯— — 2 O 1 2年 第 9期 ( 上半月)  

1 9  

二、 识 得 面 积真 面 目 — — 内切 圆 半径 与 半周 
长 之 积 

广应 用 , 如 三边 长为 整数 且一 个 内角为 1 2 0 。 或6 0 。   的三 角形 等等 .  
应用 1   设 口 , 6 , c , d  A  

换个 角度 , 直 角三 角形 的 面积等 于 内切 圆半径  与半 周长之积 , 从 这里 出发 , 我们 有如下 的剖 析.   直 角 三角形 的两直 角边 长分 别 为  , Y , 斜 边长  为  , 内切 圆 的半 径 为 r , 半 周 长 为 P, 则 直 角 三 角 
形 的 面积 S= r p .  

是正 整数 , 口 , b是方 程 。 ~ 
(  ~ c ) x+ 3 c d = 0的 两 个 

根.证 明 : 存 在 边 长 是 整 
C  CD   6   B 

由题意 , 直 角三 角形 的 面积 为 口 6 , 且a b— c d,  
x% y % 不 妨 设 c— r一 — x- —  ̄ -   y- - z d= P= —

—  

数, 面 积 为 

且 有 一 内 

图 2  


. 

角为 1 2 0 。 的三 角形 .  
证 明  由题 设可 知 a+b— d—c , a b一 3 c d .   由于a , b , c , d是 正整数 , 以a +6 , 口 +c , 6 +c 为 

因为 a十b= d— C , a b— c a r , 这样 的 口 , b又分 
别 是 多少 呢 ?  

三边 长可 以得 到 一个 三 角 形 , 如图 2 , 此 三 角 形 的 
半 周长 户一 口+ b +C — d .   由 a+ b— d— C , a b= 3 c d可得 c ( 口+ b +c )  

由  +6 :d 一   一  , a b :c d:   卜 _   二 
一  

xy


所 以 , 口 , 6 是 关 于 £ 的 方 程 £ 。 一 z t + 詈一 0   一   丢   .  
设 以 a+C , b +c 为邻边 的内角 为 C, 由余 弦定 
b = x- — — k   z- y
,c
厶 

的两 根 , t 1 . 2 一  从而 设 口 一 y   S - z   -x
厶 


理 司 得 
一  

d= T x + y+ z

.  

c o s c =  


笋 


厶 

厶 

若 要使 a , b , f , d是 正整 数 , 只要 求 , Y ,  都是  偶 数 或两 奇一 偶 即可 , 而 这 样 的 直 角 三 角 形 显 然 
存在 .   三、 千树 万树 梨花 开 — — 海 伦公 式 的应用 

f ( 口+ 6+ f )一 口 6 c ( 口+ 6+ c )+ 
1  

言  一 口 6  
+ 

一~ 虿 ’  
因为 0 。 < C< 1 8 0 。 , 从而 C= 1 2 0 。 .  

对 于任 意三 角形 , 已知 三 角形 的三边 长 , 面积  也 也可 以用 海伦公 式表 示. 当然 , 直 角 三 角形 的面 
积 也能这 样 表示 。   如图 1 , 设 直 角 三 角 形 AB C  

另一 方 面 , 由海 伦 公式 , 可得 此 三 角形 的 面积 
S:  ̄ — a b c ( a   q - — b - F   c ):  .  

的内切 圆与 三 边 分 别 切 于 D, E,  
F, 设 切 线长 AE — AF — m, B D  


因此 , 存在 边长是 整数 a+b , 口+c , b +c 的 三  角形 , 它的 面积 为 
应用 2

且 有一 内角 为 1 2 0 。 .  

B F一 7 ' l , C D= C E= £ , 切线长  十t , 由海 伦公 式 可 知 三 角 形 的 

都 是 正整数 , 则 半周 长 为 P一 7 n q -  

设 a, b , c , d是 正 

整数 , a , b 是方程  一  一c ) x  
1 

面 积 为 S一  ̄ / m . t ( 仇+ 7 " 1 +£ ) .  
, z ) 0 , 可得 t ( m +  + £ )= T n n .  

图1  

+÷ c d= 0的两个根. 证明 : 存 
0 

由勾股 定理 可知 ( m+ £ )  + (  + £ )  : (   + 
对 照题 设 : 1 2 十 b— d— C , a b— c d, S一 曲 , 设 

在边长是 整数 , 面 积为√ 3   且 
有 一内角 为 6 O 。 的三角形.   证 明  由题 设 可知 a +6  


C  0  

D 

b  

B 

图 3  

T / t =a ,  = b , t —C , m+  + t =d , 符合题 意 .   事 实上 , 原 题 中知道 正整 数 a , b , C , d的几何 意  义 分别 是 直 角 三 角 形 的 内切 圆 的 切 线 长 和 半 周 
长. 从 而 明 白为什 么 以 a十b , a +c , b +c 为边 长构  造 直角 三角 形 了.  

d - c, 口 6一 l

c d, 所以 c ( 口 +6 +c ): 3  .  

由于 a, b , c , d 是 正整 数 , 以口 +b , 口 +c , 6 +c 为 

三边 长可 以得 到一个 三角形 , 如图 3 , 设 以 a+ c , 6  

+c 为 邻边 的 内角为 C, 由余 弦定理 可 得 

有 了几 何 意 义 , 就 可 以将 试 题 作 进 一 步 的推 

2 0  

数 学 通 讯— — 2 0 1 2年 第 9期 ( 上半月)   ( 口+ f ) 。+ ( 6+ f ) 。 一 ( 口+ 6 )  
— —   一

? 辅教导学 ?  

co 



 

具 体 问题 



 

!  ±垒 ±!   二   一— 3 a b - —a b: 一 1.  
c ( 口+ b+ c )+ a b   3 a b+ n 6   2  

面积用直 I   f 面积用内切I   面积用海 

因为 0 。 < C< 1 8 0 。 , 从而 C一 6 0 。 .  

角边表示 I  I 圆半径及半l  l 公式表示 
J   l 周长表示 J  I  

另一方 面 , 由海 伦公 式 , 此 三角形 的面 积 S: 


/ — a b c ( a- 4 - — b   4 - c )一 

.  

I l 特例入手I   l I l 从特殊 l   I类似 I   何意  I应用 I   到一般 I l   I   I l   I   l  
总之, 通 过 探究 , 我 们 理 解 了试 题 的立 意 , 参  考解 答 中构造 边 长 的 合 理 性. 同 时 为 我 们 对 其 它  数 学 问题 的思考 提 供 了思 维训 练 的方式.  
( 收稿 日期 : 2 0 1 2一O 5 —1 5 )  

因此 , 存 在边 长是 整 数 日+6 , 口 - 4 - c , b - 4 - f的三 

角形 , 它 的面 积 为√ 3   且有 一 内角 为 6 O 。 .  
对 于任 意 三 角 形 的 内切 圆 的 切 线 长 和半 周  长, 可 以构 造 出 边 长 为 整 数 且 面 积 一 定 的 其 它 三  角形 , 感 兴趣 的读者 不 妨一试 .   回顾 试题 的探 究过 程 , 我们 的思维过 程如 下 :  

例 谈 补 形 法在 立 体 几何 中 的应 用 
向   艳  
( 湖北省孝感高级中学 , 4 3 2 0 0 0 )  

立 体几 何是 培养 学 生 空 间想 象能 力 最有 力 的 
工具, 也是 高 考 的 重 要 考 点 , 在课 改之 前 , 主 要 用 
几何法 , 几 何 法 对 学 生 的空 间想 象 能 力 和 推 理 论 

证能 力具 有较 高 的要求 . 新 课 改后 , 由 于有 了空 间  向量 这个 有利 工 具 , 学 生 不 再 纠 结 于错 综 复 杂 的  空 间几何 关 系 , 而 是 通 过 建立 空 间直 角 坐 标 系利  用 向量法 求解 , 因为 不 少 学 生对 坐 标 方 法 的程 序  化、 代数 化 的解题 模式 情有 独钟 , 但 涉及 不 便 于直  接 建立 空 间直 角 坐 标 系 的 问题 时感 到 比较 棘 手 .   坐标法 也不 是万 能 之 法 , 几 何 法 和 向 量 法 的并 存  与 融合 成 为了 目前高 考命 题 的新趋 势.   补 形法 就是 将一 些 不 规则 的几何 体 补成 我 们 

熟悉 的几何 体 , 在 我 们 所 熟 悉 的几 何 体 中研 究 原  几何 体 中的有 关 位 置 关 系及 数 量 关 系 的方 法. 本 
文笔 者举 例说 明补 形法 在立 体几何 中 的应用 .  




应用 于几 何法 便于 找 空间关 系.  

例1 ( 2 0 0 9 年 高考 福建卷 理科第 1 7 题) 如 图  1 , 四边形 A BC D 是边 长 为 1 的正方 形 , MD上 平 面  A B C D, NB  L平 面 A B C D, 且h i D — NB 一 1 , E  
为 BC 的中点.   补 角.   在 R t △ NB E中, NE 一 

( 1 ) 求 异 面直线 NE 与 AM 所 成角 的余 弦值 .  

图2  


相关文章:
思维导图在高中数学习题课中的设计原则
本文分析思维导图高中数学总 复习习题课中的...在习题中的导图设计,最清晰的一点是题设是什么?...问题的任务或者说目标来驱动学生主动积极的参与进来...
高考探究题思维导图
高考探究题思维导图_高考_高中教育_教育专区。对北京高考化学实验探究题的“探究...题 思维流程明确实验目的 内容分析比较浓稀硝酸氧化性的强弱 以还原剂 NO 为...
新时期思维导图在高中数学习题课中的设计理念
关键词:思维导图;高中数学;习题课;设计理念 高中数学教师利用思维导图设计数学...思维导图设计能关注到个性化原则,但是每个问 题的教学不可能为每个学生设计一个...
思维导图模拟题
思维导图模拟题_理化生_高中教育_教育专区。p12 t3 答案: p16 t3 答案: p24...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园教师资格考...
高中语文思维导图之散文答题.pdf
高中语文思维导图之散文答题.pdf_高中作文_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中语文思维导图之散文答题.pdf_高中作文_高中教育_教育专区。...
高考物理答题技巧(思维导图)
高考物理答题技巧(思维导图)_理化生_高中教育_教育...2014年建筑幕墙建筑装饰行业分析报告文档贡献者 575654482...导图思维 12页 免费 探索高考物理计算题的思... ...
高中数学思维导图二轮复习必备
高中数学思维导图二轮复习必备_数学_高中教育_教育专区。高中数学思维导图 二轮复习必备 高中数学最全的思维导图 1 2 3 4 5 6 7 ...
高中数学最全的思维导图
高中数学最全的思维导图_数学_高中教育_教育专区。【高中数学复习精选】高中数学最全的思维 导图高中数学复习精选】高中数学最全的思维 导图 ...
高中历史思维导图
当前中国的学术研究、教材编写和高考试题都已 单一史观走向了多元史观。在历史...另一方面,还可以通过高中历史思维导图引导学 生多元史观分析某一历史事件,如...
数学思维导图案例
数学思维导图案例_高一数学_数学_高中教育_教育专区...(12 分) 函数实际应用题答题模板 [典例] (2011 ...建联系,找解题突破口 可利用导分析函数特点:含...
更多相关标签:
内能的利用思维导图 | 利用思维导图辅助教学 | 利用word制作思维导图 | 思维导图试题 | 思维导图测试题 | 如何利用思维导图 | 基层卫生知识竞赛试题 | 基层全科医生竞赛试题 |