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新课标立体几何常考平行证明题汇总


新课标立体几何常考平行证明题汇总
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1)通过“平移” 。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4) 利用对应线段成比例。(5)利用面面平行,等等。
E 是 AA1 的中点, 3、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE 。

求证: AC 1 // 平面
证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 B1 A
1

D1

E

C
1

A

D

BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面
B

BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
考点:线面平行的判定

C

5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设

D1 A1 D O A B B1

C1

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO

1

∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC

? A1 ACC1 是平行四边形

C

又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) CC1 ? 面 A1B1C1D1 ?C C ? B D 1 1 ! ∵ AC ? B D 1 1 1 1 又 , ? B1 D1 ? 面 A1 C1 C 即A 1 C? B 1 D 1 AC ? AD D B ? AD ? D 1, 1 1 同理可证 1 又 1 1 ? 面 AB1D1 ? AC 1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. A1 E D A
1

D1 B1

C1 F G B C

证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平 面 EB1D1∥平面 FBD. 考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1D1 的中点. 10、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
求证:平面 D1EF ∥平面 BDG . 证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG

EF ? D1E ? E , 平面 D EF ∥平面 BDG ? 1
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

E 是 AA1 的中点. 11、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC 1 ∥ EO

BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 ∥平面 1
(2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC , 平面 A 1 AC
2

AC ? AA1 ? A , BD ? 平面 A AC , BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? ? ? 1

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1. 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形, 点 E、 F 分 别为棱 AB、 PD 的中点. 求 证:AF∥平面 PCE; P 分析:取 PC 的中点 G,连 EG.,FG,则易证 AEGF 是平行四 边形
F

E B

A C

D

(第 1 题图) 2、如图,已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3 , 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC. (Ⅰ)求证:BC⊥面 CDE; (Ⅱ)求证:FG∥面 BCD; 分析:取 DB 的中点 H,连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形
D E F C G G E F

D

C

A

B

A

B

3、已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点, M 为 BE 的中点, AC⊥BE. 求证: (Ⅰ)C1D⊥BC; (Ⅱ)C1D∥平面 B1FM.
B1

C1

分析:连 EA,易证 C1EAD 是平行四边形,于是 MF//EA

E M C

A1

D

B

F

A

3

4、如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD=2AB, E 为 PC 的中点, 证明: EB // 平面PAD ; 分析::取 PD 的中点 F,连 EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质 5、如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点,求证: AM ∥平面 EFG 。 A
分析:连 MD 交 GF 于 H,易证 EH 是△AMD 的中位线

E B G M C F D

6、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是 PC 的中点。 求证: PA ∥ 平面 BDE

7.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 为 AC 的中点. 求证:AB1//面 BDC1; 分析:连 B1C 交 BC1 于点 E,易证 ED 是 △B1AC 的中位线

(.3) 利用平行四边形的性质
9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点, 求证: D1O//平面 A1BC1;

分析:连 D1B1 交 A1C1 于 O1 点,易证四边形 OBB1O1
4

是平行四边形

1 10、在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB= DC, E为PD中点 . 2
求证:AE∥平面 PBC; 分析:取 PC 的中点 F,连 EF 则易证 ABFE 是平行四边形

D A E B P C

11、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90 ? ,EA⊥平面AB CD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;

(I)证法一: 因为 EF//AB,FG//BC,EG//AC, ?ACB ? 90? , 所以 ?EGF ? 90?, ?ABC ∽ ?EFG. 由于 AB=2EF,因此,BC=2FC, 连接 AF,由于 FG//BC, FG ?

1 BC 2 2

1 在 ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM//BC,且 AM ? BC
因此 FG//AM 且 FG=AM,所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此 GM//FA。 又 FA ? 平面 ABFE, GM ? 平面 ABFE,所以 GM//平面 AB。

(4)利用对应线段成比例
12、如图:S 是平行四边形 ABCD 平面外一点,M、N 分别 是 SA、BD 上的点,且 求证:MN∥ 平面 SDC

AM BN = , SM ND

分析:过 M 作 ME//AD,过 N 作 NF//AD 利用相似比易证 MNFE 是平行四边形

5

13、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB,M,N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求证: MN∥平面 BEC C A 分析:过 M 作 MG//AB,过 N 作 NH/AB 利用相似比易证 MNHG 是平行四边形 D A M A

B A N A

E A

A

F A

(5)利用面面平行 14、如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,PB=BC=CA, E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ;
分析: 取 AF 的中点 N,连 CN、MN,易证平面 CMN//EFB

10.如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2, 侧棱长是 3, D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面 A1 BD .
C1

A1

B1

C D A B

6

.证明:设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C .
又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D

11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中点, 求证: (1)MN//B1D1 ; (2)AC1//平 面 EB1D1 ; (3)平面 EB1D1//平面 BDG.

11.证明: (1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,? MN//BD 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2) (法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点 ? 四边形 A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点 E 是 AA1 的中点,? EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1 (法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点, 所以 EH // C1D1,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1 又因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH

?

AH ? HC1=H,? 面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,所以 AC1//面 EB1D1

(3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH 因为 AD // HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以 DG//AH,所以 EB1//DG 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.

? BD ? DG=G,? 面 EB1D1//面 BDG
4、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

7

(第16题图)

1.运用中点作平行线 例 1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是距形,M、N分别是AD、PB的中点,求证MN∥ 平面 PCD. P G D M A 图1 2.运用比例作平行线 例 2 .四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形,且AM = FN,其中 M ? AC , N ? BF ,求证:MN∥平面 BCE C B N C

D M H A 3. 运用传递性作平行线 例 3.求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线平行

B N F

E

k

?

?
n

m

l

4.运用特殊位置作平行线 图4 例 4.正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,点E、F分别是C1C、B1B上的点,点 M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.问当点M在何位置时MB∥平面AEF? C1 A1 N C M A 图5 F B E B1

?

?

8

2. (2012?山东)如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (Ⅰ)求证:BE=DE; (Ⅱ)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC



3. . (2012?辽宁)如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC= 2,AA′=1,点 M, N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′; (Ⅱ)求三棱锥 A′-MNC 的体积.

4. (2011?上城区)如图所示的几何体中,△ABC 为正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC, 且 AE=AB=2,CD=1,F 为 BE 的中点. (1)若点 G 在 AB 上,试确定 G 点位置,使 FG∥平面 ADE,并加以证明;

9


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