当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三数学辅导精讲精练71


2014 届高三数学辅导精讲精练 71
x2 y2 1.已知实数 x,y 满足 2 - 2=1(a>0,b>0),则下列不等式中恒成立的是 a b ( b A.|y|< x a b C.|y|>- x a 答案 解析 D x2 y2 实数 x,y 满足 2 - 2=1(a>0,b>0),其图像为双曲线,当 x>0 时, a b B.y>- D.y< b |x| 2a )

2b |x| a

b b b 2b y< x;当 x<0 时,y<- x,则 y< |x|,也有 y< |x|,故选 D. a a a a 2.设 a>0 为常数,动点 M(x,y)(y≠0)分别与两定点 F1 (-a,0),F2 (a,0)的连 线的斜率之积为定值 λ, 若点 M 的轨迹是离心率为 3的双曲线, λ 的值为( 则 A.2 C.3 答案 解析 A 轨迹方程为 y y x2 y2 · =λ,整理得 2 - 2 =1(λ>0),c2 =a2 (1+λ),1 x+a x-a a λa B.-2 D. 3 )

c2 +λ= 2=3,λ=2,故选 A. a x2 y2 1 3.已知椭圆 2+ 2 =1(a>b>0)上任意两点 P,Q 使 OP⊥OQ,求证: + a b |OP|2 1 为定值. |OQ|2 解析 当 OP,OQ 两直线中有一斜率不存在或为零时,则|OP|、|OQ|为半长

轴长和半短轴长,则有 1 1 1 1 2+ 2 = 2+ 2(定值). |OP| |OQ| a b 当 OP、OQ 两直线的斜率都存在时,则两斜率均不为零.设直线 OP 的方 1 程为 y=kx,P(x1 ,y1 ),Q(x 2 ,y2 ),直线 OQ 的方程为 y=- x. k

?y=kx, 联立方程组? 2 2 2 2 2 2 ?b x +a y =a b , 解之,得 x2= 1 a2 b2 k2 a2 b2 ,y2= 2 . 1 b2 +a2k2 b +a2k2 ?1+k 2 ?a2 b2 . b2 +a2k2

2 于是|OP|2 =x1 +y2= 1

同理可得|OQ|2 = ∴

?1+k 2 ?a2 b2 . a2 +b2k2

1 1 b2 +a2k2 +a2 +b2k2 ?1+k 2 ??a2 +b2 ? + = = |OP|2 |OQ|2 ?1+k 2 ?a2 b2 ?1+k 2 ?a2 b2 a2 +b2 1 1 = 2 2 = 2+ 2(定值). ab a b

x2 y2 1 4.如图,已知椭圆 2+ 2 =1(a>b>0)长轴长为 4,离心率为 .过点(0,-2) a b 2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点、交 x 轴于 P 点,点 A 关于 x 轴的对称点为 C,直 线 BC 交 x 轴于 Q 点.

(1)求椭圆方程; (2)探究:|OP|· |OQ|是否为常数?

解析

?2a=4, ?c 1 (1)由题意得 ? = , a 2 ?a2=b2+c2, ?

x2 y2 解得 a=2,b= 3,c=1,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 2 (2)直线 l 方程为 y=kx-2,则 P 的坐标为( ,0). k 设 A(x 1 ,y1 ),B(x 2 ,y2 ),则 C(x1 ,-y1 ), 直线 BC 方程为 y+y1 x-x 1 = ,令 y=0,得 Q 的横坐标为 y2 +y1 x2 -x1

x1 y2 +x2 y1 2kx 1x2 -2?x 1 +x2 ? x= = .① y1 +y2 k?x1 +x2 ?-4 ?x y ? + =1, 又? 4 3 ?y=kx-2, ?
2 2

得(3+4k 2 )x 2 -16kx+4=0.

16k ?x1+x2=3+4k2, ? 得? 4 ?x1x2=3+4k2, ? 8k-2· 16k -24k 代入①得 x= 2 =2k, 2 = 16k -4?3+4k ? -12 2 得|OP|· |OQ|=|x P·Q|= · x 2k=4. k ∴|OP|· |OQ|为常数 4. → → → → 5.已知点 B(-1,0),C(1,0),P 是平面上一动点,且满足|PC|· |=PB· . |BC CB (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD ⊥AE,判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. 解析 =4x. (2)将 A(m,2)代入 y2 =4x,得 m=1. ∴点 A 的坐标为(1,2). 设直线 DE 的方程为 x=my+t 代入 y2 =4x, 得 y2 -4my-4t=0. 设 D(x 1 ,y1 ),E(x 2 ,y2 ),则 y1 +y2 =4m,y1 ·2 =-4t, y Δ=(-4m)2 +16t>0.(*) → → ∴AD· =(x 1 -1)(x2 -1)+(y1 -2)(y2 -2) AE =x1 x2 -(x 1 +x2 )+1+y1 ·2 -2(y1 +y2 )+4 y
2 y2 y2 y1 y2 1 2 2 = · -( + )+y1 ·2 -2(y1 +y2 )+5 y 4 4 4 4

→ → → → (1)设 P(x,y)代入|PC|· |=PB· 得 ?x-1?2 +y2=1+x,化简得 y2 |BC CB

= =

?y1 ·2 ?2 ?y1 +y2 ?2 -2y1 ·2 y y - +y1 y2 -2(y1 +y2 )+5 16 4 ?-4t?2 ?4m?2 -2?-4t? - +(-4t)-2(4m)+5=0. 16 4

化简 t 2 -6t+5=4m2 +8m, 即 t 2 -6t+9=4m2 +8m+4, 即(t-3)2 =4(m+1)2 ,∴t-3=± 2(m+1). ∴t=2m+5 或 t=-2m+1,代入(*)式检验均满足 Δ>0. ∴直线 DE 的方程为 x=m(y+2)+5 或 x=m(y-2)+1. ∴直线 DE 过定点(5,-2).(定点(1,2)不满足题意) x2 y2 2 6.如图,已知椭圆 2+ 2 =1 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、 a b 2 右焦点 F1 ,F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭 圆的焦点, P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 设 直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点 分别为 A、B 和 C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1 、PF2 的斜率分别为 k 1 、k2 ,证明 k 1 ·2 =1; k (3)是否存在常数 λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|· |CD|恒成立?若存在,求 λ 的值; 若不存在,请说明理由. 解析 c 2 (1)由题意知,椭圆离心率为 = ,得 a= 2c,又 2a+2c=4( 2+ a 2

x2 1),所以可解得 a=2 2,c=2,所以 b2 =a2 -c2 =4,所以椭圆的标准方程为 + 8 y2 =1,所以椭圆的焦点坐标为(± 2,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭 4 x2 y2 圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为 - =1. 4 4

y0 y0 y0 y0 y2 0 (2)设点 P(x 0 ,y0 ),则 k1 = ,k 2 = ,所以 k 1 ·2 = k · = 2 , x0 +2 x0 -2 x0 +2 x0 -2 x0 -4
2 x0 y2 y2 0 0 2 又点 P(x 0 ,y0 )在双曲线上,所以有 - =1,即 y0 =x2-4,所以 k 1 ·2 = 2 = k 0 4 4 x0 -4

1. (3)假设存在常数 λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|· |CD|恒成立,则由(2)知 k 1 ·2 =1, k 1 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x+2),则直线 CD 的方程为 y= (x+2). k ?y=k?x+2?, ? 由方程组?x2 y2 消去 y 得(2k 2 +1)x2 +8k 2x+8k2 -8=0, A(x1 ,1 ), 设 y ? 8 + 4 =1, ? B(x 2 ,y2 ), -8k2 8k2 -8 则由韦达定理得 x1 +x2 = 2 ,x1 x2 = 2 . 2k +1 2k +1 所 以 |AB| = 4 2?1+k 2 ? 1+k · ?x 1 +x2 ? -4x1x 2 = . 同 理 可 得 |CD| = 2k2 +1
2 2

1 1+? ?2 · ?x 1 +x2 ?2 -4x1x 2 k 1 4 2?1+ 2? k 4 2?1+k 2 ? = = . 1 k2 +2 2× 2 +1 k 又 因 为 |AB| + |CD| = λ|AB|· , 所 以 有 λ = |CD| 3 2 = = . 4 2?1+k 2 ? 4 2?1+k 2 ? 8 所以存在常数 λ= 3 2 ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|· |CD|恒成立. 8 k2 +2 3k2 +3 1 1 2k2 +1 + = + |AB| |CD| 4 2?1+k 2 ?

7.(2012· 福建)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛 物线 E:x2 =2py(p>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程;

(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q,证明以 PQ 以直径的圆恒过 y 轴上某定点. 解析 (1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30° .

设 B(x,y),则 x=|OB|sin30° =4 3,y=|OB|cos30° =12. 因为点 B(4 3,12)在 x 2 =2py 上,所以(4 3)2 =2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2 =4y. (2)方法一 1 1 由(1)知 y= x 2 ,y′= x. 4 2

设 P(x 0 ,y0 ),则 x 0 ≠0,且 l 的方程为 1 1 1 y-y0 = x0 (x-x0 ),即 y= x 0x- x2. 2 2 4 0 1 ? 1 ?y= x0 x- x2, 4 0 由? 2 ?y=-1, ? 所以 Q(
2 ? x0-4 ?x= , 2x0 得? ?y=-1. ?

x2 -4 0 ,-1). 2x0

→ → 1 设 M(0,y1 ),令MP· =0 对满足 y0 = x2(x 0 ≠0)的 x 0 ,y0 恒成立. MQ 4 0
2 → → x0 -4 由于MP=(x 0 ,y0 -y1 ),MQ =( ,-1-y1 ), 2x0

→ → x2 -4 0 2 由MP· =0,得 MQ -y0 -y0 y1 +y1 +y1 =0. 2
2 即(y1 +y1 -2)+(1-y1 )y0 =0.(*)

1 2 由于(*)式对满足 y0 = x0 (x 0 ≠0)的 y0 恒成立, 4 ?1-y1 =0, 所以? 2 解得 y1 =1. ?y1 +y1 -2=0, 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 方法二 1 1 1 由(1)知 y= x 2 ,y′= x.设 P(x 0 ,y0 ),则 x0 ≠0,y0 = x2,且 l 的 4 2 4 0

1 方程为 y-y0 = x0 (x-x0 ), 2 1 1 即 y= x 0x- x2. 2 4 0

1 ? 1 ?y= x0 x- x2, 0 4 由? 2 ?y=-1, ?

2 ? x0-4 ?x= , 2x0 得? ?y=-1. ?

x2 -4 0 所以 Q( ,-1). 2x0

取 x0 =2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为 1 (x-1)2 +y2 =2,交 y 轴于 M1 (0,1)或 M2 (0,-1);取 x 0 =1,此时 P(1, ), 4 3 1 3 125 Q(- ,-1),以 PQ 为直径的圆为(x+ )2 +(y+ )2 = ,交 y 轴于 M3 (0,1)或 2 4 8 64 7 M4 (0,- ). 4 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点. → → x2 -4 0 因为MP=(x 0 ,y0 -1),MQ =( ,-2), 2x0 → → x2 -4 0 所以MP· = MQ -2y0 +2=2y0 -2-2y0 +2=0. 2 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定义 M(0,1). x2 y2 2 8.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P(1, ),左、右焦点分别为 F1 、 a b 2 F2 ,上顶点为 M,且△F1F2 M 为等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l:mx+ny+ n=0(m,n∈R)交椭圆 C 于 A,B 两点,试问:在坐 3 标平面上是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出 点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)∵△F1 F2 M 为等腰直角三角形,

x2 y2 ∴c=b,∴a= 2b,∴椭圆 C 的方程为 2 + 2=1. 2b b 又∵椭圆 C 经过点 P(1, 2 ),代入可得 b=1. 2

x2 ∴a= 2,故所求的椭圆方程为 +y2 =1. 2 1 (2)显然直线 l 过点(0,- ). 3

1 4 当 l 与 x 轴平行时, 易知直线 l 的方程为 y=- , 代入椭圆 C 的方程得 x=± . 3 3 1 4 ∴以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 +(y+ )2 =( )2 ; 3 3 当 l 与 x 轴垂直时,易知 A,B 是椭圆的短轴的两端点, ∴以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 +y2 =1. 1 4 ? 2 ?x +?y+ ?2 =? ?2 , ?x=0, 3 3 由? 解得? ?y=1. ?x2 +y2 =1, ? 即两圆相切于点(0,1). 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1). 事实上,点 T(0,1)就是所求的点.证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1), 1 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程为 y=kx- , 3

?y=kx-1, ? 3 由? 2 x ? 2 +y2=1, ?

消去 y,得(18k 2 +9)x 2 -12kx-16=0.

?x1+x2= 12k , ? 18k2 +9 设点 A(x 1 ,y1 ),B(x 2 ,y2 ),则? -16 ?x1x2=18k2+9. ?
→ → ∵TA=(x 1 ,y1 -1),TB=(x2 ,y2 -1), →→ ∴TA· =x1 x2 +(y1 -1)(y2 -1) TB 4 4 =x1 x2 +(kx 1 - )(kx2 - ) 3 3 4 16 =(1+k 2 )x 1x2 - k(x1 +x2 )+ 3 9 -16 4 12k 16 =(1+k 2 )· 2 - k· 2 + =0. 18k +9 3 18k +9 9 ∴TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1). ∴在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件.

x2 1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 + 2 y2 =1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k, → → → 使得向量OP+OQ 与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2,

x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2 =1, 2 1 整理得( +k 2 )x 2 +2 2kx+1=0.① 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 Δ=8k 2 -4( +k 2 )=4k2 -2>0, 2 解得 k<- 2 2 或 k> . 2 2 2 2 )∪( ,+∞). 2 2

即 k 的取值范围为(-∞,- (2)设 P(x 1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 ),

→ → 则OP+OQ =(x 1 +x2 ,y1 +y2 ). 4 2k 由方程①得,x1 +x2 =- .② 1+2k2 又 y1 +y2 =k(x 1 +x2 )+2 2,③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ 与AB共线等价于 x1 +x2 =- 2(y1 +y2 ). 将②③代入上式,解得 k= 2 . 2

由(1)知 k<-

2 2 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2

2.(2012· 湖南理)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 :(x-5)2 +y2 =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x 0 ,y0 )(y0 ≠± 3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲 线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B, C,D 的纵坐标之积为定值. 解析 (1)方法一 设 M 的坐标为(x,y),由已知得

|x+2|= ?x-5?2 +y2-3.易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧,于是 x +2>0,所以 ?x-5?2 +y2=x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y2 =20x. 方法二 由题设知, 曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5,0)的距离等于它到直

线 x=-5 的距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物 线.故其方程为 y2 =20x. (2)当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0 ),又 y0 ≠± 3,则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0, 每条切线都与抛物线有两个交点, 切线方程为 y-y0 =k(x+4),即 kx-y+y0 +4k=0,于是 |5k+y0 +4k| =3. k2 +1 整理得 72k2 +18y0k+y2-9=0.① 0 设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k 1 ,k 2 ,则 k1 ,k2 是方程①的 两个实根. 18y0 y0 故 k1 +k2 =- =- .② 72 4 ?k1 x-y+y0 +4k 1 =0, 由? 2 得 ?y =20x, k1 y2 -20y+20(y0 +4k1 )=0.③ 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 ,y2 ,y3 ,y4 ,则 y1 ,y2 是方程③的

20?y0 +4k1 ? 两个实根,所以 y1 y2 = .④ k1 20?y0 +4k2 ? 同理可得 y3 y4 = .⑤ k2 于是由②,④,⑤三式得 400?y0 +4k1 ??y0 +4k 2 ? y1 y2 y3 y4 = k1 k2 = 400[y2+4?k 1 +k2 ?y0 +16k1 k2 ] 0 k1 k2

400?y2-y2 +16k1 k2 ? 0 0 = =6 400. k1 k2 所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定 值 6 400.


相关文章:
2016届高三文科数学试题(71)
2016届高三文科数学试题(71)_数学_高中教育_教育...x ? 2 f (2014)+ f (2015) ?( A. 0 B....x) 4 数学(文科)参考答案一、 题号 答案 二、 ...
高中数学必修一精讲精练
12 贾老师高中数学同步辅导精讲精练教材——必修一 5.2 复合函数定义域的求法(详见例题) 5.3 在实际应用问题中,定义域要复合实际生活需要。 6.值域 6.1 ...
七数下精讲精练答案
(下) 七年级数学 参考答案第1章 三角形的初步知识...y = 71 4.4 二元一次方程组的应用(2) 【自学...高中数学必修2精讲精练 92页 免费 【寒假提前学】...
七年级数学上册复习题 精讲精练
七年级数学上册复习题 精讲精练_数学_初中教育_教育...4 七年级数学试题参考答案 一.选择题 题号 答案 ...2014年细分行业研究报告年度盘点 2014年移动互联网O2O...
2013届高三数学高考仿真试卷71
2013届高三数学高考仿真试卷71_高三数学_数学_高中教育...写在试卷后面的答题卡上 参考公式:如果事件 A , ...
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练71
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练71_高中教育_教育专区。题...3.(2014· 江苏南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 F(1,0),点 P...
2014届高三复习工作总结
2014届高三复习工作总结_数学_高中教育_教育专区。高三数学教学工作总结 王希东...例题进行精讲精练,从而消除学生知识上的 盲点,对知识上的薄弱环节进行巩固和加深...
2010届数学好题精讲精练jieda (仅供非常优秀的班级参考)
2010届数学好题精讲精练jieda (仅供非常优秀的班级参考)_数学_高中教育_教育专区。2010 届数学好题精讲精练(仅供非常优秀的班级参考) 1. (本小题满分 14 分)...
高三复习课中如何做到精讲精练
高三复习课中如何做到精讲精练_数学_高中教育_教育...精讲精练 作者:刘玲 来源:《速读· 上旬》2015 ...在练习的过程 中,教师要进行同步辅导。要善于抓住...
新课标高中数学必修1精讲精练
新课标高中数学必修1精讲精练_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学必修1精讲...1与71 ? 7 D. 1000 3.设 5lg x ? 25 ,则 x 的值等于( C ). A....
更多相关标签: