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幂函数


幂函数

教案

一、教材分析 1. 教材内容:普通高中课程标准实验教科书,人民教育出版社-必修 1

2. 教材所处的地位和作用: 本课是必修 1 的第二章第三节。 本节课将幂函数限定为五个具体函数,通过研究 它们来了解幂函数的性质。其中,学生在初中已经学习了 y ? x, y ? x 2 , y ? x ?1 Z 这

三 个简单的幂函数, 对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函 数的概念,有助于学生形成完整的知识结构。 课标中提出对于指、对、幂数函数的学习,一方面是作为对函数概念学习的具体 化,把他们作为具体的函数模型来学习;另一方面他们是基本初等函数,出于基础性 的考虑,课标与“大纲”相比又加上了幂函数.把指、对、幂函数作为三种不同的函 数增长模型.安排了“幂增长、指数增长、对数增长的比较”, 突出背景和应用。 3. 教学目标 (1)知识与技能:
0 2 3 ◆ 了解幂函数的概念,会画幂函数 y ? x , y ? x, y ? x , y ? x ,
1

y ? x ?1 , y ? x 2 的图象,并能结合这几个幂函数的图象,了解幂函数图象的
变化情况和性质; (2)过程与方法: ◆ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函数的 图象和性质; ◆ 通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力。 (3)情感、态度与价值观: ◆ 通过与生活实例对比共同引出幂函数的概念,使学生体会到生活中处处有数 学,激发学生的学习兴趣; ◆ 利用计算机等工具, 了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现 代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望。 4.重点与难点

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4.1 教学重点: 从五个具体幂函数中认识幂函数的概念和一些性质 4.2 教学难点: 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律. 二、学情分析 学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数:指数函数 和对数函数, 对研究函数已经有了基本思路和方法。故对于研究幂函数学生应会主东 类比研究指对数函数的学习方法学习,学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的 一般思想方法是另一目的, 另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是 一个重要途径。 三、教法分析 基于对课程理念的理解和对教材的分析, 运用问题情境可以使学生较快的进入数 学知识情景,使学生对数学知识结构作主动性的扩展,通过问题的导引,学生对数学 问题探究,进行数学建构,并能运用数学知识解决问题,让学生有运用数学成功的体 验。本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上,引导学生提出问题、解决问题的 教学方法,体现以学生为主体,教师主导作用的教学思想。 四、学法指导 学生通过自己动手画图,对图像进行观察、类比分析、探究、归纳的学习过程发 现幂函数的结构,并进步师生共同归纳出,充分发挥学生的主体性作用。经过指对数 函数以及本节幂函数的学习,学生了解三种增长方式,并发现数学的乐趣。 五、教辅手段 发挥计算机快捷,生动,形象,的特点,利用几何画板提供直观的,清晰的材料, 帮助学生体会幂函数的性质,加之与板书的结合,使本节课发挥的更好。 六、教学过程 教学环节(1):提出疑问 问题:学过指数函数,复习指数函数的定义,提出问题,若指数函数的指数与底 数调换位置会是什么了? 设计意图:以另类的方式引入新课,并且在提出疑问时也会与同学们产生共鸣。 教学环节(2):一探究竟

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请同学们就刚刚的疑问举几个例子,并从学生提出的例子中师生共同归纳出此类 函数的特点,并进步提出幂函数的定义。取代表性的几个函数研究,发现与教材所选 的一样。并强调幂函数的结构特征,即整体是幂,指数是常数,底数是变量。并适度 强调幂函数的形式。注意系数为 1 例 1:判断下列函数是否为幂函数
(1) y ? 0.5 x (2) y ? 2 x 5
1

(3) y ? x 3 +1

?

2

(4) y ? x ?2

设计意图:由于同学们已经在高中时接触过一次函数二次函数以及反比例函数, 故举例子这个环节同学们会比较容易,并且,想通过学生的口中体现教材设计只 研究 y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 的理由。 因为这些都是比较有代表性的。 并且,这个过程中学生可能会提出 y ? x0 这个易被忽略的函数。由学生自己提出 研究对象学生更有成就感,对定义归纳也更顺。 教学环节(3):图像研究 组织同学们做出 y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? x0 这六个图像,引导 学生从简单的已经认识的函数入手画,对于 y ? x 3 , y ? x 2 这两个图像一步步引导学 生从列表开始怎么画。 在学生作图的基础上引导学生将几条快交杂一起的曲线区别开来。过程中强调学 生注意定义域作图。 在讲解完学生作图之后用教学软件几何画板演示最后结果。 设计意图:引导学生利用所学知识和方法尝试作出六个个具体幂函数的图象,观 察所得图象,体会幂函数的变化规律.提升学生的动手能力,分析概括能力 教学环节(4):性质研究 引导学生类比指数函数的性质研究方法,研究幂函数的性质,由学生分组讨论并 给出函数的性质,老师板书后,最后将性质形成一张表格,让学生填写。 填写完表格之后引导学生用句子描述性质,从特殊到一般,再经过集合画板演示 进行证明。 设计意图:引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律.强调类比 的思想,数形结合的思想。 例 2、(教材 P78 例题)
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1 1 1

证明幂函数 f ( x) ? x 在(0,+∞)上是增函数 (重点分析分子有理化的理由,化简的方向和最后的化简结果形式) 布置课后思考题,用做商的方法证明 f ( x) ? x 在(0,+∞)上是增函数 设计意图:有学生自己归纳性质比较考验学生,给学生自由发挥的时间,锻炼学生分 析能力和归纳概括能力, 例题设置是引导学生回顾证明函数单调性的方法,规范解题 格式与步骤.并示范其中一个性质的数学严格证明,加强数学的严谨性。 教学环节(5):课堂小结 1、基础知识: 幂函数的定义,结构特征; 幂函数的性质。 2、思想方法: 研究问题过程:是什么?怎么样? 数学思想方法:类比思想、数形结合思想。 归纳推理:从特殊到一般 教学环节(6):故事收尾---问题链 1、有一个傻子在飞机飞到半路的时候就把行李扔下飞机了这是为什么? 因为他傻; 2、把一个大象装进冰箱需要几个步骤? 三个步骤,开门,进去,关门; 3、森林开会所有动物都去了,只有一种动物没到是谁? 大象,因为被装进冰箱了; 4、河里有鳄鱼,所有想试试过去的人都被鳄鱼吃掉了,有个人他却过去了为什么? 因为鳄鱼开会了。 5、这个人过去后还是死了,为什么? 被傻子扔的行李砸死了。 设计意图:以生动有趣的故事引起学生的思考,注意事物的环环相扣,紧密联系,指 对数函数以及幂函数的学习都有其联系,但也有区别,研究方法也有类似。 教学环节(7):作业布置 1. 思考指数函数、对数函数、幂函数之间的区别与联系,体会三者的增长趋势,并
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列表加以区别; 2. 课本第 92 页习题 2.3 第 2 、3 题。 七、板书设计 幂函数 1. 2. 1.幂函数的定义 结构特征: 2.函数的性质 例题解答 幻 灯 片

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