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河北省邢台二中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河北省邢台二中 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 M={x|x ﹣4≤0},则?UM=() A.{x|﹣2<x<2} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|x<﹣2 或 x>2}D.{x|x≤

﹣2 或 x≥2} 2. (5 分)复数 A.1 =() B . ﹣1 C. i D.﹣i
2

3. (5 分)对变量 x,y 有观测数据(x1,y1) (i=1,2,…,10) ,得散点图 1;对变量 u,v 有 观测数据(v1,vi) (i=1,2,…,10) ,得散点图 2.下列说法正确的是()

A.变量 x B. 变量 x C. 变量 x D.变量 x

与y 与y 与y 与y

正相关,u 负相关,u 正相关,u 负相关,u

与v 与v 与v 与v

正相关 正相关 负相关 负相关

4. (5 分)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ ω 的最小值是() A. B.
2

)+2 的图象向右平移

个单位后与原图象重合,则

C.
2

D.3

5. (5 分)已知圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为() 2 2 2 2 2 A.(x+2) +(y﹣2) =1 B.(x﹣2) +(y+2) =1 C. (x+2) + 2 2 2 (y+2) =1 D. (x﹣2) +(y﹣2) =1 6. (5 分)已知 a<0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 的命题中为假命题的是()
2

A.?x∈R,f(x)≤f(x0) (x0) D. 7. (5 分)已知 值为() A.﹣
2

B.?x∈R,f(x)≥f(x0) C. ?x∈R,f(x) ≤f ?x∈R,f(x)≥f(x0) , ,向量 与 垂直,则实数 λ 的

B.
4 3

C. ﹣

D.

8. (5 分)观察(x )′=2x, (x )′=4x , (cosx)′=﹣sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(﹣x)=() A.﹣g(x) B.f(x) C.﹣f(x) D.g(x) 9. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(5)= () A.0 B. 1 C. D.5

10. (5 分) 已知 S, A, B, C 是球 O 表面上的点, SA⊥平面 ABC, AB⊥BC, SA=AB=1, 则球 O 的表面积等于() A.4π B.3π C . 2π D.π 11. (5 分)已知函数 +∞)内调递增,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,﹣1] 12. (5 分)函数 y=2 ﹣x 的图象大致是()
x 2



,其中 a 为大于零的常数,若函数 f(x)在区间[1,

C.[1,+∞)

D.[﹣1,+∞)

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=. 14. (5 分)已知 x,y∈R ,且满足
+

,则 xy 的最大值为.

15. (5 分)定义某种运算 S=a?b,运算原理如图所示,则式子: (2tan ?lne+lg100? 的值是.



16. (5 分)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入 所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱.

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin(π﹣ωx)cosωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 的图象,求函数 y=g(x)在区间 上的最小值.
2

18. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

19. (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.

20. (12 分)设 F1,F2 分别为椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l .

与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 ,求椭圆 C 的方程.

21. (12 分)为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验, 将这 200 只家兔随机地分成两组.每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下 2 表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果. (疱疹面积单位:mm ) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 30 40 20 10 表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数 10 25 20 30 15 (1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(2) 完成下面 2×2 列联表, 并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射 药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3: 疱疹面积小于 70mm 2 疱疹面积不小于 70mm 注射药物 A a= 注射药物 B c= 合计 附:
2

合计 b= d= n= .

选考题【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22. (10 分)已知 P 为半圆 C: (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1, 的长度均为 .

0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

(1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程.

河北省邢台二中 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 2 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 M={x|x ﹣4≤0},则?UM=() A.{x|﹣2<x<2} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|x<﹣2 或 x>2}D.{x|x≤﹣2 或 x≥2} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 2 分析: 由题意全集 U=R,集合 M={x|x ﹣4≤0},然后根据交集的定义和运算法则进行计算. 2 解答: 解:因为 M={x|x ﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2},全集 U=R, 所以 CUM={x|x<﹣2 或 x>2},故选 C. 点评: 本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识,属基础题. 2. (5 分)复数 A.1 =() B . ﹣1 C. i D.﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 两个复数相除,分子、分母同时乘以分母的共轭复数,再利用两个复数的乘法法则 化简. 解答: 解:复数 = = =i,

故选 C. 点评: 本题考查两个复数的除法法则的应用以及两个复数乘法法则的应用. 3. (5 分)对变量 x,y 有观测数据(x1,y1) (i=1,2,…,10) ,得散点图 1;对变量 u,v 有 观测数据(v1,vi) (i=1,2,…,10) ,得散点图 2.下列说法正确的是()

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关

B. 变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 C. 变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 考点: 两个变量的线性相关;散点图. 专题: 数形结合;概率与统计. 分析: 根据图形,各点整体呈下降趋势,x 与 y 负相关,各点整体呈上升趋势,u 与 v 正相 关. 解答: 解:由题图 1 可知,y 随 x 的增大而减小,各点整体呈下降趋势,x 与 y 负相关; 由题图 2 可知,u 随 v 的增大而增大,各点整体呈上升趋势,u 与 v 正相关. 故选 B. 点评: 本题考查散点图,是通过读图来解决问题,考查读图能力,是一个基础题,本题可 以粗略的反应两个变量之间的关系,是不是线性相关,是正相关还是负相关.

4. (5 分)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ ω 的最小值是() A. B.

)+2 的图象向右平移

个单位后与原图象重合,则

C.

D.3

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 求出图象平移后的函数表达式,与原函数对应,求出 ω 的最小值. 解答: 解:将 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 = 所以有 =2kπ,即 , 个单位后为 ,

又因为 ω>0,所以 k≥1, 故 ≥ ,

故选 C 点评: 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性,考查了同学们对知识灵 活掌握的程度. 5. (5 分)已知圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为() 2 2 2 2 2 A.(x+2) +(y﹣2) =1 B.(x﹣2) +(y+2) =1 C. (x+2) + 2 2 2 (y+2) =1 D. (x﹣2) +(y﹣2) =1 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 计算题.
2 2

分析: 求出圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1 的圆心坐标,关于直线 x﹣y﹣1=0 对称的圆心坐 标求出,即可得到圆 C2 的方程. 2 2 解答: 解:圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1 的圆心坐标(﹣1,1) ,关于直线 x﹣y﹣1=0 对称 的圆心坐标为(2,﹣2) 2 2 所求的圆 C2 的方程为: (x﹣2) +(y+2) =1 故选 B 点评: 本题是基础题,考查点关于直线对称的圆的方程的求法,考查计算能力,注意对称 点的坐标的求法是本题的关键. 6. (5 分)已知 a<0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 的命题中为假命题的是() A.?x∈R,f(x)≤f(x0) (x0) D. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,x0=
大值

2

2

2

B.?x∈R,f(x)≥f(x0) C. ?x∈R,f(x) ≤f ?x∈R,f(x)≥f(x0)

,结合二次函数的性质得出;f(x)最

=f(

)=f(x0) ,运用命题真假的判断即可得出答案.

解答: 解:∵x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0, ∴x0= ,
2

∵a<0,函数 f(x)=ax +bx+c, ∴根据二次函数的性质∴根据命题的真假判断;D 为假命题. 故选:D 点评: 本题考查了二次函数的性质,命题真假的判断,属于中档题,难度不大.

7. (5 分)已知 值为() A.﹣ B.



,向量



垂直,则实数 λ 的

C. ﹣

D.

考点: 平面向量的综合题;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 先求出向量 定系数 λ 的值. 解答: 解:∵已知 ∴( )?( )=0, , ,向量 与 垂直, 与 的坐标,再利用 2 个向量垂直,数量积等于 0,求出待

即: (﹣3λ﹣1,2λ)?(﹣1,2)=0,

∴3λ+1+4λ=0,∴λ=﹣ . 故选 A. 点评: 本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,求得 3λ+1+4λ=0,是 解题的关键. 8. (5 分)观察(x )′=2x, (x )′=4x , (cosx)′=﹣sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(﹣x)=() A.﹣g(x) B.f(x) C.﹣f(x) D.g(x) 考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 由已知中(x )'=2x, (x )'=4x , (cosx)'=﹣sinx,…分析其规律,我们可以归纳推 断出,偶函数的导函数为奇函数,再结合函数奇偶性的性质,即可得到答案. 2 解答: 解:由(x )'=2x 中,原函数为偶函数,导函数为奇函数; 4 3 (x )'=4x 中,原函数为偶函数,导函数为奇函数; (cosx)'=﹣sinx 中,原函数为偶函数,导函数为奇函数; … 我们可以推断,偶函数的导函数为奇函数. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) , 则函数 f(x)为偶函数, 又∵g(x)为 f(x)的导函数,则 g(x)奇函数 故 g(﹣x)+g(x)=0,即 g(﹣x)=﹣g(x) , 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是归纳推理,及函数奇偶性的性质,其中根据已知中原函数与导 函数奇偶性的关系,得到结论是解答本题的关键. 9. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(5)= () A.0 B. 1 C. D.5
2 4 3 2 4 3

考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: 利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决 本题的关键. 利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系, 用到赋值法. 解答: 解:由 f(1)= , 对 f(x+2)=f(x)+f(2) , 令 x=﹣1, 得 f(1)=f(﹣1)+f(2) . 又∵f(x)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) .

于是 f(2)=2f(1)=1; 令 x=1,得 f(3)=f(1)+f(2)= , 于是 f(5)=f(3)+f(2)= . 故选:C. 点评: 本题考查抽象函数求值的方法,考查函数性质在求函数值中的应用,考查了抽象函 数求函数值的赋值法. 灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键, 考查学生的转化与化归 思想. 10. (5 分) 已知 S, A, B, C 是球 O 表面上的点, SA⊥平面 ABC, AB⊥BC, SA=AB=1, 则球 O 的表面积等于() A.4π B.3π C . 2π D.π ,

考点: 直线与平面垂直的性质;球的体积和表面积. 专题: 压轴题. 分析: 先寻找球心,根据 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,则 OA=OB=OC=OS,根据直角 三角形的性质可知 O 为 SC 的中点,则 SC 即为直径,根据球的面积公式求解即可. 解答: 解:∵已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点 ∴OA=OB=OC=OS=1 又 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1, ∴球 O 的直径为 2R=SC=2,R=1, ∴表面积为 4πR =4π. 故选 A.
2



点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及球的表面积等有关知识,考查空间想 象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

11. (5 分)已知函数 +∞)内调递增,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,﹣1] 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;转化思想.

,其中 a 为大于零的常数,若函数 f(x)在区间[1,

C.[1,+∞)

D.[﹣1,+∞)

分析: 先由函数求导,再由“函数 f(x)在区间[1,+∞)内调递增”转化为“f′(x)≥0 在区间 [1,+∞)内恒成立”即 ﹣ ≥0 在区间[1,+∞)内恒成立,再令 t= ∈(0,1]转化为:

在区间(0,1]内恒成立,用二次函数法求其最值研究结果. 解答: 解:∵函数 ∴f′(x)= ﹣ ∵函数 f(x)在区间[1,+∞)内调递增, ∴f′(x)≥0 在区间[1,+∞)内恒成立, ∴ ﹣ ≥0 在区间[1,+∞)内恒成立, ,其中 a 为大于零

令 t= ∈(0,1] ∴ ∴ ∴a≥1 故选 C 点评: 本题主要考查导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数是增函数时,导数大 于等于零恒成立,当函数是减函数时,导数小于等于零恒成立,然后转化为求相应函数的最值 问题. 12. (5 分)函数 y=2 ﹣x 的图象大致是()
x 2

在区间(0,1]内恒成立,

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 分别画出 y=2 ,y=x 的图象,由图象可以函数与 x 轴有三个交点,且当 x<﹣1 时, y<0,故排除 BCD,问题得以解决. x 2 解答: 解:y=2 ﹣x , 令 y=0, x 2 则 2 ﹣x =0, x 2 分别画出 y=2 ,y=x 的图象,如图所示, 由图象可知,有 3 个交点, x 2 ∴函数 y=2 ﹣x 的图象与 x 轴有 3 个交点, 故排除 BC, 当 x<﹣1 时,y<0,

故排除 D 故选:A.

点评: 本题主要考查了图象的识别和画法,关键是掌握指数函数和幂函数的图象,属于基 础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=13. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的 3 倍,由 a5=a2+6 得到 3d 等 于 6,然后再根据等差数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的 3 倍,把 a3 的值和 3d 的 值代入即可求出 a6 的值. 解答: 解:由 a5=a2+6 得到 a5﹣a2=3d=6, 所以 a6=a3+3d=7+6=13 故答案为:13 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,是一道基础题. 14. (5 分)已知 x,y∈R ,且满足
+

,则 xy 的最大值为 3.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题为利用基本不等式求最值,可直接由条件 解答: 解:因为 x>0,y>0,所以 时取等号) , 于是, 故答案为:3 ,xy≤3. 出发,求解. (当且仅当 ,即 x= ,y=2

点评: 本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力,属基本题. 15. (5 分)定义某种运算 S=a?b,运算原理如图所示,则式子: (2tan ?lne+lg100? 的值是 4.



考点: 选择结构. 专题: 新定义;图表型. 分析: 先根据流程图中即要分析出计算的类型,该题是考查了分段函数,再求出函数的解 析式,然后根据解析式求解函数值即可.

解答: 解:该算法是一个分段函数 y=

原式=2?1+2?3=

+

=4.

故答案为:4. 点评: 根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流 程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第 一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模. 16. (5 分)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ (填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆 锥⑥圆柱. 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 一个几何体的正视图为一个三角形,由三视图的正视图的作法判断选项. 解答: 解:一个几何体的正视图为一个三角形,显然①②⑤正确;③是三棱柱放倒时也 正确; ④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形; 故答案为:①②③⑤ 点评: 本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力,是基础题.

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin(π﹣ωx)cosωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 的图象,求函数 y=g(x)在区间 上的最小值.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质,进行运算、变形、 转换和求解的能力. (2)要求三角函数的有关性质的问题,题目都要变形到 y=Asin(ωx+φ)的形式,变形时利 用诱导公式和二倍角公式逆用. 2 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=sin(π﹣ωx)cosωx+cos ωx, ∴f(x)=sinωxcosωx+ = sin2ωx+ cos2ωx+ = sin(2ωx+ )+ ,

由于 ω>0,依题意得 所以 ω=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)= ∴g(x)=f(2x)= ∵0≤x≤ ∴ 时, ≤4x+

sin(2x+ )+

)+ ,

sin(4x+ ≤ ,

≤sin(4x+

)≤1, ,

∴1≤g(x)≤

g(x)在此区间内的最小值为 1. 点评: 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式(1)化简的标准:第一,尽量使 函数种类最少,次数最低,而且尽量化成积的形式;第二,能求出值的要求出值;第三,根号 内的三角函数式尽量开出. 18. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据等差数列的两项之和的值,根据等差数列等差中项的性质得到 a6,根据连 续两项得到数列的公差,根据通项写出要求的第四项和数列的前 n 项和. (2)本题需要根据上一问的结果构造新数列,把第一问做出的通项代入,整理出结果,发现 这是一个裂项求和的问题,得到前 n 项和. 解答: 解(1)∵a3=7,a5+a7=26. ∴ ∴ ∴an=2n+1 sn= (2)由第一问可以看出 an=2n+1 ∴ , ,

= ∴Tn= .

点评: 本题考查等差数列的性质,考查数列的构造,解题的关键是看清新构造的数列是一 个用什么方法来求和的数列,注意选择应用合适的方法. 19. (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 考点: 互斥事件的概率加法公式;互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: (1)从袋中随机抽取两个球,可能的结果有 6 种,而取出的球的编号之和不大于 4 的事件有两个,1 和 2,1 和 3,两种情况,求比值得到结果. (2)有放回的取球,根据分步计数原理可知有 16 种结果,满足条件的比较多不好列举,可以 从他的对立事件来做. 解答: 解: (1)从袋中随机抽取两个球,可能的结果有 6 种, 而取出的球的编号之和不大于 4 的事件有两个,1 和 2,1 和 3, ∴取出的球的编号之和不大于 4 的概率 P= (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n, 所有(m,n)有 4×4=16 种,

而 n≥m+2 有 1 和 3,1 和 4,2 和 4 三种结果, ∴P=1﹣ = .

点评: 本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算,考查学生分析问题、解决问题的 能力. 能判断一个试验是否是古典概型, 分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的 个数和试验中基本事件的总数.

20. (12 分)设 F1,F2 分别为椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l .

与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 ,求椭圆 C 的方程.

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ) 过 F1 作 F1⊥l 可直接根据直角三角形的边角关系得到 , 求得 c 的值, 进而可得到焦距的值. (Ⅱ)假设点 A,B 的坐标,再由点斜式得到直线 l 的方程,然后联立直线与椭圆方程消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,求出两根,再由 可得 y1 与 y2 的关系,再结合所求得

到 y1 与 y2 的值可得到 a,b 的值,进而可求得椭圆方程. 解答: 解: (Ⅰ)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意知 y1<0,y2>0,直线 l 的方程为 联立 , + y+ ﹣1=0 . .

解得 因为 .











故椭圆 C 的方程为



点评: 本题主要考查椭圆的基本性质.考查考生对椭圆基本性质的理解和认知,椭圆的基 本性质是 2015 届高考的重点内容,每年必考,一定要熟练掌握并能灵活运用. 21. (12 分)为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验, 将这 200 只家兔随机地分成两组.每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下 2 表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果. (疱疹面积单位:mm ) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 30 40 20 10 表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数 10 25 20 30 15 (1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(2) 完成下面 2×2 列联表, 并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射 药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3: 疱疹面积小于 70mm 2 疱疹面积不小于 70mm 注射药物 A a=70 注射药物 B c=35 合计 105 附:
2

合计 b=30 d=65 95 .

100 100 n=200

考点: 独立性检验的应用;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据矩形的高等于 ,求出每一组高,然后画出两组的频率分布直方图,然

后根据中位数是矩形面积的各占 50%的位置,求出两种药物后疱疹面积的中位数,然后再比 较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小; 2 2 (2) 先根据条件将表格填好, 然后利用独立性检验的公式求出 K , 查表, k 大于某个数值后, 说:有 N%的把握说 A 与 B 是有关系的. 解答: 解: (1)根据表 1 可得疱疹面积在[60,65)[65,70],[70,75)[75,80)的频率分 别为 0.3,0.4,0.2,0.1,在频率分布直方图中,[60,65)[65,70],[70,75)[75,80)的高 分别为 0.06,0.08,0.04,0.02;

根据表 2 疱疹面积在[60,65)[65,70][70,75)[75,80)[80,85)的频率分别为 0.1,0.25, 0.2,0.3,0.15,在频率分布直方图中,[60,65)[65,70][70,75)[75,80)[80,85)的高 分别为 0.02,0.05,0.04,0.06,0.03, 故两组数据对应的频率分面直方图如下图所示:

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹面积的 中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数. (2)表 3 2 2 疱疹面积小于 70mm 疱疹面积不小于 70mm 合计 注射药物 A a=70 b=30 100 注射药物 B c=35 d=65 100 合计 105 95 n=200 由于 K >10.828, 所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹 面积有差异”. 点评: 频率分布直方图:小长方形的面积=组距× 及独立性检验的应用和中位数的求解,属于基础题. 选考题【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22. (10 分)已知 P 为半圆 C: (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1, 的长度均为 . =频率,各个矩形面积之和等于 1,以
2

0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

(1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. 考点: 极坐标系;直线的参数方程;圆的参数方程. 专题: 计算题;压轴题. 2 2 2 分析: (1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行 代换即得. (2)先在直角坐标系中算出点 M、A 的坐标,再利用直角坐标的直线 AM 的参数方程求得参 数方程即可. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 ,

故点 M 的极坐标为(



) . (5 分) ) ,A(1,0) ,

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

故直线 AM 的参数方程为

(t 为参数) (10 分)

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.


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