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昌平区2012-2013学年第一学期期末考试高三数学理科答案


昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试卷 参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 (1) C (2) A (3) B (4) D (5) C (6) D (7) B (8) C

二、填空题(本大题

共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (9)
4

(10) ( x ? 5 ) ? y ? 1 6
2 2

(11) 3 (13) 2; [-9,9]

(12)4 (14) 8 ; 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x 故
f (x) ? kπ

(k

?

Z),
? k π, k ?

的定义域为 { x ? R | x
(2 3 sin
2

Z}.???????2 分
?1

因为 f ( x ) ?

x ? sin 2 x ) ? cos x sin x

? (2
?

3 s in x ? 2 c o s x ) ? c o s x ? 1

3 s in 2 x ? c o s 2 x

? 2 s in ( 2 x ?

π 6

)

,????????????6 分
? 2π 2 ? π

所以 (II)由 x 挝[
? 6

f (x)

的最小正周期 T
? 2 ? 2 , ? ], 2 x -

.???????7 分

? ? , ], 2 x 4 2 ? 5? 6 ? ? 2 ,即 x ?

[

? 6

[

? 5? , ], ????..9 分 3 6

当2x ?

,即 x ? ? 3

时 , f ( x ) 取 得 最 小 值 1 ,?????.11 分

当2x ?

? 6

时 , f ( x ) 取 得 最 大 值 2 .??????.13 分

(16)(本小题满分 14 分)

解: (I)连接 O F . 由 A B C D 是正方形可知,点 O 为 B D 中点. 又 F 为 B E 的中点, 所以 O F ∥ D E ???????.2 分 又O F 趟 平 面 AC F , D E
平 面 ACF ,

E F G C O A B

所以 D E ∥平面 A C F ????.4 分 (II) 证明:由
E C ^ 底 面 A B C D, B D 底 面 A B C D,

D

所以 E C ^ B D , 由 A B C D 是正方形可知, A C ^ B D , 又 A C 翘 E C = C , A C ,E C
平 面 A C E,

所以 B D ^ 平 面 A C E , ????????????..8 分 又 A E ? 平 面 A C E, 所以 B D ^ A E ????????????????..9 分

(III)解法一: 在线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E . 如图,取 E O 中点 G ,连接 C G . 在四棱锥 E - A B C D 中, A B =
2C E , C O = 2 2 AB = CE ,

理由如下:

所以 C G ^ E O .?????????????????????????..11 分 由(II)可知, B D ^ 平 面 A C E , 而 B D ? 平 面 B D E , 所以, 平 面 A C E ^ 平 面 B D E , 且 平 面 A C E ? 平 面 B D E 因为 C G ^ E O , C G
平 面 A C E,
E O,

所以 C G ^ 平 面 B D E ??????????????????????. 13 分 故在线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E . 由 G 为 E O 中点,得
EG EO = 1 2 . ????????????????? 14 分

解法二: 由 E C ^ 底 面 A B C D, 且底面 A B C D 是正方形,如图, 建立空间直角坐标系 C - D B E , 由已知 A B = 则
2C E , 设C E = a (a > 0) ,

z E F G C B O y

C (0 , 0 , 0 ), D (

2 a , 0 , 0 ), B (0 ,

2 a , 0 ), E (0 , 0 , a ),

D x

A

O(

2 2

a,

2 2

uuu r a , 0 ), B D = (

2a,-

uur 2 a , 0 ), B E = (0 , -

uuu r 2 a , a ), E O = (

2 2

a,

2 2

a , - a ).

设 G 为线段 E O 上一点, 且

EG EO

uuu r uuu r = ? ( 0 < ? < 1) , E G = ? E O = ( 则

2 2

? a,

2 2

? a , - ? a ),

uuu r uur uuu r CG = CE + ? EO = (

2 2

? a,

2 2

? a , (1 - ? ) a ) , ??????????..12 分
uuu r uuu r

由题意,若线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E ,则 C G ^ B D , C G ^ B E . 所以, - ? a + (1 - ? ) a = 0 , 解 得 , ? =
2 2

uuu r

uur

1 2

( 0 ,1),

故在线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E ,且

EG EO

=

1 2

. ???????? 14 分

(17)(本小题满分 13 分) 解: (I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (II) ? 的取值为 0,1,2,3.
C5 ?C5
0 3

6 10 5 10

? ?

3 5 1 2

. . ??????..2 分

P (? ? 0 ) ?

C 10

3

?

1 12

, P ( ? ? 1) ?

C5 ?C5
1

2

C 10

3

?

5 12

,

P (? ? 2 ) ?

C5 ?C5
2

1

C 10

3

?

5 12

, P (? ? 3 ) ?

C5
3

3

?

1 12

C 10

所以 ? 的分布列为
?
P

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

故 ? 的 数 学 期 望 为 E ? )? 0 ? (

1 12

? 1?

5 12

? 2?

5 12

? 3?

1 12

?

3

. 2 ????????9 分

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲 厂 2 件,乙厂 0 件” ,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”
27 2 3 2 2 0 1 0 1 3 P ( A) ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 2 2 500 81 3 3 3 1 1 1 1 2 P (B ) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ( ) ? 5 2 2 1000

抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P ( A ) ? P ( B ) ?

27 500

?

81 1000

?

27 200

. ?13 分

(18)(本小题满分 13 分)
2 解: (I) f ? ( x ) ? ? 3 x ? 2 ax .

…………………………. ……………1 分 …………………3 分

根据题意, f ? (1) ? ta n

? 4

? 1, ? ? 3 ? 2 a ? 1, 即 a ? 2 .

3 2 2 此时, f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ? ( x ) ? ? 3 x ? 4 x .

令 f '( x ) ? 0, 得 x 1 ? 0 , x 2 ? 列表:
x

4 3

.

?1
?7

( ? 1, 0 )

0

( 0 ,1)

1

f ?? x?
f



0

+ ↗

1
?3

?x?

?1

?4

…………………………………………………………………………………………. 6 分 ∴当 x ? ? ? 1,1 ? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0 ? ? ? 4 . ………………………7 分 (II)? f ? ( x ) ? ? 3 x ( x ?
2a 3 ).

①若 a ≤ 0 , 当 x ? 0 时 , f ? ( x ) ? 0 , ? f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递减.

又 f ( 0 ) ? ? 4 , 则 当 x ? 0时 , f ( x ) ? ? 4 .
? 当 a ≤ 0 时 , 不 存 在 x 0 ? 0 , 使 f ( x 0 ) ? 0 . …………………………………………..10 分

②若 a ? 0 , 则 当 0 ? x ? 从而 f ( x ) 在(0,
2a 3

2a 3

时 , f ?( x ) ? 0 ; 当 x ?

2a 3

时 , f ?( x ) ? 0 .

)上单调递增,在(

2a 3

,+ ? ) 上单调递减.
4a 9
3

? 当 x ? ( 0 , ?? )时 , f ( x ) max ? f (

2a 3

) ? ?

8a 27

3

?

? 4 ?

4a 27

3

? 4.

根据题意,

4a

3

? 4 ? 0,即 a

3

? 2 7 . ? a ? 3 . …………….............................. 13 分

27

综上, a 的取值范围是 (3, ? ? ) .

(19)(本小题满分 13 分) 解: (I)由已知抛物线的焦点为 ( 2 , 0 ) ,
x a
2 2

故设椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )



则c

?

2 ,由 e ?

2 2

, 得 a ? 2, b

2

? 2.

所以椭圆 M 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . ??????????????5



4

2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? k x ? m ,
? y ? kx ? m , ?x y ? ? 1. ? ? 4 2
2 2
2 2 2

则由 ?

消去 y 得, (1 ? 2 k ) x ? 4 k m x ? 2 m ? 4 ? 0 ,
? ? 16k m
2 2

…………………6 分
2

? 4 (1 ? 2 k )( 2 m
2

2

? 4) ? 8(2 ? 4 k

2

? m ) ? 0



①…………7 分

( 设 A、 B 、 P 点的坐标分别为 ( x 1 , y 1 )、 x 2 , y 2 )、( x 0 , y 0 ) ,则:

x 0 ? x1 ? x 2 ? ?

4 km 1 ? 2k
2

, y 0 ? y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 m ?

2m 1 ? 2k
2

…………8 分 ,

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

x0 4

2

?

y0 2

2

?1 .

……… 9 分

从而

4k m

2

2 2 2

(1 ? 2 k )

?

2m

2 2 2

(1 ? 2 k )

? 1 ,化简得 2 m

2

? 1 ? 2 k ,经检验满足①式.
2

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:
1 d ? |m | 1? k
2

?k

2

?

2 1? k
2

?

1?

1 2 (1 ? k )
2

?

1?

1 2

?

2 2

………11 分 ………12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而点 P 的坐标为 ( ? 2 , 0 ) 或 ( 2 , 0 ) ,直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1. 所以点 O 到直线 l 的距离最小值为
2 2

.

………13 分

(20)(本小题满分 14 分) 解: (I) 因为数列 k 1 ? 4 0 , k 2 ? 3 0 , k 3 ? 2 0 , k 4 ? 1 0 , 所以 b1 ? 4 0 , b 2 ? 7 0 , b 3 ? 9 0 , b 4 ? 1 0 0 , 所以 g (1) ? ? 6 0 , g ( 2 ) ? ? 9 0 , g ( 3) ? ?1 0 0 , g( 4 ) ? ?1 0 0 (II) 一方面, g ( m ? 1) ? g ( m ) ? b m ? 1 ? 1 0 0 , 根据 b j 的含义知 b m ? 1 ? 1 0 0 , 故 g ( m ? 1 ) ? g ( m ) ? 0 ,即 g ( m ) ? g ( m ? 1 ) , 当且仅当 b m ? 1 ? 1 0 0 时取等号. ① ???????4 分

因为 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 1 0 0 中最大的项为 50,所以当 m ? 5 0 时必有 b m ? 1 0 0 , 所以 g (1) ? g ( 2 ) ? ? ? g ( 4 9 ) ? g (5 0 ) ? g (5 1) ? ? ? 即当 1 ? m ? 4 9 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ; 当 m ? 4 9 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ?9 分 (III)设 M 为 ? a 1 , a 2 , ? , a 1 0 0 ? 中的最大值. 由(II)可以知道, g ( m ) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, b M ? k 1 ? k 2 ? k 3 ? L ? k M ? 1 0 0 ,
k 1 ? 2 k 2 ? 3 k 3 ? L ? M k M ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a 1 0 0 .

下面计算 g ( M ) 的值.
g ( M ) ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b M ? 1 0 0 M ? ( b1 ? 1 0 0 ) ? ( b 2 ? 1 0 0 ) ? ( b 3 ? 1 0 0 ) ? ? ? ( b M ? 100)

?1

? (? k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (? k3 ? k4 ? ? ? kM ) ? (? k4 ? k5 ? ? ? kM ) ? ? ? (? kM ) ? ? [ k 2 ? 2 k 3 ? ? ? ( M ? 1) k M ] ? ? ( k1 ? 2 k 2 ? 3 k 3 ? ? ? M k M ) ? ( k1 ? k 2 ? ? ? k M ) ? ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ) ? 1 0 0



∵ a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ? 2 0 0 , ∴ g ( m ) 最小值为 ? 1 0 0 .

∴ g (M ) ? ?100 ,

????????????????.14 分


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