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2014全国高中数学联赛高仿真模拟试题 (1)


数学联赛模拟题 初试 一、填空题 1、a、b、c 是不同的正整数,若集合{a+b,a+c,b+c}={2 ,(n + 1) ,(n + 2) } , n 为正整数,则2 + 2 + 2 的最小值是_______ 2 、 已 知 定 义 在 R 上 , 对 任 意 的 x ∈ R, + 1006 = 2 + x ? 2 (x) , 且 ?1005 = ,则 2013 =________
4 3 1 2 2

3、若 = n! ·

1 2!

+

2 3!

+?

n+1 !

? 1 则2013 =________

4、函数 x = 3 ? 6 + 3 ? 的值域是________ 5、已知 x、y 为实数, x,y = 2 + xy + y 2 ? ? y 的最小值为________ 6 、 已 知 函 数 x =
1 8 +3 +1

,记 1 + 2 + 4 + ? 1024 = m ,

1 2

+

1 4

+



1 1024

= n,则 m+n=________

7、7 个不同花色的小球放到编号分别为 1、2、3 的 3 个盒子里,要求各盒子内的小球数不 小于其编号数,则不同的放法种数为________ 8、 正项等比数列 { } 满足7 = 6 + 25 , 若存在两项 、 使得 = 41 , 则 + 的
1 4

最小值为________ 9、已知数列{ }满足:1 = 2,2 = 3,2 +1 = 3 ? ?1 n ≥ 2 。 (1)求数列{ }的通项公式; (2)求使不等式
?m
+1 ?m

< 3成立的所有正整数 m、n 的值

2

10、已知 a、b、c 分别为?ABC三个内角 A、B、C 的对边,bcosC+ 3sinC ? a ? c = 0 (1)求证 A、B、C 成等差数列 (2)若 b= 3,求 2a+c 的最大值 11、已知 x = 2 ln x + 1 +
1 (x+1)

? 1。

(1)求 x 在区间[1,+∞)上的最小值; (2)求证:ln1+ln2+ln3…lnn>
(n ?1) 2
2

(n∈ ? ,且 n ≥ 2) ;
(n ?1) 4 3
4

(3)求证:ln2 1 + ln2 2 + ln2 3 … ln2 >

(n∈ ? ,且 n ≥ 2)

答案: 1、1297,提示:由2 +(n + 1) +(n + 2) =2(a+b+c)=偶数,所以 n,n+1,n+2 两奇一偶,n 为奇数,显然 n> 1,不妨设a < < ,如果 n=3,则由 a+b=9,a+c=16,b+c=25 得 a+b+c=25 此时导致 a=0 矛盾 所以 n≥ 5,当 n=5 时,由 a+b=25,b+c=49,a+c=36,解得 a=6,b=19,c=30,此时 2 + 2 + 2 =1297. 2、 +
2 1 3 4 2 2

, 提 示 1 = + ?1005 ? 2 ( ? 1005) = +
2 2 3 1 3 4

1

1

3 4

, 1007 = +
2

1

1 ? 2 (1) = 4, 2013 = 1006 + 1007 = 2 + 3、1 n+1 ! 1 2014

? 16 = 2 +
1 2! 1

9

1

3 4 2


n+1 !

,提示:因

k+1 ! 1 n+1 !

=

+1?1 k+1 !

=

1 !

?

1 k+1 !

,则

+

3!

+?

=1?

,所以 = n! · 1 ?

? 1 = ? n+1 ,故2013 = ? 2014 .


1

4、[1,2],提示: x 的定义域为 2,3 ,故可设 x=2+si2 a(0 ≤ a ≤ 2 )则 x = 3sina + cosa = 2sin? (a + 6 ), 6 ≤ a + 6 ≤
1 3 2 3

,这时2 ≤ sin? (a + 6 ) ≤ 1,因此 1 ≤ x ≤ 2. , y=
?v 2

1



5、 ? , 提示令 u=x+y, v=x-y, 则 x= ?
1 3

+v 2

, 所以原式=

3 2 ?4u+ 2 4

=

3(u ? ) 4

2 3

2

+ 2 ? ≥
3

1

6 、 42 , 提 示 : 因 为 x = 1 + 1+ , 2,所以 m + n = 4 × 10 + 2 = 42

2

1

= 1 + 1+ , x +

2

1

= 4, 1 =

7、455,提示: (1)1、2、3 号盒子内放的小球数分别是 2、2、3,则不同的方法有
2 3 2 1 7 ·5 = 210种; (2) 1、 2、 3 号盒子里放的小球数分别是 1、 3、 3, 则不同的方法7 ·6 =140 1 2 种; (3)1、2、3 号盒子内放的小球数分别为 1、2、4,则不同的方法7 ·6 =105 种。共有

455 种。 8、2, 9、 (1) 由2 +1 = 3 ? ?1 n ≥ 2 得 2 ( +1 ? ) = ? ?1 n ≥ 2 则数列{ ? ?1 }是以2 ? 1 =1 为首项,2为公比的等比数列,则 ? ?1 = ( 2 ) 4 ? (2)
1 ?2 1 1 ?2 3

,累加得 =



(2)不等式 n=1 或 m=3 n=2

?m

+1 ?m

< 即
3

2

4? 4?

1 ?2 ? 2 1 ?1 ? 2

< ,显然 m≥ 4 时无解,易得 m=1 n=1 或 m=2
3

2

10 、 ( 1 )因为 bcosC+ 3sinC ? a ? c = 0 ,所以 sinBcosC+ 3sinBsinC ? sin? (B + C) ? sinC = 0。化简得 2sin(B- )=1,B= ,A+C=2B 所以 A、B、C 成等差数列。
6 3

( 2 )由 正 弦定 理 得 sinA = sinC = sinB = 2 , 所 以 2a+c=4sinA+2sinC ,因 为 B= 3 , 所 以 2a+c=4sinA+2sin ( 3 ? A) =5sinA+ 3cosA = 2 7 sin A + φ ≤ 2 7,其中锐角 φ 满足 sinφ =
21 14 2









,cosφ =

5 7 14

,A∈ 0, π ,当 A 等于φ的余角时 2a+c 取最大值2 7
3 2 3 ?1+2 (x ?1) 2 (x+1)
2

2

11、 (1) ′ x =

,当 x≥ 1时, ′ x > 0,所以, x 在区间[1,+∞]上单调

递增,最小值为 1 = 2ln2 ? 。
2

1

( 2 )由 (1) > 0 知 对任 意正整数 k , 2ln ( k+1 ) +
1 1

1 (k+1) 1

? 1 > 0 ,即 2ln ( k+1 )
2

> 1 ? ( ? +1)恒成立。所以 2 (ln2+ln3+…lnn) >n-1(1- )= lnn>
(n ?1) 2
2

(n ?1)

,所以 ln1+ln2+ln3…

(3)由柯西不等式知, ( ln2 1 + ln2 2 + ln2 3 … ln2 ) ( 1+1+1 … +1 ) ≥ (ln1 + ln2 + ln3 … lnn) ≥
2 (n ?1) 4 3
4

,所以ln2 1 + ln2 2 + ln2 3 … ln2 >

(n ?1) 4 3

4

(n∈ ? ,且 n ≥ 2)

加试 1、 设整数 k≥3, 数列 { } 满足 = 2k, 且对所有的 n>k, 有 = 证明:数列{ ? ?1 }中有无穷多项是质数。 2、两圆1 2 交于点 A、B,过点 B 的一条直线分别交圆1 2 于点 C、D,过点 B 的另一条直 线分别交圆1 2 于点 E、F,直线 CF 分别交圆1 2 于点 P、Q,设 M、N 分别是弧 PB、QB 的中点。若 CD=EF,求证:C、F、M、N 四点共圆。 3、求满足下面条件的最小正整数 k:对集合 S={1,2,…2012}的任意一个 k 元子集 A, 都存在 S 中的三个互不相同的元素 a、b、c,使得 a+b、b+c、c+a 均在集合 A 中。 4、 设 x = (x+a) (x+b) , (a、 b 为给定的正实数) , n≥2 为给定的整数, 对满足1 + 2 + ? =1 的非负实数1 、2 … ,求 F= 答案: 1、假设 = 2l(l ≥ k)。再设 p 为 l-1 的最小质因子。则(l-1,i)= 1,1 ≤ i < ; , i = p 1,1 ≤ i < ; 。 , i = p
1≤ < ≤

?1 + 1,?1 与 n 互质 , 2, ?1 与 n 不互质

min? { , }的最大值

故(2l+i-2,l+i-1)=



由题设知, +i?1 =

2 + i ? 1,1 ≤ i < 2 + 2p ? 2,i = p。

则 +p ?1 ? +p ?2 = 2l + 2p ? 2 ? 2l + p ? 2 = p(质数)。故 +p ?1 =2(l+p-1). 由以上讨论知有无穷多个 l≥ k,使 = 2l且 +p ?1 ? +p ?2 = p为 l-1 的最小质因子。 2、 连接 AC、AD、AE、AF、DF。 由∠ADB=∠AFB,∠ACB=∠AEF 及 CD=EF→ ?ACD ? ?AEF → AD = AF → ∠ADF = ∠AFD → ∠ABC = ∠AFD = ∠ADF = ∠ABF →AB 是∠CBF 的角平分线。 连接 CM,FN。因为 M 是弧 PB 的中点,所以 CM 是∠DCF 的角平分线。同理 FN 是∠CFB 的角 平分线,于是,BA,CM,FN 三线共点。 设交点为 I,在圆1 2 中,由圆幂定理得 CI·IM=AI·IB,AI·IB =NI·IF→CI·IM=NI·IF,所 以 CFMN 四点共圆。 3、设 a< < 。令 x=a+b,y=a+c,z=b+c。则 x< < ,x+y> ,且 x+y+z 是偶数①, 反之,若存在 x、y、z∈ A 满足性质① ,则取 a=
+y ?z 2

,b=

+z ?y 2

,c=

+z ?x 2

,有 a、b、

c∈ Z,1 ≤ a < < ≤ 2012,且 x=a+b,y=a+c,z=b+c。于是题述条件等价于对任意的 k 元 子集 A,均有 x、y、z∈ A 满足性质① 。 若 A={1,2,3,5,7…2011}则|A|=1007,且集合 A 中不含有满足性质①的三个元素。因 此 k≥ 1008。 下面证明:任意一个 1008 元子集均含有三个元素满足性质①。接下来证明一个更一般的结 论:对任意整数 n(n ≥ 4)集合{1,2,…2n}的任意一个 n+2 元子集均含有三个元素满 足性质①。 (用数学归纳法证明) 综上,所求的 k 最小值为 1008. 4、min , =min{ ( + ) ( + ) , ( + ) ( + ) } ≤
1 2

+ + + +

≤ [( + ) ( + )+( + ) ( + )] = + 2( + ) (a+b)+ab,则 F≤
1 1≤ < ≤ 1

+ +

+b 2 ?1 2

1≤ < ≤

2 + + ab

=2 1 ?
1 2

n 2 i=1 1

2 a + b + ab 2 a + b + ab

≤ [1 ? (


?1 n 2 i=1 ) ]+ 2 ?1 2

=2 (1 ? ) + =
?1 1 2 1

1

1

a+b +

(?1) 2

ab

+ a + b + nab 。
?1 1 2

当 = 时,上式等号成立。故 F 最大值为

+ a + b + nab


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