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2014顺义高三二模数学理科


顺义区 2014 届高三第二次统练数学(理科)试卷 2014.04 第一部分(选择题 共 40 分) 一、 选择题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.复数 i(1 ? i) 等于 A. 1 ? i B. ?1 ? i C. ?1 ? i
? 1 2

D. 1 ? i

2.已知 a ? log2 3 , b ? log 1 3 , c ? 3
2

,则 C. a ? b ? c D. a ? c ? b

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

3.已知向量 a ? (1,1) , b ? (?1,1) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 4.如图所示,一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个直径为 2 的圆,那 么这个几何体的侧面积为 A. 8? B. 4? C. 2? D. ?
正视图 左视图

5.“ ? ? 0 ”是“函数 y ? sin( x ? ? ) 为奇函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

俯视图

6. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的 值是 A. 2 B. 5 C. 11 D. 23

x2 2 2 7.已知双曲线 2 ? y ? 1( a ? 0 ),与抛物线 y ? 4 x 的准线交于 A, B 两点,O 为坐标原点,若 AOB a
的面积等于 1 ,则 a ?

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A. 2

B. 1

C.

2 2

D.

1 2

8.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x] x ? 0, 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, x ? 0, ? f ( x ? 1)
(k ? 0) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有三个不同的交

(如 [?1.1] ? ?2 , [? ] ? 3 , ??? ) .若直线 y ? k ( x ? 1) 点,则实数 k 的取值范围是 A. [ , )

1 1 5 4

B. [ , )

1 1 4 3

C. [ , )

1 1 3 2

D. (0,1]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.在极坐标系中,点 (2,

?
6

) 到极轴的距离是 ______.

10.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a1 ? 1 , a3 ? 4 ,则 a2 ? ________; 此数列的其前 n 项和 Sn ? __________. 11.如图, AB 是圆 O 的直径, AB ? 2 , D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C . 若 DA ? DC , 则 ?BDC ? ________; BC ? __________ .

D

12.对甲、乙、丙、丁 4 人分配 4 项不同的工作 A、B、C、D,每人一项,其中甲不能承担 A 项 工作,那么不同的工作分配方案有 _________ 种. (用数字作答) 13.在 ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若

A

O

B

C

a ? c ? 6 , sin

B 3 ,则 cos B ? _______; b ? ________ . ? 2 3

? x ? 0, ? 14.已知点 M (a, b) 在由不等式 ? y ? 0, 确定的平面区域内,则点 N (a ? b, a ? b) 所在的平面区域面积 ? x ? y ? 2, ?
是 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? cos 2 x 的图象过点 ( (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值.
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?
8

, 0) .

16. (本小题共 13 分) 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛” , 在相同的条件下,两人 5 次测试的成绩(单位:分)记录 如下: 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛,你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅲ) 若将频率视为概率, 对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测, 记这三次成绩高于 80 分的次数为 X , 求 X 的分布列和数学期望 EX . 17. (本小题共 14 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? AB ? 2 ,

P E

1 PB ? PD ? 2 2 ,点 E 在 PD 上,且 PE ? PD . 3 (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC 上存在点 F , 使 PF ∥平面 EAC ,并求 BF 的长.
18. (本小题共 13 分)

A B C

D

x 2 ? ax ? a 已知函数 f ( x) ? ,其 a 中为常数, a ? 2 . ex
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的极大值为 2 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m ( m ? 0 )与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T , 当 m 变化时,求 TAB 面积的最大值. 20. (本小题共 13 分) 已知集合 A ? ?a1, a2 , a3 , ???an ? , (0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an , n ? N ? , n ? 3) 具有性质 P :对任意的 i , j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai , a j ? ai 至少有一个属于 A . (Ⅰ)分别判断集合 M ? ?0,2,4? 与 N ? ?1, 2,3? 是否具有性质 P ; (Ⅱ)求证:① a1 ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?

2 . 2

n an ; 2

(Ⅲ)当 n ? 3, 4 或 5 时集合 A 中的数列 ?an ? 是否一定成等差数列?说明理由.
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顺义区 2014 届高三第二次统练高三数学(理科)试卷 参考答案 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分
n 0 9. 1 ;10. 2, 2 ? 1 ;11. 30 , 1 ;12. 18 ;13. , 2 2 ;14. 4

1 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? cos 2 x

a sin 2 x ? cos 2 x ————3 分 2 ? a ? ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,? sin ? cos ? 0 ,————5 分 8 2 4 4 a ? 2 解得 ————7 分 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? 最小正周期 T ?

2? ? ? ,———11 分 2

2 sin(2 x ? ) ———9 分 4

?

最大值为 2 .————13 分 16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)茎叶图





8 7 2
————3 (Ⅱ) 由图可知, 乙的平均成绩大 于甲的方差, 且乙的最高分高于甲 好.

7 8 9

8 2 2 8 5
于甲的平均成绩,且乙的方差小 的最高分,因此应选派乙参赛更 ————6 分 分

6 2

(Ⅲ)记甲“高于 80 分”为事件 A,? P( A) ?

2 5

?X

2 2 2 B (3, ) , P( x ? k ) ? C3k ( ) k (1 ? )3? k ————8 分 5 5 5

X 的可能取值为 0,1, 2,3 .
分布列为:

X P

0

1

2

3

27 125

54 125
————11 分

36 125

8 125

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EX ?

6 5

————13 分

P E

17. (本小题共 14 分) 解 :( Ⅰ ) 证 明 :

P A?

A? B2 , PB ? 2 2 ,
A B C D

? PA2 ? AB 2 ? PB 2 ? PA ? AB ,同理 PA ? AD ————2 分 又 AB AD ? A ,? PA ? 平面 ABCD .———4 分
(Ⅱ)以 A 为原点, AB, AD, AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系,

则 A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0), P (0, 0, 2), E (0, , ) ———6 分 平面 ACD 的法向量为 AP ? (0,0, 2) , 设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ———7 分

2 4 3 3

?x ? 2 ? ?x ? y ? 0 2 4 ? ?n ? AC ? 0 AC ? (2, 2, 0), AE ? (0, , ) ,由 ? ,? ? ,取 ? y ? ?2 ? n ? (2, ?2,1) ,—— 3 3 ? y ? 2z ? 0 ? ?z ? 1 ?n ? AE ? 0 ?
—8 分 设二面角 E ? AC ? D 的平面角为 ?

cos? ?

1 n ? AP 1 ? ,? 二面角 E ? AC ? D 的余弦值为 .———10 分 3 | n | ? | AP | 3

(Ⅲ)假设存在点 F ? BC ,使 PF ∥平面 EAC , 令 F (2, a,0) , (0 ? a ? 2) ———12 分

? PF ? (2, a, ?2) 由 PF ∥平面 EAC ,? PF ? n ? 0 ,解得 a ? 1 ? 存在点 F (2,1, 0) 为 BC 的中点,即 BF ? 1 . ———14 分
18. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) a ? 1 , f ( x) ?

x2 ? x ? 1 ,? f (0) ? 1 ,———1 分 ex

f ' ( x) ?

(2 x ? 1)e x ? e x ( x 2 ? x ? 1) ? x 2 ? x ? x( x ? 1) ' ? ? ,? f (0) ? 0 ———3 分 e2 x ex ex

则曲线在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 .———5 分 (Ⅱ) f ( x) ?
'

(2 x ? a)e x ? e x ( x 2 ? ax ? a) ? x[ x ? (2 ? a)] ? e2 x ex

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f ' ( x) ? 0 的根为 0,
a ? 2 ,? 2 ? a ? 0
' 当 a ? 2 时, f ( x) ?

2 ? a ,———6 分

? x2 ? 0 ,? f ( x) 在 (??, ??) 递减,无极值;——8 分 ex

当 a ? 2 时, 2 ? a ? 0 , f ( x ) 在 (??,0),(2 ? a, ??) 递减,在 (0, 2 ? a) 递增;

? f (2 ? a) ? (4 ? a)ea?2 为 f ( x) 的极大值,———10 分
令 u(a) ? (4 ? a)ea?2 , (a ? 2) , u' (a) ? (3 ? a)ea?2 ? 0

? u (a) 在 a ? (??, 2) 上递增,? u(a) ? u(2) ? 2 , ? 不存在实数 a ,使 f ( x) 的极大值为 2 .———13 分
19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知椭圆的焦点在 x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1 ,———2 分 ? 椭圆 E 的方程为
x2 ? y 2 ? 1———4 分 2

?y ? x ? m ? 2 2 (Ⅱ) ? x 2 ,消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
2 直线 l 与椭圆有两个交点,? ? 0 ,可得 m ? 3 (*)———6 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? ?

4m 2m 2 ? 2 2 2 , x1 x2 ? ,弦长 | AB |? 6 ? 2m2 ,———8 分 3 3 3 2m m , ) , 设 T ( x, 0) ,? k AB ? kMT 3 3

AB 中点 M (?

m 3 ?1 ? ?1 , ? ?1 ,? 2m ? ?x 3

?x??

m 3

? T (?

m 2 |m| , 0) , | TM |? ———11 分 3 3

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?S ?

1 2 2 3 9 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? ?2(m2 ? ) 2 ? 2 9 9 2 2
3 2 时, S max ? ,——14 分 2 3

m2 ? 3 ,? m2 ?

(或: S ?

1 2 2 (6 ? 2m2 ) ? 2m2 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? 2 9 9 2
( 6 ? 2m 2 ? 2m 2 2 ) 2 3 2 2 . ? ? ? 2 9 2 3
3 2 时成立, S max ? .(用其它解法相应给分) 2 3

?

2 9

" ? " 当且仅当 m2 ?

20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)

2 ? 0 ? 2, 4 ? 2 ? 2, 4 ? 0 ? 4, ? 集合 M 具有性质 P , 0 ? 0 ? 0, 2 ? 2 ? 0, 4 ? 4 ? 0,

3 ? 3 ? 6 ? A , 3 ? 3 ? 0 ? A ,? 集合 N 不具有性质 P .———3 分
(Ⅱ)由已知 0 ? a1 ? a2 ? ??? ? an ,? an ? an ? 2an ? A , 则 an ? an ? 0 ? A ,仍由 0 ? a1 ? a2 ? ??? ? an 知 a1 ? 0 ;———5 分

? 0 ? an ? an ? an ? an?1 ? an ? an?2 ? ??? ? an ? a1
an ? an?i ? an , (i ? 1, 2,3 ??? n ? 2) ,? an ? an?i ? A ,

? a1 ? an ? an , a2 ? an ? an?1, ???an ? an ? a1 ———6 分
将上述各式两边相加得 a1 ? a2 ? a3 ????an ? nan ? (a1 ? a2 ???? ? an )

? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ???an ) ? nan ,即 a1 ? a2 ? a3 ? ???an ?

n an ;———8 分 2

(Ⅲ)当 n ? 3 时,集合 A 中的数列 a1 , a2 , a3 一定是等差数列. 由(Ⅱ)知 a1 ? 0 ,且 0 ? a1 ? a2 ? a3 ,? a3 ? a2 ? a3 ? A 故 a3 ? a2 ? A ,而这里 a3 ? a2 ? a3 ,反之若不然 a2 ? 0 ? a1 这与集合 A 中元素互异矛盾,? 只能 a3 ? a2 ? a2 ,即 2a2 ? a3 ? a3 ? 0 ? a3 ? a1

? a1 , a2 , a3 成等差数列. ———9 分

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当 n ? 4 时,集合 A 中的元素 a1 , a2 , a3 , a4 不一定是等差数列. 如 A ? ?0,1,2,3? , A 中元素成等差数列, 又如 A ? ?0, 2,3,5? , A 中元素不成等差数列;———11 分 当 5 时,集合 A 中的元素 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 一定成等差数列 证明: 0 ? a1 ? a5 ? a5 ? a5 ? a4 ? a5 ? a3 ? a5 ? a2 ? a5 ? a1 令 a1 ? 0, a2 ? a5 ? a4 ① a3 ? a5 ? a3 ② ② ? ①有 a4 ? a3 ? a3 ? a2 ,且由① a2 ? a4 ? a5

a4 ? a3 ? a4 ? a2 ? a5 ,? a4 ? a3 ? A

? a4 ? a3 ? A

? 0 ? a1 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a3 ,? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? a2 ? a1
又 a2 ? a5 ? a4 ,? a5 ? a4 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? 0 ? a2 ? a1

? a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等差数列. ———13 分

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