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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题13 向量复数


1、 ( 2000 一试 6 )设 ? ? cos ( ) 4 3 2 (A) x +x +x +x+1=0 4 3 2 (C) x ?x ?x +x+1=0 【答案】B

?
5

? i sin

?
5

,则以 ?,? ,? ,? 为根的方程是
3 7 9

(B) x ?x +x ?x+1=0 4 3 2 (D) x +x +x ?x?1=0
4 3 2

→ → → → 2、 (2004 一试 4)设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC = 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的比为( ) 3 2 5 3

A.2
源:学&科&网]

B.

C.3

D.

[来

A

【答案】C 【 解 析 】 如 图 , 设 ?AOC=S , 则 ?OC1D=3S , ?OB1D=?OB1C1=3S , ?AOB=?OBD=1.5S.?OBC=0.5S,??ABC=3S.选 C.

B B1 D

O

S C C1

3、 (2005 一试 2) 空间四点 A、 B、 C、 D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD 的取值( A.只有一个 【答案】A )

[来源:学§科§网]

B.有二个

C.有四个

D.有无穷多个

【 解 析 】 注 意 到 3 ? 11 ? 1130? 7 ? 9 , 由 于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则
2 2 2 2

?

DA2 ? DA =

2

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB2 ? BC2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ?

BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB ) ? AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?

2

BC) ? (BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD2 ? BC2 ? AB2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个值得
0,故选 A。

[来源:Z_xx_k.Com]

5 、( 2001 一 试 8 ) 若 复 数 z1,z2 满 足 |z1|=2,|z2|=3,3z1-2 z1z2= 【答案】 ? 。

z2=

3 -I, 则 2

30 72 ? i 13 13

二式相除,得tg(α +β )/2)=3/2.由万能公式,得 sin(α +β )=12/13,cos(α +β )=-5/13. 故z1·z2=6[cos(α +β )+isin(α +β ) ] =-(30/13)+(72/13) i. 说明:本题也可以利用复数的几何意义 解. 6、 (2002 一试 7)已知复数 Z1,Z2 满足|Z1|=2, |Z2|=3,若它们所对应向量的夹角为 60°,



z1 ? z 2 = z1 ? z 2
133 7



【答案】

【解析】由余弦定理得|Z1+Z2|= 19 , |Z 1?Z2|= 7 ,

z1 ? z 2 133 = 7 z1 ? z 2

7、 (2006 一试 8)若对一切 ? ? R,复数 z ? (a ? cos ? ) ? (2a ? sin ? )i 的模不超过 2,则实 数 a 的取值范围为 .

8、(2007 一试 8)在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6, CA ? 33 ,若

AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于



2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向 x ??? ? ??? ? 直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂 足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是 .
9、 (2012一试1)设 P 是函数 y ? x ? 【答案】-1 【解析】方法1:设 p ( x0 , x0 ?

2 2 ), 则直线 PA 的方程为 y ? ( x0 ? ) ? ?( x ? x0 ), 即 x0 x0

y ? ? x ? 2 x0 ?

2 . x0

?y ? x 1 1 ? 由? 2 ? A( x0 ? , x0 ? ). x0 x0 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 2 1 1 ??? 又 B(0, x0 ? ), 所以 PA ? ( , ? ), PB ? (? x0 , 0). 故 PA ? PB ? ? (? x0 ) ? ?1. x0 x0 x0 x0
[来源:Zxxk.Com][ 来源:学科网]

1 10、 (2003 一试 14)设 A、B、C 分别是复数 Z0=ai ,Z1= +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实 2 数)对应的不共线的三点.证明:曲线 Z=Z0cos t+2Z1cos tsin t+Z2sin t 与△ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.
4 2 2 4

(t∈R)


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