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物理竞赛辅导 近代物理


最近六年的诺贝尔物理奖: 2008年:发现次原子物理的对称性自发破缺机制; 发现对称性破缺的来源。 2009年:英国华裔科学家高锟在“有关光在纤维中的 传输以用于光学通信方面”取得了突破性成就获奖; 博伊尔和史密斯发明了半导体成像器件——电荷耦合 器件 (CCD)图像传感器而获奖 2010年:在石墨烯材料开发领域的“突破性研究”。 2011年:“通过观测遥远超新星发现宇宙的加速膨

胀” 。 2012年:突破性的试验方法使得测量和操纵单 个量子系统成为可能 2013年:提出了希格斯玻色子理论, 成功预测希格斯玻色子(又称“上帝粒子”)
1

注意: 物理竞赛不单独考实验题.
命题原则: 竞赛将按照有利于教学改革,有利于提高学生能力, 既要考察学生对课内学过的基础知识的掌握, 又要考察学生自学能力、独立工作能力和灵活运用 知识解决问题能力的原则命题。 因此,命题将不拘于教学大纲,也不受教材限制, 原则上不出专门的实验题,但注意理论联系实际, 不出偏题和繁琐题。 本次竞赛原则上用一套考题, 但限制各组考生的做题范围(具体规定看试卷)。
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本次辅导课主要内容:狭义相对论 一.狭义相对论基本原理 二.洛仑兹变换 三.同时性的相对性 四.运动长度缩短 五.动时膨胀 六.狭义相对论时空效应的难点 七.相对论速度变换

八.狭义相对论动力学基础 九.光的多普勒效应
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回顾:经典时空观——伽里略变换
两个惯性系S和S’, ? S’相对于S以速度 v 沿 x 轴正向作匀速直线运动。 分别在其中建立两个坐标系oxyz 和 o’x’y’z’, 对应坐标轴平行且开始计时时两坐标系原点重合。 分别从 S 和 S’ 系考察 S’ 同一物理事件 P 。 S p ? ? P ( x , y , z , t ; u; a ) S中: ? ? ? v P ? x' , y' , z' , t '; u'; a'? S’中: 经典力学时空观: ? x? ? x ? vt
? y? ? y ? 伽利略坐标变换: ? ? z? ? z ? ?t ? ? t

o

o'
互推

x

x'

伽利略变换

4 4 绝对时空观

一.狭义相对论基本原理

(1)狭义相对性原理--- 物理定律在一切惯性系 中都取相同的形式。 (2)光速不变原理--- 真空中的光速相对于任何

惯性系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关。

5 5

一.洛仑兹变换
在两个惯性系S和S’中, 分别建立两个坐标系oxyz 和 o’x’y’z’, 对应坐标轴平行且开始计时时两坐标系原点重合, ? S’相对于S以速度 v 沿 x 轴正向作匀速直线运动。 分别从 S 和 S’ 系考察 同一物理事件 P 。 S系中的运动坐标: ? ? P ( x , y , z , t ; u; a ) S’系中的运动坐标: ? ? P ? x' , y' , z' , t '; u'; a'?

S

S’

p
有何 关系 ?

? v

o

o'

x
6

x'

为便于记忆和书写,常写成:
洛伦兹正变换
洛伦兹逆变换

x? ? ? ( x ? vt )
y? ? y
z? ? z

x ? ? ( x? ? vt ' )
y ? y?
z ? z?

v t ? ? ? (t ? 2 x ) c

t ? ? (t ? ?

v x? ) 2 c

??

1 1? ? 2

?

1 v 1? 2 c
2

?1 ? ? v
c

S’系相对于S系以v沿x轴正向运动 也即S系相对于S’系以v沿x轴负向运动

7

注意: L变换是相同对象在两个不同惯性系中两组时空 坐标之间的变换式! 分别在惯性系S和S’中观测两个瞬时事件: 两事件的时、空间隔: S中:?t , ?x
?t ' , ?x' S’中:

?x? ? ? (?x ? v?t ) v ? t ? ? ? ( ?t ? 2 ?x ) c

?x ? ? (?x? ? v?t ' ) v ?t ? ? ( ?t ? ? 2 ?x?) c
8

是不同惯性系中相同对象的时、空间隔的关系 狭义相对论时空观的基本关系!

相对论的时空观
狭义相对论 ?抛弃了绝对时空观?抛弃了伽利略变换 ?建立了相对论时空观 ?建立了洛伦兹变换

相对论时空观的本质: 同时性是相对的;

长度和时间是相对的.

9 9

异地对钟: 某一惯性系中两个不同地点的时间关系,是由静止 在这两点的两个同样物理结构的同步钟给出的; 如何校准某一惯性系中静止于异地的钟?

A

d

O

d

B

某时刻从A、 B 的中点发出光信号,当光信号到达 A、B 两处时,若A、B两处钟的指针给出同一读数, 则这两个钟就对准了(即同步)---同步钟。 异地对钟的根据:光速不变原理 10 10 这样可把同一惯性系中的异地钟都校准为同步钟。

洛仑兹变换中的时间都是指已经校准好的钟 所指示的时间,并且假定在惯性系中每个空 间点都有一只校准好的钟.

在一个惯性系中已校准的 两个钟,在其它惯性系中 观测也一定是校准的吗?

11 11

二,同时性的相对性 以爱因斯坦火车为例(Einstein train)

S ? : Einstein train
S: 地面参考系

S

S?

v
A? M ? B?

在火车S’上: A’和B’处分别放置信号接收器
中点M’处放置光信号发生器

M ?发一光信号, 光速为 c

事件1: A’收到闪光 事件2: B’收到闪光

S ?中

S’中事件1、事件2 同时发生

12 12

在地面参考系S中:

M ? 处闪光 光速也为 c
A’B’随S’相对于S运动

S

S?

v
A? M ? B?

A’迎着光运动,
B’背着光运动,

A’比B’ 早接收到光信号
S中事件1、事件2 不同时发生

事件1先发生

讨论 ?结论:按狭义相对论,同时性是相对的! ? 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果 ? 相对效应
13 13 ? 当v<< c 时,两个惯性系结果相同,“同时”是绝对

三,运动长度缩短(动长缩短)
测物体长度的方法: 测物体两端点的坐标,求出两端点坐标之差即是; 测静止物体(相对观测者静止)长度无须同时测两端点; 测运动物体(相对观测者运动)长度必须同时测两端点!!

14

设一刚性棒沿x’ 轴静止放置于S’ 系中:

S

S?

? x1

? x2

x?

分别从S, S’测量棒长: 事件1:测棒的左端
事件2:测棒的右端

S
x1 , t1

动长 怎么测动长?

x2 , t2 l ? x2 ? x1

? , t2 ? x2
静长

?, t1 ? x1

S?

x

? ? x1 ? l0 ? x2

必须t 2 ? t1 ,

? ?x ' ? ? (?x ? v?t )


? ?x ' ? ??x ? l0 ? ? l ? l
运动长度收缩!

?t ? 0



l0 ? ? l

或 l?

1

?

l0 ? l0

l0:相对于被测物体静止的观测者测得的棒长 ——
本征长度(或静止长度、固有长度、原长)

l:相对于被测物体运动的观测者测得的棒长——
运动长度(同时测得两端点坐标之差)
??
1 1? ?
2

?

1 v 1? 2 c
2

?1

同一物体的运动长度总是小于它 的固有长度——“运动长度收缩”

分析思考:“运动长度收缩”疑难

刚性棒沿x’轴放置,并相对于S’静止。 分别从两个惯性系S和S’测量其长度, 测得该棒两端点的时空坐标分别为:

S中: ( x1 , t1 ) ( x2 , t2 ) ? , t1 ? ) ( x2 ? , t2 ?) ( x1 S’中:

动长收缩效应 是“同时性的 相对性”的直 接结果!

(x1 、 x2必须同时测量:t1 =t2 ) S中: L ? x2 ? x1 ——运动长度 ? L' ? x? S’中: 2 ? x1 ? L0 ——固有长度

?

? ? vt1 ?) x1 ? ? ( x1

? x 2 ? ? ( x? 2 ? vt 2 )

? ? t1 ?) ? L ? ?L0 ? ? v(t 2

因棒静止于S’中,x2 ? 和x1 ? 既可同时测量,也可不同时测量,
若同时测量,即:t1 ?

? 则 ? t2

(←问题在此!)

L ? x2 ? x1 ? ?L0 ( L ? L0 )

运动长度变长??

例题:火车与隧道 静态: l0火车=l0隧道 火车高速穿过隧道
隧道看守人: 运动火车?缩短 ?火车中心到隧道中心 火车司机: 隧道迎我而来?隧道缩短 ?同时关两铁门?将火车关在隧道中
火车司机 铁门 隧道看守人

铁门

?两中心重合时?车头车尾都露出 看守人 ?车头车尾处同时放火箭都会升空 谁正确? 问题症结在哪里?

火箭升空

火箭升空

分析:都正确! 症结在于同时性的相对性
看守人同时关两铁门,但司机看来不同时; 司机 18 司机同时放火箭,但看守人看来不同时. 先尾部放火箭,后头部 18 .

注意
观察者用眼睛“看到的”物体长度和 观察者“测量的”结果不同: 当我们看见一个物体时,记录下来的是由物体 上各点发出的同时到达视网膜的那些光信号;

“看”直尺长度时,“看到的”是由直尺两端发射 的,同时到达观察者视网膜的光信号,它们一般 不是同时发射的。 “测量”直尺长度时,“测量的”是由直尺两端 同时发射的光信号,它们一般会在不同时刻到达 观察者的视网膜; 19

19

四,动时膨胀(“动钟变慢”)
分别从两个惯性系S和S’测量时间间隔,
S中: 1事件( x1 , t1 )
2事件( x2 , t2 )

? , t1 ?) S’中: 1事件( x1

? , t2 ?) 2事件( x2

设S’中两事件发生在同一地点:即

S’系中测得两事件的时间间隔为: ?t ? ? ? 0
S系中测得事件经历的时间为:
v ?x ') 2 c

?x? ? 0 ? ? x? x1 2 即

? ? t1 ? 静时 ? t2

?t ? t2 ? t1 动时

?

?t ? ? ( ?t '?

?x? ? 0
动时=静时的γ倍,

?t ? ??t ? ? ??0
动时>静时
20

?t ? ??0 ? ? 0
??
1 1? ?
2

?

1 v 1? 2 c
2

?1

? 0 是同地发生的两瞬时事件的时间间隔——本征
(或静止、固有)时间(原时)。

?t 是异地发生的两瞬时事件的时间间隔—运动时间
动时=静时的γ倍, 动时>静时

运动时间总是大于其固有时间—— ---“动钟变慢” 运动时间膨胀效应。

注意:
(1)“钟”:在物理上是指任何真实的、可用其所经历 的 时间间隔来度量时间的事件。 “动钟变慢”指的是:相对于观察者运动的物理事件, 其进行、发展或演化的进程将会变慢; 动钟变慢是时间本身的客观特征, 它表明物质的时间属性与其运动状态有关。
22 22

(2)运动的时钟变慢是相对的 例如:你我相对运动。 我看你的“钟”慢了; 你看我的“钟”慢了.

与相对性原理一致
“究竟谁的钟变慢了呢?” 提示:相对论只针对相对彼此,不涉及第三者…

“究竟谁钟慢?”的提问者
属第三者插足…
23 23

例题 一短跑选手,在地球上以10s时间跑完100m ,在飞行速 度为0.98c的飞船中的观察者看来,这个选手跑了多长时间和多 长距离(设飞船沿跑道的竞跑方向飞行)? 解:根据动时延缓和动长收缩效应有:

?t ? ??0

l?

1

?

l0

l0 ? 100m, ? 0 ? 10s,
? u ? 0.98c , ? ? 1 1? v / c
2 2

?

1 1 ? 0.982

? ?t ?

1 1 ? 0.98
2

? 10 ? 50.25 ( s )

l ? 1 ? 0.982 ? 100 ? 19.9 ( m) 以上解答对吗?
为什么?

24

五.狭义相对论时空效应的难点,解题时应注意
(1)洛仑兹变换才是相对论时空观的普遍公式,对于从任意 两个惯性系测量相同对象的时空坐标和时空间隔都适用;
(2)弄清“动长缩短”和“动钟变慢”公式是在什么前提 下如何从洛仑兹变换得到的;不能乱用这两个公式;

l?

1

?

l0

l0:本征长度(或静止长度、固有长度) l:运动长度 (如何测量?)
运动长度必须是运动参照系中同一 时刻测得两端点坐标之差

?t ? ??0

?0
?t

本征(静止、固有)时间(何为静止 时间?) 运动时间
25

静止时间必须是同一地点测得的 时间间隔

不是运动长度!!!

不是静止时间!!!

例题 一短跑选手,在地球上以10s时间跑完100m ,在飞行速 度为0.98c的飞船中的观察者看来,这个选手跑了多长时间和 多长距离(设飞船沿跑道的竞跑方向飞行)?

正确解答为:设地面为S系,飞船为S’系,由洛仑兹变换得:

v ?x? ? ? (?x ? v?t ) ?t ? ? ? (?t ? 2 ?x ) c

? ?x ? x2 ? x1 ? 100m, ?t ? t 2 ? t1 ? 10s, v ? 0.98c
? ?x? ? 1 1 ? 0.982 (100 ? 0.98c ? 10) ? ?1.47 ? 107 ( km)

0.98c ?t ? ? (10 ? 2 ? 100) ? 50.25 ( s ) 2 c 1 ? 0.98 不能直接用动时延缓和动长收缩公式!!!???

1

26

09年第26届填空题10:静长l0 的空心管AB相对惯性系S以恒定速 度v沿AB长度方向高速运动。管内有一微观粒子P,在S系的t=0 时刻从B壁内侧朝着A壁高速运动,相对AB管的速率也为v,S系 测得t1=_____时刻P到达A壁。设P与A壁弹性碰撞,S系又可测得 t2=_____时刻P回到B壁。 解:取AB管为S’系,S’以速度v相对于S向右运动。 P为研究对象,P相对于S’以v向左运动。
? x' ? ? l0 (1)对P从B→A的运动,S’中:
l ?t ? ? 0 v

A

v l0

P B

v

(不是静时!) 由洛伦兹变换知,S中: l0 v v 1 v 2 l0 v 2 l0 ?t ? ? ( ?t '? 2 ?x ') ? ? ( ? 2 l0 ) ? (1 ? 2 ) ? 1 ? 2 2 c v c v c v c v
1?

S系

2l 0 (? ? x' ? 0) (2)对P从B→A→B的运动,S’中:?t ? ? (静止时间) v 2l 0 1 由运动时间延缓效应知,S中: ?t ? ??t ' ?
v2 1? 2 c v
27

c2

第二十届第13题(P185):惯性系S’相对于惯性系S沿x轴以 v高速运动.S’中沿x’轴有一弹簧振子,弹簧劲度系数为k ,振子质量为m,振子速度远小于光速,振幅为A.在S系 中可测得该振子的振动周期为______ ;振子从图中平衡位 ? 置x’=0到x’=A所经时间为______ 。 v m S’系 -A 解: (1)S’系测得周期为: T ' ? 2? (静时) A k 据动时延缓效应,S系测得周期为: S系
T ? ?T ' ? ? 2? m ? k 1 v2 1? 2 c 2? m k

1 ?t ' ? T ' x' ? 0, x' ? A ? ?x' ? A, (2)S’系中: 1 2 4 (Δt’不是静时!) 由L变换得S系中测得振子从平衡位置x’=0到x’=A的时间:
?t ? ? ( ?t '?
v 1 v ? x ' ) ? ? ( T ' ? A) ? 2 2 c 4 c 1 v2 1? 2 c (



?t ? ??t ' 错!

?

2

m v ? 2 A) k c

第十六届第4题(P149):高速列车内有一滑轨AB 沿车身长度方向放置,列车以0.6c(c为光速)的速 率相对地面匀速直线运动. 列车上的观察者测得滑轨长为10米, 另有一小滑块D在10秒内由滑轨的A端滑到B端, 则地面上的观察者测得滑轨的长度为______ 米, 地上的观察者测得滑块移动的距离为______ 米。 解:地面上的观察者测得滑轨长度为:
(即滑轨动长)
2

v l ? l0 1 ? 2 ? 10 ? 1 ? 0.62 ? .... A c 地面上的观察者测得滑块移动的距离为:



0.6c B

1 (10 ? 0.6c ? 10) ? .... ?x ? ? (?x '? v?t ')? 0.8

(≠滑轨动长)

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第十九届第13题(P173):静长l 0 的飞船以恒定速度v相对某 惯性系S高速运动,从飞船头部发出一光信号,飞船上观察者 认为需经时间Δ t’=______ 到达尾部B;S系中的观察者认为 需经时间Δt=______ 到达尾部B。

l0 解:取飞船为S’系,则飞船上观察者求出?t' ? c
?l ? l0

根据运动长度收缩效应知,S系中观察者测得飞船长度为:

?

? ?

1 v 1? 2 c
2

,

l l0 v2 故?t ? ? 1? 2 c c c

对吗?

注意:对S的观察者,飞船头部发出光信号和尾部收到光信 号肯定不在同一时刻(光信号走的距离≠飞船动长)。故上 式解答错误。应为:

v ? ?t ? ? ( ?t '? 2 ?x ') c

l0 v l0 ? ?t ? ? ( ? 2 l0 ) ? c c c

c?v c?v

l0 ?t' ? , ?x' ? ? l0 c

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第二十三届第12题:各边静长为L的正方形面板ABCD,在惯性 系S的 xy 坐标面上以匀速度v 沿 x 轴运动. 运动过程中AB边 和BC边各点均朝x轴连续发光,在S系中各点发光方向均与y轴 平行.这些光在x轴上照亮出一条随着面板运动的轨迹线段,它 的长度l= ______ L; 若改取AB边静长为L’,BC边静长仍为L的 长方形面板,当v=0.6c时, x轴上运动的轨迹线段长度恰好等于L, 那么必有L’=______ 。 ?光从A,D点发出到达x轴这段时间内, 面板又向前运动了距离

L 第1空解:从A,D点发出的光需要经历时间?t ? 才能到达x轴. c L v?t ? v c

y

A
L

D
?v

?x轴上随板运动的光的轨迹线段的长度为

v2 L v2 v l ? L 1 ? 2 ? v ? L( 1 ? 2 ? ) c c c c

O

B L S系

C x
31

第二十三届第12题:各边静长为L的正方形面板ABCD,在惯性 系S的 xy 坐标面上以匀速度v 沿 x 轴运动. 运动过程中AB边 和BC边各点均朝x轴连续发光,在S系中各点发光方向均与y轴 平行.这些光在x轴上照亮出一条随着面板运动的轨迹线段,它 的长度l= ______ L; 若改取AB边静长为L’,BC边静长仍为L 的长方形面板,当v=0.6c时, x轴上运动的轨迹线段长度恰好等 y 于L,那么必有L’=______ 。 第2空解:从A,D点发出的光需要经历时间

L' 才能到达x轴. ?t ? c
?x轴上随板运动的光的轨迹线段的长度为

L’

A

D

?v

B L C S系 x

O

v2 L' L 1? 2 ? v ? L c c 1 ? 1 ? v2 / c2 1 ? L' ? L ? L' ? L 3 v/c

32

六.相对论速度变换
质点P在空间运动,

其速度在各惯性系下的关系?
z

S y

S' y' 0'

质点 .p (ux , uy , uz) v (u'x , u'y , u'z) x x'

(ux , uy , uz)~ (u’x , u’y , u'z) 变换? 0

由洛伦兹变换
x? ? ? ( x ? vt )
y? ? y
z? ? z

z'

dx? ? ? (dx ? vdt )
dy? ? dy
dz? ? dz

dx ? ux ? v ? u x?? dt ? 1 ? v u x c2 uy dy ? ? u y?? dt ? ? (1 ? v ux )

v t ? ? ? (t ? 2 x ) c

v dt ?? ? (dt ? 2 dx ) c

dz ? uz ? u z?? dt ? ? (1 ? v2 ux ) 33
c

c2

相对论速度正变换
ux ? v ux ' ? v 1 ? 2 ux c

相对论速度逆变换
ux '? v ux ? v 1 ? 2 ux ' c
uy ' uy ? v ? (1 ? 2 ux ' ) c uz ' uz ? v ? (1 ? 2 ux ' ) c

uy ' ?

uy v ? (1 ? 2 ux ) c uz uz ' ? v ? (1 ? 2 ux ) c

相对论速度变换在低速极限下回到伽利略变换 07年第24届竞赛中第17题(2)、 04年第21届填空题10、08年填空题12(2)等 都要用到相对论速度变换关系。 34

例题:两质点A,B相对运动如图,其速率相对实验室 坐标S来说都为0.9c,求A相对B的速率。 y'

解:以A为研究对象,
而将S'坐标系建在B上 这样S'相对于S的速度为 v = -0.9c ux = 0.9c
z

s

y A
ux 0 z' v B 0' x

s'

x'

质点A相对于S(实验室)的速度为:
质点A相对于S'(即相对于B)的速度为
ux ? v 1.8c 0.9c ? ( ?0.9c ) u?x ? ? ? 0.9945 c < ? v ( ?0.9c ) 1.81 1 ? 2 ux 1 ? 0 . 9 c c c2

光速c
35

04年第21届填空题10: 两个在同一直线上沿相反方向以速度V 飞行的飞船A(向左)、B(向右),飞船A中的观察者看到相 对其静止的中子的寿命为τ,那么飞船B中的观察者看到此中子 的寿命为_____; A船看到B船的速度为______.

解:取B为S’系,S’相对于S以V沿x轴正向运动。 S中A的速度为uA=-V,根据洛伦兹速度变换, y' S’中A的速度(即B看到A的速度)为:y
uA ' ? uA ? V ?V ? V ?2V ? ? uA V V2 1? 2 V 1? 2 V 1 ? 2 c c c

s

A V

s'

B V x' x

uA看B 故A看到B的速度为: 某惯性系S中飞船 A、B的速度为-V、V (即B相对A的速度) 飞船B中的观察者看到静止在A中的中子的寿命为:

2V ? ? uA ' ? V2 1? 2 c

? B ? ?? ?
1?

1 u c
2 A看B 2

? ? .....
36

10年第27届填空题10: 一艘无人飞船和一颗彗星相对地面参照系 分别以0.6c和0.8c的速度相向运动。地面系时钟读数ts=0时,恰 好飞船时钟读数也为t=0。地面系认为ts=5s (s:秒)时,飞船会与 彗星碰撞,飞船则认为t=_____s时,自己将与彗星碰撞,而且 飞船在t=0时认为彗星与它相距______cs(光秒)。 y 0.6c 0.8c 解:取地面为S系,飞船为S’系,

S’相对于S以v=0.6c沿x轴正向运动。 飞船 彗星为研究对象。 地面s

彗星 x

地面系S中ts=0且飞船系S’中t=0时,飞船和彗星出发(事件1); 地面系S中ts=5s时,飞船系S’中t=?时飞船和彗星相碰(事件2);

对地面系S,在不同地点测得事件1和2的时间间隔ts=5s;是动时

是静时 对飞船系S’,在同一地点测得事件1和2的时间间隔t=?
v2 (0.6c )2 t ? ts ? 1 ? 2 ts ? 1 ? t s? 0.8 ? 5 ? 4( s ) 2 ? c c
1
37

10年第27届填空题10: 一艘无人飞船和一颗彗星相对地面参照系 分别以0.6c和0.8c的速度相向运动。地面系时钟读数ts=0时,恰 好飞船时钟读数也为t=0。地面系认为ts=5s (s:秒)时,飞船会与 彗星碰撞,飞船则认为t=_____s时,自己将与彗星碰撞,而且 飞船在t=0时认为彗星与它相距______cs(光秒)。 y 0.6c 0.8c 解:取地面为S系,飞船为S’系,

35 -0.8c ? 0.6c ux ? v ?- c ? 飞船系S’中彗星速度:ux ' ? 0 . 6 c v 37 1 ? 2 ux 1+ 2 ? 0.8c c c

S’相对于S以v=0.6c沿x轴正向运动。 飞船 彗星为研究对象。 地面s ux = -0.8c 地面系S中彗星速度:

彗星 x

飞船系S’中认为彗星经过时间t=4s与自己相碰; 故飞船系S’认为初始时刻彗星与自己的距离为:
l’ ? ux '? t ? 35 140 140 c ? 4s ? c(秒) ? cs(光秒) 37 37 37
38

07年第24届竞赛中第17题:惯性系S中有两静止质量同为m0的粒 子A和B,他们的速度分别沿x,y方向,大小为0.6c和0.8c。某时刻 粒子A位于xy平面上的P处,粒子B也在xy平面上。 (1)S系认定再过?t=5s, A和B会相碰,试问A认为还需经过多长时 间?tA才与B相碰? (2)A认为自己位于S系P处时,质点B与其相距l,试求l; (3)设A,B碰后粘连,且无任何能量耗散,试在S系中计算粘连体 的静止质量M0. y A 0.6c 解(1):对S系,A、B出发(事件1)及A、 B相碰(事件2)在不同地点; 取A为S’系,对S’系,A、B出发(事件1) 及A、B相碰(事件2)在同一地点; S 0 P

0.8c
B x

(uA ? 0.6c )

故S系中?t=5s是动时; S’系中?tA是静时
2 4 uA ?t A ? ?t ? 1 ? 2 ?t ? ? 5 ? 4( s ) ? 5 c

1

39

07年第24届竞赛中第17题:惯性系S中有两静止质量同为m0的粒 子A和B,他们的速度分别沿x,y方向,大小为0.6c和0.8c。某时刻 粒子A位于xy平面上的P处,粒子B也在xy平面上。 (1)…. (2)A认为自己位于S系P处时,质点B与其相距l,试求l; (3) …… y A 0.6c 解(2):取A为S’系,所要求的 l 就是S’系中 P 0.8c S A、B出发时二者间距。 B (1)中已求出S’系认为经过?tA二者会相碰 0 x 设S’系中B的速度为 uB ' l ? uB ' ?t A 因S系中B的速度为uBx

? 0, uBy ? 0.8c
2 uBy 3.2 uA uBy ' ? c ? 1 ? 2 uBy? u 5 c ? (1 ? A u ) c 2 Bx

由洛伦兹速度变换得S’中B的速度:
uBx ? uA ?0.6c uBx ' ? ? ? ?0.6c; uA 0.6c 1 ? 2 uBx 1 ? 2 ? 0 c c '2 '2 uB ' ? uBx ? uBy ? 0.877c

l ? uB ' ?t A ? .....

40

七.狭义相对论动力学基础
相对论的质量
m( v ) ? m0 v 1? 2 c
2

? m0? ? m0

m0 ——质点的静止质量

m ——质点的运动质量(相对论质量)
相对论的动量
? ? p ? mv ? m0 v2 1? 2 c ? ? v ? ? m0v

? ? ? dp ? d ( mv ) d ? ? [? m0v ] 相对论动力学 F ? dt dt dt 基本方程 ? ? dm ? ? dm ? ? m0a ? v ? ma ? v dt dt

41

相对论中的能量
Ek ? mc 2 ? m0c 2

或 mc 2 ? m0c 2 ? Ek

Ek ? E ? E0

或 E ? E0 ? Ek
即内能.

2 (1) E0 ? m0c 静能 任何宏观静止的物体具有能量.

(2) E ? mc 2 ? E0 ? Ek 总能,总能与质量成正比; (3) Ek ? mc 2 ? m0c 2 动能,等于总能与静能之差,

1 1 1 1 2 2 2 E k ? m0 v , Ek ? mv , E k ? mc , E k ? m0 c 2 注意: 2 2 2 2 1 2 在低速极限情况下回到经典动能表示式:Ek ? m0v 42 2

爱因斯坦质能关系

E ? mc

2

揭示了物质的两个基本属性(质量和能量)之间 不可分割的联系和对应关系: 物质具有质量就必然同时具有能量; 质量(能量)发生变化则能量(质量)也会发生变化。

能量(质量)守恒定律 在孤立系统内:

相对论总能量守恒、相对论总质量守恒
2 2 E ? ( m c ) ? ( E ? m c ? i ? i ? ik i 0 ) ? 常量 i i i

也即:

?m
i

i

? const

不是静质量守恒!

处理高速粒子间相互作用问题的基本定律: 43 相对论能量(或质量)守恒定律、相对论动量守恒定律

(第26届第8题)真空中的光速为c,则光波 在折射率n=1.5的介质中传播速度为____c; 光子在该介质中的运动速率为_____c。

44

相对论的质量 m(v ) ?

m0 v2 1? 2 c

m0 ——质点的静止质量

m ——质点的运动质量
(相对论质量)

光子是很奇特的粒子,真空中的光速c是光子的唯一的 一种运动速度,否则它根本就不存在! 其根源就在于光子的静质量为0,这决定了它不能以任 何低于c的速度运动,否则其动质量就总是0; 0质量就意味着它不存在! 只当速度=c时,其动质量才能达到一个有限值; 所以光子进入介质后速度不会变小,依然为c! 之所以介质中光的传播速度变慢,不是由于光子本身的 速度变慢了,而是光子在介质中运动时,不断被介质粒 子发生碰撞——被原子吸收一小段时间后再释放出来, 45 使得总体上看介质中光的传播速度变慢了。

第22届第11题: 静质量为 2m0 的物块,从静止状态自发地 分裂成两个相同小物块,以一样的高速率v朝相反方向运动. 若与外界无能量交换,则每一小物块的质量为______; 每一小物块的静质量为______。 解:大物块分裂成小物块的过程动量守恒,质量守恒 设分裂后两小物块静质量为m0’,质量为m’,速率为v
? 2m 0 v 0 1? v c
2 0 2

?

? m0 ' v 1? v
2

?

? m0 ' ( ? v ) 1? v
2

?0

(? v0 ? 0)

满足动量守恒定律

c2

c2

由质量守恒定律: m'? m' ? 2m0 ? m' ? m0 小物块质量
? m0 ' ? m0 v2 1 ? 2 静质量 c
46

系统静质量减少! 系统质量守恒!

08年填空题12:惯性系S、S’间的相对运动关系如图, 相对速度大小为v。一块匀质平板开始时静止地放在S’ 系的x’y’平面上,S’系测得其质量面密度为σ0, S 系测得其质量面密度便为σ1=________σ0. 若 平板相对于S’系沿x’轴正方向以匀速度v运动, S 系测得其质量面密度则为σ2=______σ0.
解(1)设平板的静质量为m0,静止面积 为S0,则 m0 ?0 ?
S0

y S S' 0 0'

y'

因平板相对于S系以速度 v 沿x轴正 向运动,故S测得其面密度为:
m0 m ?1 ? ? S
2 2

v
x

x'

2 v 1? v / c ? (1 ? 2 )?1 ? 0 c 1 ? v 2 / c 2 S0

47

08年填空题12:惯性系S、S’间的相对运动关系如图, 相对
速度大小为v。一块匀质平板开始时静止地放在S’系的x’y’平面 上,S’系测得其质量面密度为σ0, S系测得其质量面密度便 为σ1=________σ0. 若平板相对于S’系沿x’轴正方向以 匀速度v运动,S系测得其质量面密度则为σ2=______σ0.
解(2)若平板相对于S’系以速度 v 沿x’轴正向运动, 而S’相对于S又以 v 沿X轴正向运动。

根据洛伦兹速度变换:ux ?

ux '? v v 1 ? 2 ux ' c

其中 ux ' ? v y S S' 0 0' x
48

得平板相对于S系的运动速度为:
2v v?v ? ux ? v v2 1? 2 v 1? 2 c c

y'

v
x'

由(1)的结果求出S系测得其面密度:

2 2 2 ux c ? v ? 2 ? (1 ? 2 )?1? 0 ? ( 2 2 )2 ? 0 c c ?v

11年28届填空题10:惯性系S、S’间的相对运动关系如图,
相对速度大小为v。S’系的O’-x’y’平面上有一根与x’轴平行的细 杆AB,杆长l 0,在S’系中沿y’方向匀速平动,速度大小也为v。 S系测得杆AB与x’轴夹角绝对值|θ|=____;杆长l=_______.
解:棒相对于S’系以速度 v 沿y’轴正向运动, 故S’中棒长分量 l x’? x2 ' ? x1 ' ? l0 l y’? y2 ' ? y1 ' y S’相对于S沿x轴正向运动,故S中棒长分量: S S'
l x ? x2 ? x1 ? 1-? 2 l0 l y ? y2 ? y1 ? l y '
v ? ? , x2,x1,y2,y1必须是同一时刻测得! c

v
y'

A
x

B

v
x'

0 0'

x2',x1',y2',y1'必然不是同一时刻测得!
根据洛伦兹变换: ? x ? ? ( ? x? ? v?t') 即:l x ? ? ( l x ' ? v?t')

lx ? ? lx ' ? l y ' ? v?t' ? ? ? 2 l0 ? l y ? ?t' ? ?v

49

如上求出S中棒长分量:
l x ? x2 ? x1 ? 1-? 2 l0

l y ? ? ? 2 l0

? tg? ?

ly lx

?

?? 2 1? ? 2

2 2 2 4 l ? l ? l ? 1 ? ? ? l0 S中棒长: x y

50

07年第24届竞赛中第17题:惯性系S中有两静止质量同为m0的粒 子A和B,他们的速度分别沿x,y方向,大小为0.6c和0.8c。某时刻 粒子A位于xy平面上的P处,粒子B也在xy平面上。 (1) ….. (2)…… (3)设A,B碰后粘连,且无任何能量耗散,试在S系中计算粘连体 的静止质量M0.
mA ? 解(3):S系中, 5 ? m0 2 4 uA 1? 2 c m0 mB ? m0
2 uB 1? 2 c

?

5 m0 3

设碰后粘连体的速度分量为Vx, Vy,
碰撞过程动量守恒,质量守恒: (切记是相对论动量和动质量守恒)

S

y A 0.6c P

0.8c
B
x

0 9 V ? c mAuA ? 0 ? MVx ( x方向)(1) 解得: x 35 16 V ? c y 0 ? mB uB ? MVy ( y方向)(2) 35 5 5 35 M ? m ? m ? m0 mA ? mB ? M (3) 0 0 4 3 12 2 V M 0 ? M 1 ? 2 ? 2.48m0 V 2 ? Vx2 ? V y2

51

第十七届第5题(P156)均匀物质静止时的体积为V0, 密度为?0,当它以匀速度v 运动时,体积为V=______, 密度为? ______ 。

解:由运动杆长收缩的公式知 V ? V0
m? m0 v 1? 2 c
2

?

? 0V0
v 1? 2 c
2

v2 1? 2 c

m ?? ? ? V

?0
v 1? 2 c
2

52

第二十届第12题(P184):飞船静止时体积为V0 ,平均密度 为?0,相对地面以v=(3/5)c高速飞行时,地面参考系测得它的动 能为Ek=______ ;平均密度为? =______ 。 解:飞船的静质量为 m0 ?

? 0V0
1 v 1? 2 c
2

3 ?v ? c 5

?? ?

?

1 3 ( c) 1? 52 c
2
2

5 ? 4

地面参考系测得它的动能为:

1 1 2 Ek ? mc ? m0c ? ?m0c ? m0c ? m0c ? ? 0V0c 2 4 4 m ? ?m0 地面参考系测得它的质量为: 1 地面参考系测得它的体积为: V ? V0
2 2 2

m 25 2 m0 ?? ? ?0 地面参考系测得它的平均密度为: ? ? V V0 16

?

例题 观察者甲以(4c/5)的速度相对于静止的观察者乙运动, 若甲携带一长度为L,截面积为S,质量为m的棒,这根棒安放在 运动方向上,则甲测得此棒的密度为_____,乙测得此棒的密度 为______。

解:棒相对于甲静止,故甲测得其密度 m ?甲 ? LS
棒相对于乙运动,故乙测得的棒长、质量及密度分别为

3 L' ? L 1 ? ?0.8? ? 0.6 L ? L 5
2

m' ?

m
2 ? ? 1 ? 0.8

5 ? m 3

m' 25m 故 ?乙 ? ? L' S 9 LS

54

机械波多普勒频移普遍公式
*若波源S和接收器S’相对于媒质的运动速度分别为:
? ? u和u'
u 波源的频率是f, 则接收频率为: α v ? u' cos ? · f '? f 波源 S v ? u cos ?
u’ 接收器S’

·

β

机械波只有纵向多普勒效应而无横向多普勒效应。
当?,? 即: ?

?
2

时,f ' ? f

特别注意: 机械波的多普勒效应与电磁波的 多普勒效应规律不同!
55

八.光的多普勒效应
光波传播不需介质, 与声波完全不同; 由光速不变原理,无论是光源向接收器 运动,还是接收器向光源运动,对接收 器来说光速都是c。
1? ? 2 接收频率为: ? ? v0 (1 ? ? cos ? )

uS 光源 θ 接收器

uS---光源相对于接收器的运动速度;光源频率 ? 0
uS ?? c
1? ? v0 1? ?
1? ? v0 1? ?

光源向着接收器运动? ? ? 0 ? v ? 光源背离接收器运动? ? ? ? ?
v?

?频率增加 ?频率减少
2 ? v ? 1 ? ? 2 v0
56

光源或接收器在二者联线垂直方向上运动? ? ? ?

注:机械波声波等无横向多普勒效应,而光波有。

P63第六届第9题:三个惯性系S、S’、S’’,其中S’、S’’ 系以相同的速率u相对S沿相反方向运动,在S系中观察 一与S’系同方向运动的光子,测得其频率为ν,而在S’ 和S’’系中观察,测得其频率分别为ν’和ν’’。根据相对 论原理,以下结论中正确的是:

(a) 'v

? ? ?''?

(b) 'v > ?? ''? (c) 'v < ?? ''? (d) 'v > , ? ' ? '' ??
57

一遥远的河外星系以很高的速率离地球退行而去,其光 例题:

谱线发生红移,与固有频率v0相对应的波长为?0= 434nm谱线,
地面上观测记录的该谱线的波长? =600nm.

试求此河外星系的退行速率u。
解: 由多普勒效应的频移公式(远离??↓, ?↑): 退行速率u
c c 1? ? ? ? , ? ? v? v0 ? 0 ? ?0 1? ?

河外星系 地球

1? ? 1? u/ c ?? ?0 ? ?0 1? ? 1? u/ c

代入数据求得: u=0.31c≈0.93×108m/s
58


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