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2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形课件 理


第6讲
考试要求

正弦定理、余弦定理及解三角形
1.正弦定理、余弦定理,简单的三角形度量问题,

B级要求;2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关

的实际问题,B级要求.

知识梳理
1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c , R 为 △ABC外接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理

b 2 b2+c2-2bccos A ; a a = sin B = 2+a2-2cacos B 2 sin A c c b = ; 公式 = sin C =2R c2= c2+a2-2cacos B

常 见 变 形

2 2 2 b + c - a (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C; 2bc ; cos A= b a c 2 R c2+a2-b2 (2)sin A=2R,sin B= ,sin C=2R; 2ac cos B= ; (3)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ; a2+b2-c2 2ab (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B, cos C=

asin C=csin A

1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+ 2 2 2 4R 2 c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.

3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线

在水平视线 上方 叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫俯角
(如图1).

(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).

(3) 方向角:正北或正南方向线与目标方向线所
成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中,A>B 必有 sin A>sin B.( √ ) (3)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形 是钝角三角形.( √ )
? π? (4)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为?0,2?.( × ? ?

)

(5)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与 目标点之间的位置关系.( √ )

2.(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 3 若 a=2,c=2 3,cos A= 2 ,且 b<c,则 b=________.

解析 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,

得b2-6b+8=0,
解得b=2或b=4,∵b<c=2 3 ,∴b=2. 答案 2

3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的
方向直线航行,30 分钟后到达 B处,在 C处有一座灯塔,海轮 在A处观察灯塔,其方向是南偏东 70 °,在B 处观察灯塔,其 方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是________海里.
解析 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB= BC AB 30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得 = ,解得 sin 30° sin 45° BC=10 2(海里).

答案 10 2

4.(2016· 淮安质检)已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别 π 为 a,b,c,若 A= 3 ,b=2acos B,c=1,则△ABC 的面积等 于________.

解析 由正弦定理得 sin B=2sin A· cos B,故 tan B=2sin A= π π π 2sin 3 = 3, 又 B∈(0, π), 所以 B= 3 , 又 A= 3 , 所以△ABC 1 1 3 3 是正三角形,所以 S△ABC=2bcsin A=2×1×1× 2 = 4 .
答案 3 4

5.(苏教版必修5P10T4(2)改编)在△ABC中,acos A=bcos B,则 这个三角形的形状为________.

解析 由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= 2 , 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形

考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若 a=2 3,b= 6,A=45°,则 c=________. (2)若(a+b+c)(a-b+c)=ac,则 B=________.

解析

(1)法一

bsin A 在△ABC 中,由正弦定理得 sin B= a =

2 6× 2 1 =2,因为 b<a,所以 B<A,所以 B=30°,C=180° 2 3 -A-B=105°,sin C=sin 105°=sin(45°+60°)= 6+ 2 sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°= . 4

6+ 2 2 3× 4 asin C 故 c= sin A = = 3+3. 2 2 法二 在△ABC 中,根据余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A, 即 c2-2 3c-6=0,所以 c= 3±3.因为 c>0,所以 c= 3+3. (2)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理的推论得 cos B= =- , 2ac 2 2π 所以 B= 3 . 2π 答案 (1)3+ 3 (2) 3

规律方法

(1) 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边

的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦 或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显

时,则要考虑两个定理都有可能用到 .(2)三角形解的个数的
判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一 的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

【训练 1】 (1)(2016· 南昌模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对 3 的边分别是 a,b,c,若 c=1,B=45°,cos A= ,则 b 5 等于________.

(2)(2016· 常州调研)在△ABC 中, AC= 7, BC=2, B=60°, 则 BC 边上的高等于________.
3 4 解析 (1)∵cos A=5,0<A<π,∴sin A=5,又 B=45°, ∴sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B) 7 2 b c =sin Acos B+cos Asin B= 10 ,由正弦定理得sin B=sin C, 1 5 b 即 = ,∴b=7. sin 45° 7 2 10

(2)由余弦定理得 AC2=BC2+AB2-2AB· BCcos B,即( 7)2=22 +AB2-2×2AB· cos 60°,即 AB2-2AB-3=0,得 AB=3,故 3 3 BC 边上的高是 ABsin 60°= 2 .

5 3 3 答案 (1)7 (2) 2

考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 【例2】 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且

2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.
解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∵0°<A<180°,∴A=60°.

(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°. 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120°-B)= 3, ∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30°)=1. ∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°.∴B+30°=90°, B=60°.∴A=B=C=60°,△ABC 为等边三角形.

规律方法

(1) 三角形的形状按边分类主要有:等腰三角形,

等边三角形等;按角分类主要有:直角三角形,锐角三角

形,钝角三角形等.判断三角形的形状,应围绕三角形的边
角关系进行思考,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、 直角三角形、钝角三角形或锐角三角形. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.

【训练2】 (2015· 扬州一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,

B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解 (1)由已知,根据正弦定理得

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 2π 1 故 cos A=-2,又 0<A<π ,所以 A= 3 .

(2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C= . 2 π π π 因为 0<B<2,0<C< 2 ,故 B=C= 6 , 所以△ABC 是等腰钝角三角形.

考点三 和三角形面积有关的问题 【例3】 (2015· 全国Ⅰ卷) 已知 a,b ,c 分别为△ABC内角A, B,

C的对边,sin2B=2sin Asin C.
(1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积.
解 (1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. a2+c2-b2 1 由余弦定理可得 cos B= =4. 2ac (2)由(1)知 b2=2ac.因为 B=90°,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 2. 1 所以△ABC 的面积为2× 2× 2=1.

规律方法 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S=2absin C=2acsin B=2bcsin A,一般是 已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进 行边和角的转化.

【训练 3】 (2015· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分 1 别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-4. (1)求 a 和 sin C 的值; ? π? ? (2)求 cos?2A+ ? 的值. ? 6? ?

1 15 解 (1)在△ABC 中,由 cos A=-4,可得 sin A= 4 . 1 由 S△ABC=2bcsin A=3 15,

得 bc=24,又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a2=b2+c2-2bccos A,可得 a=8. 15 a c 由sin A=sin C,得 sin C= 8 .
? π ? (2)cos?2A+ 6 ?

π π 2A·cos 6 -sin 2A·sin 6 15-7 3 3 1 2 = (2cos A-1)- ×2sin A·cos A= . 2 2 16

? ? ?=cos ?

考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用

【例 4】 如图, 在海岸 A 处, 发现北偏东 45°方向距 A 为( 3- 1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私 船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方 向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需 要的时间(注: 6≈2.449).



设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)

走私船,则有 CD=10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中,∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里,∠BAC=45° +75°=120°,根据余弦定理,可得 BC= ( 3-1)2+22-2×2×( 3-1)cos 120°= 6(海里).

根据正弦定理,可得 3 ACsin 120° 2× 2 2 sin∠ABC= = =2. BC 6 ∴∠ABC=45°,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD 中,根据正弦定理,可得 BDsin∠CBD 10t·sin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30°,∠BDC=30°,∴BD=BC= 6(海里), 6 则有 10t= 6,t= 10 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 故缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

规律方法

解三角形应用题的两种情形: (1) 实际问题经抽

象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可 用正弦定理或余弦定理求解; (2) 实际问题经抽象概括后, 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需 作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其 他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程 (组),解方程(组)得出所要求的解.

【训练4】 (2015· 湖北卷) 如图,一辆汽车在一条水平的公路上

向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的
方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北 75°的 方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

解析

在△ABC 中, AB=600, ∠BAC=30°, ∠ACB=75°-30° 600 BC AB BC =45°, 由正弦定理得 = , 即 = , sin∠BAC sin∠ACB sin 30° sin 45° 所以 BC=300 2.在 Rt△BCD 中, ∠CBD=30°, CD=BCtan∠CBD =300 2·tan 30°=100 6(m).

答案

100 6

[思想方法]
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工 具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系.一般地, 利用公式 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径),可将边转化为角的三角函数关系,然后 利用三角函数知识进行化简,其中往往用到三角形内角和定理 A b2+c2-a2 a2+c2-b2 +B+C=π .利用公式 cos A= 2bc ,cos B= 2ac , a2+b2-c2 cos C= 2ab , 可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系, 然后充分利用代数知识求边.

[易错防范] 1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角

形有时出现一解、两解,所以要进行分类讨论 ( 此类类型也可
利用余弦定理求解). 2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角 的范围的限制. 3.解三角形实际问题时注意各个角的含义,根据这些角把需要的

三角形的内角表示出来 . 而容易出现的错误是把角的含义弄错,
把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.


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