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分段函数教案


分段函数

教案

预习提纲
阅读课本 P21 的例 5、例 6,回答下列问题: 1、什么是分段函数?它与一般函数有何区别? 2、如何画分段函数的图像? 3、什么是映射?映射与函数有什么区别和联系?

学科:数学 教师姓名:刘思焱 检查审批意见:________检查人:___________ 授课年级 高一 授课班级 高一(6)班 授课时间 2012 年 9 月 12 日 ,星期 三 ,第 三 节 课题 1.2-3 函数的表示------分段函数
(1)能根据不同情境,了解分段函数的含义。

教学设计
(一)导入新课:

过程与方法

知识与 技能

(2)了解简单的分段函数(函数分段不超过三段),并能运用分段函数求函数 值的问题。 (3)能作出分段函数的图像,利用它解决生活中的简单应用问题.

思考 1:当 x>1 时,f(x)=x+1;当 x≤1 时,f(x)=-x,请写出函数 f(x)的解析式.这个函数的解析 式有什么特点? 思考 2:化简函数 y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点?----这样的函数叫做分段函数? 新知探究(一) :
提出问题 1:

教 学 目 标

过程与 方法

(1) 经历在分析、 思考的基础上, 让学生通过观察、 感悟分段函数的意义过程, 分清函数与分段函数的区别与联系; (2)通过例题的探究,培养学生勤于动脑,乐于探究,主动参与学习的意识, 体会数形结合思想在数学学习中的重要性. (3)经过训练题和课堂练习,加深对分段函数的概念、图像的认识,应用,提 高分析、解决问题的能力.

①函数 h(x)= ?

?1 , ( x ? 0)

? -x ? 1 , ( x ? 0)

与 f(x)=x-1,g(x)=x2 在解析式上有什么区别?

情感态 度价值 观

②请举出几个分段函数的例子. 【学生讨论交流函数解析式的区别,所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对 应法则的函数并让学生结合体会来实际举例】. 讨论结果:①函数 h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函 数,不要把它误认为是几个函数;②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并 集;③生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. ②例如:y=
0, x ? 0, 1, x ? 0

学习过程中进一步体会发现规律,应用规律的学习乐趣,从而提高学习数学 的兴趣,提高学生的求知欲、感悟数学的美。

等.

知识点 方面

1、分段函数的含义的认识 2、会作分段函数的图像. 3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题.

知识探究(二) : 【例 1】画出函数 y=|x|的图象. 问题 2:思考函数图象的画法?①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根 据绝对值的概念来化简解析式.

教 学 重 点

方法技 能方面

指导启发式学习法,通过自我尝试与实践,获得知识,形成技能,通过老 师的合理恰当的指导启发,克服学习障碍;学会突破难点,调整和寻找最佳解 题方案.

解法一:由绝对值的概念,我们有 y= ?

? x, x ? 0, ? - x, x ? 0.

所以,函数 y=|x|的图象如图 1-2-2-10 所示. 图 1-2-1 解法二:画函数 y=x 的图象,将其位于 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方,与函数 y=x 的图象位于 x 轴上方的部分合起来得函数 y=|x|的图象如图 1-2-2-10 所示. 像例 1 这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内, 对于自变量 x 的值的不同取值区间, 有着不同的对应法则,这样的函数通常叫分段函数. 生活中,有很多可以用分段函数描述的实际 问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.

教 学 难 点

1、分段函数与一般函数的区别与联系。 2、如何作分段函数的图像(步骤、方法及技能) 。 3、分段函数的实际应用。

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【变式训练】已知函数

? x ? 4, ? y= ? x 2 ? 2 x , ?? x ? 2, ?

x ? 0, 0 ? x ? 4, x ? 4.

巩固与练习:温故知新
练习 1、下图中可作为函数 y = f (x)的图象是( D )

(1)求 f{f[f(5)]}的值; (2)画出函数的图象. 分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求 f{f f(5)] [ },需要确定 f f(5)] [ 的取值范围,为此又需确定 f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.
练习 2、函数 y
? x? |x| x

的图象为下图中的( C )

画出函数在各段上的图象, 再合起来就是分段函数的图象.
解:(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f[f(5)]=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4,∴f{f[f(5)]}=f(1)=12-2× 1=-1,即 f{f[f(5)]}=-1. (2)图象如图 1-2-2 所示:

图 1-2-1

练习 3、 已知 y = f (x)的图象如右图所示,求 f (x). 【解析】
? x ? 1, f ( x) ? ? ? ? x, ( x ? 0 ), (0 ? x ? 1).

例 2、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算). 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数 的图象.
解:设票价为 y,里程为 x,由题意可知,自变量 x 的取值范围是(0, 20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则,

课 堂 小 结

1、分段函数:即在函数的定义域内,对于自变量 x 的值的不同取值区间,有着不同的 对应法则,这样的函数通常叫分段函数. 2、作分段函数的图像的步骤和方法: (1)化简函数解析式。 (2)写出分段函数解析式。 (3)作分段函数的图像:在不同的定义域内作出相应的函数图像。 3、分段函数与一般函数的区别与联系: ①函数 h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函 数,不要把它误认为是几个函数;②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值 域的并集; 一般函数的图像是不间断的(连续的) ,而分段函数的图像可能连续,也可能间断。

可得到以下函数解析式:

? 2, 0 ? x ? 5, ? ? 3, 5 ? x ? 1 0 , y ? ? ? 4, 1 0 ? x ? 1 5, ? 5, 1 5 ? x ? 2 0 . ?

根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图.

【总结】本题考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用 分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考 虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式. 注意:①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; ②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.

板 书 设 计 教 学 反 思

(一)问题引入: (二)分段函数的含义的探究. (三)分段函数的图像及应用: 例 1、 变式练习 例 2、分段函数的实际应用: 【知识归纳总结】

(四)课堂练习: (1)(2)(3) 、 、 (五)课堂小结:1) 2) 3)



本节教学设计容量较大,特别是例题条件有图,建议使用信息技术来完成.本节重点设计 了分段函数,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层 次,因此教学中应予以重视

课后检查意见:
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检查人:


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