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2013年福建省厦门双十中学普通高中毕业班质量检查理科数学4月


2013 年福建省普通高中毕业班质量检查









第 I 卷(选择题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分)

共 50 分)

1.已知复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是 A. z ? ? 1 ? i
2

B. z ? ? 1 ? i

C. | z |? 2

D. | z | ?

2

2.已知向量 a ? ( m , 4 ) , b ? (1,1) ,则“ m ? ? 2 ”是“ a // b ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 必要条件 3.函数 f ( x ) ? log
cos x ( ?

) D.既不充分也不

C.充要条件

?
2

1 2

? x ?

?
2

) 的图像大致是





4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2.则输出的 x 的值为 A. 3 B. 126 C. 127 D.128 5. 设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A.若 m // n , m ? ? 则 n ? ? C. 若 m // ? , m // ? 则 ? // ? B. 若 m // n , m // ? 则 n // ? D. 若 n ? ? , n ? ? 则 ? ? ?

6.已知函数 f ( x ) ? 2 sin A. ?
?
6
2

2

x ? 2 3 sin x cos x ? 1 的图像关于点 (? , 0 ) 对称,则 ? 的值可以是

B.

?
6

C. ?

?
12

D.

?
12

PA 7.设抛物线 y ? 6 x 的焦点为 F, 准线为 l , 为抛物线上一点, ? l , P 垂足为 A, 如果 ? APF

为正三角形,那么 | PF | 等于 A. 4 3 B. 6 3 C.6 D. 12
3 2

8. 在 矩 形 ABCD 中 , AB=1 , AD=
AP ? ? AB ? ? AD ( ? , ? ? R ) ,则 ? ?
3 2

3 ,P 为 矩 形 内 一 点 , 且 AP=

,若

3 ? 的最大值为

A.

B.

6 2

C.

3? 4

3

D.

6 ?3 2 4

? x 2 ? kx , x ? 0 ? 9.若函数 f ( x ) ? ? x ? 1 有且只有 2 个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 ? ln x ,x ? 0 ?

A. ( ? 4 , 0 )

B. ( ?? , 0 ]

C. ( ? 4 , 0 ]

D.

( ?? , 0 )

10.设数集 S ? { a , b , c , d } 满足下列两个条件: (1) ? x , y ? S , xy ? S ;(2) ? x , y , z ? S ,若 x ? y ,则 xz ? yz 现给出如下论断: ①a,b,c,d 中必有一个为 0; ②a,b,c,d 中必有一个为 1; ③若 x ? S 且 xy ? 1 , 则y?S ④存在不相等的 x , y , z ? S ,使得 x ? y , y ? z 。其中正确论断的个数是
2 2

A. 1 B. 2 C. 3

D.4

第 II 卷(非选择题
11. ( x ? 2 ) 展开式中含 x 项的系数等于_______
4
2

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分

?3 x ? y ? 1 ? 0, ? 12.若变量 x , y 满足条件 ? 3 x ? y ? 11 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为________ ? y ? 2, ?

13.已知直线 l : y ? ? 3 ( x ? 1) 与圆 O : x ? y ? 1 在第一象限内交于 M 点, l 与 y 轴交于 且
2 2

点 A,则 ? MOA 的面积等于_________ 14.如图, A1 , A 2 , ? , A m ? 1 ( m ? 2 ) 将区间[0,1] m 等分,直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 和曲线
y ? e 所围成的区域为 ? 1 ,图中 m 个矩形构成的阴影区域为 ? 2 ,在 ? 1 中任取一点,则该
x

点取自 ? 2 的概率等于______ 15.定义两个实数间的一种新运算‘*’ x * y ? lg( 10 ? 10 ), x , y ? R 。当 x * x ? y 时,记 :
x y

x ?*

y 。对于任意实数 a,b,c,给出如下结论:
a*b ? a?b 2

① ( a * b ) * c ? a * (b * c ) ② ( a * b ) ? c ? ( a ? c ) * (b ? c ) ③ a * b ? b * a ④ *

其中正确的结论是__________________.(填写所以正确结论的序号)
三、解答题:本小题共 6 小题,共 80 分 16.(本小题 13 分)某几何体 ABC ? A1 B 1 C 1 的三视图和直观图如图所示。 (I)求证: A1 C ? 平面 AB 1 C 1 ;(II)求二面角 C 1 ? AB 1 ? C 的余弦值

17. (本小题 13 分)国 IV 标准规定:轻型汽车的氮氧化物排放量不等超过 80mg/km。根据 这个标准,检测单位从某出租车公司运营的 A、B 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆,对其 氮氧化物的排放量进行检测,检测结果记录如下(单位:mg/km)

由于表格被污损,数据 x,y 看不清,统计员只记得 A、B两种出租车的氮氧化物排放量的 平均值相等,方差也相等。 (I)求表格中 x,y 的值 (II)从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车任取 2 辆,记“氮氧化物排放量超过 80mg/km”的车辆 数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望

18.(本小题 13 分)如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至A处,此时测得 其东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛位于海监船正东 14
2 海里处。

(I)求此时该外国船只与 D 岛的距离 (II)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方向航行,为了将该船拦截在 离 D 岛 12 海里处, 不让其进入 D 岛 12 海里内的海域, 是确定海监船的航向, 并求其速度的最小值。 (参考数据: sin 36 52 ? 0 . 6 , sin 53 08 ? 0 . 8 )
0 ' 0 '

19.(本小题 13 分)如图 1,椭圆 E :
3 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,左右

顶点分别为 A1 , A 2 , T (1, ) 为椭圆上一点,且 TF 2 垂直于 x 轴。 (I)求椭圆 E 的方程

(II)给出命题: “已知 P 是椭圆 E 上异于 A1 , A 2 的一点,直线 A1 P , A 2 P 分别交直线
l : x ? t ( t 为常数 ) 于不同两点 M,N,点 Q 在直线 l 上,若直线 PQ 与椭圆 E 有且只有一个

公共点,则 Q 为线段 MN 的中点” ,写出此命题的逆命题,判断你所写的命题的真假,并加 以证明 (III)试研究(II)的结论,根据你的研究心得,在图 2 中作出与该双曲线有且只有一个公共点S 的直线 m,并写出作图步骤。 (注意:所作直线不能与双曲线的渐近线平行)

20.(本小题 14 分)已知函数 f ( x ) ? (I)求 a,b 的值及 f ( x ) 的单调区间; (II)是否存在平行于直线 y ?
1 2

ax

2

2x ? b

的图像在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程为 y=2

x 且与曲线 y ? f ( x ) 没有公共点的直线,证明你的结论

(III)设数列 { a n } 满足 a 1 ? ? ( ? ? 1) , a n ? 1 ? f ( a n ) ,若 { a n } 是单调数列,求实数 ? 的取值范 围。

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。
? ,向量 ? ? ? ? , (1)(本小题满分 7 分)矩阵 M ? ? ? ? ? ? ?2 ?1? ?5? ?4 ? 3? ?7?

(I)求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量

(II)求 M ?
3

(2)如图,在极坐标系中圆 C 的圆心坐标为(1,0) ,半径为 1. (I)求圆 C 的极坐标方程;(II)若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。
? ? x ? ? 1 ? t cos ? ? 6 已知直线 l 的参数方程为 ? ? y ? t sin ? ? 6 ?

(t 为参数),试判断直线 l 与圆C的位置关系

(3)已知函数 f ( x ) ? 2 x ?

5 ? x 。(I)求证: f ( x ) ? 5 ,并说明等号成立的条件

(II)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? | m ? 2 | 恒成立,求实数 m 的取值范围


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