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【数学】2.2.2 双曲线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)


第二章

圆锥曲线与方程

2.2.2

双曲线的简单几何性质

标 准 方 程
范 围

复习 椭圆的图像与性质
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,

Y轴, 原点对称

对称性

顶点 焦 点
对称轴 离心率 准 线

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
e ? c a

A1

F1

o

A2

F2

X

a2 x?? c

a2 x?? c

B1

a2 x? c

上述性质其研究方法各是什么?





双曲线的标准方程

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F2 (c,0)) (焦点在x轴上,(
形式二:y 2
x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F1 0,-c)、( F2 0,c)) (焦点在y轴上,(
其中 a ? b ? c
2 2 2

焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

B2

F1

A1

A2

F2

X

B1

课堂新授

一、研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m ( m ? 0)
2 2

-b B 1

4、渐近线
2 2

双曲线在第一象限内部 (1 ) 双曲线 x ? y ? 1(分的方程为 a ? 0, b ? 0) 2 2 a b b 2 2 y? x ? a ( x ? 0) b a 的渐近线为y ? ? a x b 它与 x的位置关系 2 : 2 ( 2)y ?等轴双曲线 x ?y ?m a A1 b ( m ? 0 ) 的渐近线为 在y ? x的下方 a
b 它与y ? x的位置的变化趋势 : a (3) 利用渐近线可以较准确的 慢慢靠近 画出双曲线的草图

y b

N(x,y’) Q M(x,y)

B2

y ? ?x

o

A2
a x

B1

b y?? x a

b y? x a

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ?1 ? e2 ?1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大 , 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

(4)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e ? a

c ? a ?b
2 2

2

y

在a、b、c、e四个参数中,知二可求 二
2 2

B2

c ?b ?a
x

2

几何意义

A1

c
0
B1

b

a

A2

焦点在x轴上的双曲线的几何性质复习
x2 y2 双曲线标准方程:a 2 ? b 2 ? 1

双曲线性质: 1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性:

Y
B2

关于x轴,y轴,原点对称 A 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0) 4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2
x y 5、渐近线方程: ? ? 0 a b

X
A2

1

B1

6、离心率: c e=

a

焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2 A2
y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

B1

O
A1 F1

B2

X

焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线性质: 1、 范围:y≥a或y≤-a 2、对称性:
y2 x2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b
Y
F2 B2

关于x轴,y轴,原点对称。 A 3、顶点 B1(0,-a)B2(0,a) 4、轴:实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
1

A2

X

o
B1

x y 5、渐近线方程: ? a b

?0

e=c/a 6、离心率: 如何记忆双曲线的渐进线方程?

F2

小 双 曲 线
2 2

结 性 质 图象
y
o

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b

例题讲解
例1 :求双曲线 9y2?16x2?144 的实半轴长,虚半轴长,

焦点坐标,离心率.渐近线方程。 y 2 ? x2 ? 1 解:把方程化为标准方程 4 2 32 可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c= 42?32?5 焦点坐标是(0,-5),(0,5) c?5 ? e 离心率: a 4 4 渐近线方程: y ? ? x 3



结 椭 圆 双曲线
x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 2 a b

方程 abc 关系 图象

2 x2 ? y ? 1 2 ( a> b >0) 2 a b

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)
Y p F2 X

F1

0

F2

X

F1

0

范围 对称性

|x|?a,|y|≤b
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b c e= a
( 0< e < 1 )

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b
c (e?1) e= a

顶点

离心率
渐近线 准线


a2 x?? c

y=±

b x a

a2 x?? c

例题讲解
例2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一 部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高 55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程 (精确到1m). 解:如图,建立直角坐标系 xOy,使圆的直径AA′在x轴 上,圆心与原点重合.这时 上、下口的直径CC′、BB′ 平行于x轴,且 |CC′| =13×2 (m), |BB′| =25×2 (m).

x2 y2 设双曲线的方程为 a 2 ? b 2 ? 1 (a>0,b>0)
? 252 ( y ? 55) 2 ? ?1 ? 2 2 ?12 b ? 2 2 13 y ? ? 2 ?1 2 ? b ?12

令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为 (25,y-55).因为点B、C在双曲线上,所以
(1) (2)

由方程(2)得

5 y ? b 12

(负值舍去).

代入方程(1)得

5b 2 ( ? 55 ) 252 12 ? ? 1, 2 2 12 b

化简得 19b2+275b-18150=0 (3) 解方程(3)得 b≈25 (m). 2 2 x y 所以所求双曲线方程为: ? ? 1.
144 625

课堂小结

双 曲 线

性 质 图象
y
o

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y x ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)
2 2

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b


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