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2015年湖南长沙长郡中学初一数学竞赛试题


2015 年湖南长沙长郡中学初一数学竞赛试题 2015 年 5 月 24 日
考试时量:60 分钟 满分:100 分 一、选择题: (每个题目只有一个正确答案,每题 5 分,共 30 分) 1、若不等式组 ? A. m>3

?x ? 8 ? 4 x ? 1 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是 ( x ? m ?
B.m≥3

C.m≤3

) D.m<3 ) –1 或 2

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2、用去分母方法解分式方程 A.–1 或–2 3、 已知 a ? ( ) A. c ? b ? a B.

2x m ?1 x ?1 ? 2 ? ,产生增根,则 m 的值为( x ?1 x ? x x
1 或–2 C.1 或 2 D.
1

性别

3 5

?

1 3

,b ? ( )2 ,c ? ( ) B.

5 3

4 3

?

1 2

,则 a,b,c 三个数的大小关系是 C. a ? b ? c D. b ? a ? c ) D. 4

c?a?b

4、点 P 是直线 x ? y ? 4 ? 0 上一动点,O 为原点,则|OP|的最小值为( A. 姓名 2 B.

2

C. 2 2

5、已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 交于 O,△AOD 的面积为 4,△BOC 的面积为 9, 则梯形 ABCD 的面积为( ) (A)25 (B)24 (C)22 (D)26 6、矩形纸片 ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使 A 与 C 重合,设折痕为 EF,则重叠部分△ AEF 的面积等于( ) . (A)

73 8

( B)

75 8

(C )

73 16

( D)

75 16

二.填空题:(每题 6 分,共 36 分) 7、已知 x ?

1 1 ? 4, 则x ? ? _________ x x

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8、方程 x ?

4 3x 的解为 ? x x

9、在△ABC 中,AB=10,AC=26,BC=10,设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为 R. 则 R 的最小值是 .
2 2 10、若 ?、? 是方程 x ? 3x ? 5 ? 0 的两个实数根,则 ? ? 2? ? 3? 的值=
2

11、分解因式: (x ? 3x ? 3)(x ? 3x ? 4) ? 8 =
2 2

12、已知 x 为实数,则分式

3x 2 ? 6 x ? 5 的最小值为 1 2 x ? x ?1 2

三、解答题(本大题共 3 题,13 题 10 分,14,15 每题 12 分,共 34 分) 13、如图:已知△ABC,E 为 AB 的中点,D 为 AE 的中点,且 AE=AC, 求证:BC=2CD A D E

C B

14、“六一”前夕,某玩具经销商用去 2350 元购进 A、B、C 三种新型的电动玩具共 50 套,并且购进的三 种玩具都不少于 10 套,设购进 A 种玩具 x 套,B 种玩具 y 套,三种电动玩具的进价和售价如表中所示: ⑴用含 x 、 y 的代数式表示购进 C 种玩具的套数; 型 ⑵求 y 与 x 之间的函数关系式; 号 A 40 50 B 55 80 B 50 65

进价(元/套) 售价(元/套)

⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用 200 元。 ①求出利润 P(元)与 x (套)之间的函数关系式;②求出利润的最大值,并写出此时三种玩具各多少套。

15、如图:抛物线经过 A(-3,0) 、B(0,4) 、C(4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式. (2)已知 AD = AB(D 在线段 AC 上) ,有一动点 P 从点 A 出发,沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度 移动;同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动,经过 t 秒的移动,线段 PQ 被 BD 垂直平 分,求 t 的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点 M,使 MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 (注:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴为 x ? ?

b ) 2a

第 19 题图

参考答案及评分标准: 一.选择题: (每题 5 分,共 32 分) 1-6:CBB,CAD 二.填空题: (每题 4 分,共 32 分) 7. 11. ±2 3 8. x=4(多一个答案-1 的算错) 12. 4 D E C F A 9. 13 10. 24

( x ? 1)(x ? 4)(x 2 ? 3x ? 5)

三、解答题: (每题 12 分,共 36 分) 13、证明:设 BC 的中点为 F,连接 EF,易知:AC=2EF=AE=2DE 则 EF=DE,又 EF∥AC,则∠FEC=∠ACE=∠AEC,又 EC=EC B

则△EDC≌△EFC(SAS),则 FC=DC=

1 BC ,即 BC=2CD 2
(2 分) 整理得 y ? 2 x ? 30 ……(5 分)

14、 (1)购进 C 种玩具套数为:50-x-y

(2)由题意得 40 x ? 55 y ? 50(50 ? x ? y) ? 2350 (3)

① p ? (50 ? 40) x ? (80 ? 55) y ? (65 ? 50)(50 ? x ? y) ? 200 整理得: p ? 15 x ? 250 ……7 分

② 购进 C 种电动玩具的套数为: 50 ? x ? y ? 50 ? x ? (2 x ? 30) ? 80 ? 3x

? x ? 10 70 ? 据题意列不等式组 ? 2 x ? 30 ? 10 ,解得 20 ? x ? 3 ?80 ? 3 x ? 10 ?
∴x 的范围为 20 ? x ?

……9 分

70 ,且 x 为整数 3

x 的最大值是 10

∵在 p ? 15 x ? 250 中, k ? 15 >0

∴P 随 x 的增大而增大

∴当 x 取最大值 23 时,P 有最大值,最大值为 595 元.……11 分 此时购进 A、B、C 种玩具分别为 23 套、16 套、11 套.……(12 分)

15、 (1)设抛物线的解析式为 y = a (x +3 )(x - 4), 因为 B(0,4)在抛物线上, 所以 4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得 a= ?

1 3 1 2 1 x ? x?4 3 3
3分

所以抛物线解析式为 y ? ? ( x ? 3)( x ? 4) ? ?

1 3

(2)连接 DQ,在 Rt△AOB 中, AB ? AO 2 ? BO 2 ? 32 ? 42 ? 5 所以 AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ,则 PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为 AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以 DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB

DQ 2 10 ? , DQ ? 5 7 7 10 25 25 25 ?1 ? 所以 AP=AD – DP = AD – DQ=5 – = ,t ? 7 7 7 7 25 所以 t 的值是 7 b 1 ? (3)因为抛物线的对称轴为 x ? ? 2a 2 1 所以 A(- 3,0) ,C(4,0)两点关于直线 x ? 对称 2
即 连接 AQ 交直线 x ?

DQ CD ? AB CA

第 19 题图

1 于点 M,则 MQ+MC 的值最小 2 QE DQ DE ? ? BO AB AO

过点 Q 作 QE⊥x 轴于 E,所以∠QED=∠BOA=90° DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO 则:

10 QE DE 即 ? 7 ? 4 5 3 8 6 6 20 20 8 所以 QE= ,DE= ,所以 OE = OD + DE=2+ = ,所以 Q( , ) 7 7 7 7 7 7 设直线 AQ 的解析式为 y ? kx ? m (k ? 0) 8 ? 8 k? ? 20 ? ? ? k ?m? 41 则? 7 7 由此得 ? ? m ? 24 ? ??3k ? m ? 0 ? ? 41 1 ? x? ? 8 24 ? 2 x? 所以直线 AQ 的解析式为 y ? 联立 ? 41 41 ? y ? 8 x ? 24 ? ? 41 41 1 ? x? ? 1 28 ? 2 ) 由此得 ? 所以 M ( , 2 41 ? y ? 8 x ? 24 ? ? 41 41 1 28 ) ,使 MQ+MC 的值最小。 则:在对称轴上存在点 M ( , 2 41


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