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2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第5课时 Word版含解析]


一、选择题 1.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( 1 A.0,2 B.0, 2 1 1 C.0,- D.2,- 2 2

)

1 解析:选 C.∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),∴零点为 0 和- . 2 2.(2012· 高考湖北卷)函数 f(x)

=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 D.借助余弦函数的图象求解.f(x)=xcos2x=0?x=0 或 cos2x=0,又 cos2x= π 3π 5π 7π 0 在[0,2π]上有 , , , ,共 4 个根,故原函数有 5 个零点. 4 4 4 4 3.函数 y=f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一个实 根 0,则 f(-1)· f(1)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.无法确定 解析:选 D.由题意,知 f(x)在(-1,1)上有零点 0,该零点可能是变号零点,也可能是不 变号零点,∴f(-1)· f(1)符号不确定,如 f(x)=x2,f(x)=x. 4.(2011· 高考课标全国卷)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 ( ) 1 ? 1? A.? B.? ?-4,0? ?0,4? 1 1? 1 3? C.? D.? ?4,2? ?2,4? 解析:选 C.∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0. ∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数. 1? 1 0 ∵f? ?-4?=e-4-4<0,f(0)=e +4×0-3=-2<0, 1? 1 ?1? 1 f? ?4?=e4-2<0,f?2?=e2-1>0, 1? ?1? ∴f? f?2?<0. ?4?· 5.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析:选 B.∵a>0,∴a2+1>1.而 y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点. ∴方程有两解.

二、填空题 6.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0=2.5,那么下一 个有根区间是________. 解析:由计算器可算得 f(2)=-1,f(3)=16,f(2.5)=5.625,f(2)· f(2.5)<0,所以下一个有 根区间为(2,2.5). 答案:(2,2.5) 7.若函数 f(x)的图象是连续不断的,根据下面的表格,可断定 f(x)的零点所在的区间为 ________(只填序号). ①(-∞,1];②[1,2];③[2,3];④[3,4];⑤[4,5];⑥[5,6];⑦[6,+∞). x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 10.678 -3.930 -50.667 -305.678 解析:用二分法解题时要注意,根据区间两个端点函数值符号的异同,确定零点所在区 间. 答案:③④⑤ 8.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是 ________. 解析:∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根, ?-2+3=-a ?a=-1 ? ? 由根与系数的关系知? ,∴? , ?-2×3=b ?b=-6 ? ? ∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, 3 解集为{x|- <x<1}. 2 3 答案:{x|- <x<1} 2 三、解答题 x 1 1 9.已知函数 f(x)=x3-x2+ + .求证:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2 4 2 证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , 4 2 2 2 8 1 1 ∴g(0)· g( )<0.又函数 g(x)在[0, ]上连续, 2 2 1 所以存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. 2 2 10.判断函数 f(x)=4x+x2- x3 在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由. 3 2 7 解:∵f(-1)=-4+1+ =- <0, 3 3 2 13 f(1)=4+1- = >0, 3 3 ∴f(x)在区间[-1,1]上有零点. 9 1 又 f′(x)=4+2x-2x2= -2(x- )2, 2 2 9 当-1≤x≤1 时,0≤f′(x)≤ , 2 ∴f(x)在[-1,1]上是单调递增函数, ∴f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.

一、选择题 1.已知函数 f(x)=x3-2x2+2 有唯一零点,则下列区间上必存在零点的是( ) 3 3 A.(-2,- ) B.(- ,-1) 2 2 1 1 C.(-1,- ) D.( ,0) 2 2 1 1 解析:选 C.由题意,可知 f(-1)· f(- )<0,故 f(x)在(-1,- )上必存在零点,故选 C. 2 2 1x 2. (2013· 丹东调研)已知函数 f(x)=log2x-( ) , 若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, 且 0<x1<x0, 3 则 f(x1)的值( ) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零 1 解析:选 A.由题意知 f(x0)=0,f(x)=log2x-( )x 在(0,+∞)为增函数,又 0<x1<x0,所 3 以 f(x1)<f(x0)=0,故选 A. 二、填空题 3.(2011· 高考辽宁卷)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 解析:函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,即方程 ex-2x+a=0 有实根,即函数 g(x)=2x-ex 与函数 y=a 有交点, 而 g′(x)=2-ex,易知函数 g(x)=2x-ex 在(-∞,ln2)上递增, 在(ln2, x +∞)上递减,因此 g(x)=2x-e 的值域为(-∞,2ln2-2],所以要使函数 g(x)=2x-ex 与函 数 y=a 有交点,只需 a≤2ln2-2 即可. 答案:(-∞,2ln2-2] 4.用二分法求方程 x2=2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时,如果我们选取初始区间 是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________. 1.5-1.4 解析: 设至少需要计算 n 次, 由题意知 <0.001, 即 2n >100, 由 26=64,27=128 2n 知 n=7. 答案:7 三、解答题 5.(2013· 岳阳质检)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围, 并求出该零点. 解:∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, x 2 x 即方程(2 ) +m· 2 +1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.


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