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最新高中数学竞赛模拟题-


全国高中数学联赛模拟试题一 一试 一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 5 ? 4 x ? x2 1.函数 f ( x) ? 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x 2. 函数 y ? . . sin x cos x 的值域是 1 ? sin x ? cos x 3. 将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完 全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码 为 b。则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于 . n ?1 4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足:Sn ? an ? ,n ? 1, 2,? ,则通项 an = . n(n ? 1) x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 交于 M,N 两点,且 OM ? ON ,( O 为 a 2 b2 3 2 原点),当椭圆的离心率 e ? [ . , ] 时,椭圆长轴长的取值范围是 3 2 6.函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2 x 的最大值是 . 7 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 点 P?x1 , y1 ? 、 Q?x2 , y 2 ? 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为 5.已知椭圆 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若 C ?x, y ? 到点 A?1,3? 、 B?6,9? 的“直角距离”相等,其 中实数 x 、 y 满足 0 ? x ? 10 、 0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和 为 . 8.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运 动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 二.解答题(共 56 分) 9.(16 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ? 有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) 成立. 5 ,且对于任意实数 x、 y ,总 2 (1)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 {an } 的通项公式; (2) 若对于任意非零实数 y , 总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | , 判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论. 10.(20 分)设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , an ? nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2 b n ?1 ?1. 2n ?1 11.(20 分)若 a 、 b 、 c ? R? ,且满足 大值。 kabc ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最 a?b?c 加试 一. (40 分)在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L : y ? 1 2 x .实数 p, q 满足 4 p2 ? 4q ≥ 0 , x1 , x2 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ? ( p, q) ? max{ x1 , x2 } . 1 2 (1)过点 A( p0 , p0 ) ( p0 ? 0) 作 L 的切线交 y 轴于

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