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三角函数图像性质教案(一)


第十三讲

三角函数的图象与性质(基础篇)
1 正弦函数、余弦函数的图象

本节重点把握内容:
1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图,体会“几何法”作正弦函数 图象的过程,提高动手能力; 2、通过函数图象的应用,体会数形结合在解题中的应用; 3、三角函数图象和图象的应用;

本节重点:
1. 正弦函数(或余弦函数)的概念 任意给定一个实数{ EMBED Equation.3 | x ,有唯一确定的值(或)与之对应,由这个对 应法则所确定的函数(或)叫做正弦函数(或余弦函数) ,其定义域为 。 2. 正弦曲线或余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 。 3. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : (1)正弦函数的图象中,五个关键点是: , , , 。 (2)余弦函数的图象中,五个关键点是: , , , 。 4.正弦函数、余弦函数

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

知识回顾:
1、函数的定义域为____________________;值域为____________________; 2、函数的定义域为__________________;值域为____________________;

典型例题讲解: 【例 1】 作出函数在上的图像;

1

【变式训练】 ;

【例 2】已知,解不等式;

【变式】已知,解不等式;

【例 3】求下列函数的值域: (1) (2) (3)

【变式】求函数的值域;

2

【例 4】 (1)讨论方程解的个数; (2)若函数与直线有且仅有两个不同的交点,求的取值范围;

【变式】当为何值时,方程有一解、三解、四解?

过手训练 1、在同一坐标系内的函数与的图象的交点坐标是 ( ) A. B C D 2、下面有四个判断: 作正、余弦函数的图象时,单位圆的半径长与轴上的单位长可以不一致; 的图象关于成中心对称; 的图象关于直线成轴对称; 正、余弦函数的图象不超过两直线所夹的范围。 其中正确的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3、与图中曲线对应的函数是 ( )

y 1 -π O π 2π


x

A B C D 4、在内,使成立的的取值范围是( A B C D

3

2 重点把握:

正、余弦函数的性质(一)

1、理解周期和周期函数的概念,掌握正弦函数、余弦函数的周期性; 2、掌握证明或求解函数周期的基本方法; 3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质,培养数形结合的能力; 4、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性; 5、通过正余弦函数的图象来理解性质,培养数形结合的能力; 6、体会正余弦函数的有界性,并根据此性质来解决一些最值有关的问题; 本节重点一:

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

自主预习 1. 周期函数的定义: 对于函数, 如果存在一个非零常数, 使得当取定义域内的每一个值时, 都有: ,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期。若函数的周期为, 则 也是的周期。即

4

2. 正弦函数是周期函数,它的周期是 ;最 小正周期 是 ; 3. 正弦函数是周期函数,它的周期是 ;最 小正周期 是 ; 4. 函数(其中为常数,且)是周期函数,它的最小正周期= ; 5. 函数(其中为常数,且)是周期函数,它的最小正周期= ; 课堂演练: 1、函数的最小正周期为____________; 2、函数的最小正周期为____________; 重点二: 1. 奇偶性 (1) 正弦函数的奇偶性:如果点是函数的图象上任意一点,那么与它关于原点对称的点 __________ 也 在 函 数 的 图 象 上 , 这 时 我 们 说 函 数 是 _______ 函 数 。 即 : 若 __________________,则称函数为奇函数。 (2) 余弦函数的奇偶性:如果点是函数的图象上任意一点,那么与它关于轴对称的点 ___________ 也 在 函 数 的 图 象 上 , 这 时 我 们 说 函 数 是 _______ 函 数 。 即 : 若 __________________,则称函数为偶函数。 2. 单调性 (1) 正弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数,其值从 增大到;在每一上闭区间______________________________上都是减函数,其值从减小到。 (2) 余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数,其值从 增大到。在每一个闭区间______________________________上都是减函数,其值从减小到。 3. 对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________; 余弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________;

预习检测 1、函数的单调递增区间为_____________________; 2、比较大小: ; 3、函数的奇偶性为 ( ) A 奇函数 B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数

典型例题: 【例 1】 (1)下列函数中,周期为的是 A B C D (2)函数()的周期为 【变式】 (1)函数的最小正周期是 ( A B C

( )

) D

5

(2)函数的周期是 【例 2】 作出下列函数的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说 出其最小正周期。 (1) (2)

【变式】 求函数的最小正周期; 【例 3】判断下列函数的奇偶性 (1) (2) 【变式】 【例 4】求函数的对称轴方程; 【变式】若的图象关于直线对称,求的值;

【例 5】求下列函数的单调区间: ; (1)(2) 【变式】求函数的单调区间; 【例 6】求下列函数的值域: ; (1)(2) 【变式】若的值域是,求的值;

过手训练 1、设函数,则是 ( ) A 最小正周期为的奇函数 C 最小正周期为的奇函数

B 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数

2、作出函数的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说出其最小正 周期。

3、同时具有以下性质: “函数的最小正周期是;函数图象关于直线对称;在上是增函数”的 一个函数是 ( ) A B C D 4、 (1)函数在 ( A 上是增函数 ) B 上是减函数

6

C 上是减函数 (2)的奇偶性为 ( ) A 奇函数 B 偶函数

D 上是减函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数

5、已知函数的图象关于直线对称,则可能是( ) A B C D 6、已知函数的最小正周期为,则该函数的图象 ( ) A 关于直线对称 B 关于点对称 C 关于点对称 D 关于直线对称

3 正切函数的性质与图象
重点把握: 1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质. 2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程,进一步体会函数线的作用. 本
y

节重点一:

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

1.正切函数的定义域是



2.回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是周期函数吗?如果是,那么 最小正周期是 ; (奇、偶)函数;

3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是

4.正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数; 预习检测: 1.函数的定义域是 2.函数的最小正周期是 3. 比较大小: ; ; ;

7

典型例题: 【例 1】求函数的定义域;

【变式】求函数的定义域;

【例 2】若,求函数的最值及相应的的值;

【变式】函数的值域为

【例 3】作出函数在一个周期内的图象;

8

【变式】作出函数在区间内的大致图象;

【例 4】 (1)求函数的周期和单调递减区间; (2)试比较与的大小;

【变式】是否存在实数,且,使得函数在上是单调递增的?若存在,求出的一个值;若不存 在说明理由;

【例 5】 (1)求函数的定义域; (2)画出函数的简图,并根据图象写出其最小正周期和单调区间; 【变式】利用正切函数的图象解不等式

9

过手训练 1、与函数的图象不相交的一条直线是( )

2、函数的定义域是



3、函数的最大值是



4、已知函数在内是减函数,则的取值范围是____________; 5、函数的单调递增区间是__________________;

10


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