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高中数学必修2直线与圆的位置关系1


高中数学必修 2 直线与圆的位置关系
【一】 、圆的定义及其方程. (1)圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点叫做圆心,定 长就是半径; (圆心是定位条件,半径是定型条件) (2)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ;圆心 ( a, b) ,半径为 r ; 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) ;圆心 (?

D E ,? ) , 2 2

半径为

1 D 2 ? E 2 ? 4F ; 2

【二】 、点与圆的位置关系(仅以标准方程为例,其他形式,则可化为标准式后按同样方法 处理) 设 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;若 P 到圆心之距为 d ; ① P 在在圆 C 外 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ; ② P 在在圆 C 内 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ; ③ P 在在圆 C 上 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ;

【三】 、直线与圆的位置关系:
2 2 2 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆心 C 到直线 l 之距为

d ,由直线 l 和圆 C 联立方程组消去 x (或 y )后,所得一元二次方程的判别式为 ? ,则它
们的位置关系如下: 相离 ? d ? r ? ? ? 0 ;相切 ? d ? r ? ? ? 0 ;相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; 注意:这里用 d 与 r 的关系来判定,称为几何法,只有对圆才实用,也是最简便的方法; 利用 ? 判定称为代数法,对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。 【四】 、两圆的位置关系: (1)代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程组;若方程组有两组不同的实数解, 则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解,两圆 相离。 (2)几何法:设圆 O1 的半径为 r1 ,圆 O2 的半径为 r2 ①两圆外离 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ;

②两圆外切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; ③两圆相交 ?| r2 ? r1 |?| O1O2 |? r1 ? r2 ; ④两圆内切 ?| O1O2 |?| r2 ? r1 | ; ⑤两圆内含 ?| O1O2 |?| r2 ? r1 | ;

(五) 已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线 L:Ax+By+C=0 1.位置关系的判定:

判定方法 1:联立方程组 (1)△>0 (2)△=0 (3)△<0 相交; 相切; 相离。

得到关于 x(或 y)的方程

判定方法 2:若圆心(a,b)到直线 L 的距离为 d (1)d<r 相交; (2)d=r 相切; (3)d>r 相离。 例 1、判断直线 L:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0 与圆 O:x2+y2=9 的位置关系。

法一:直线 L:m(x-y+2)+x+y-1=0 恒过点 ∵点 P 在圆 O 内, ∴直线 L 与圆 O 相交。



法二:圆心 O 到直线 L 的距离为 当 d<3 时,(2m-1)2<9(2m2+2), ∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R 所以直线 L 与直线 O 相交。 法三:联立方程,消去 y 得 2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0 ∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17) 当 m≠1 时,△>0,直线与圆相交;

当 m=1 时,直线 L:

,此时直线 L 与圆 O 相交

综上得直线 L 与圆 O 恒相交。 [评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法,但计算量偏大;而法一是先观 察直线的特点再结合图,避免了大量计算,因此体现了数形结合的优点。

例 2、求圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大最小值

1.切线问题: 例 3: 2 2 2 (1)已知点 P(x0,y0)是圆 C:x +y =r 上一点,求过点 P 的圆 C 的切线方程; (x0x+y0y=r2) 法一: ∵点 P(x0,y0)是圆 C:x2+y2=r2 上一点,∴

当 x0≠0 且 y0≠0 时,

∴切线方程为 当 P 为(0,r)时,切线方程为 y=r,满足方程(1); 当 P 为(0,-r)时,切线方程为 t=-r,满足方程(1); 当 P 为(r,0)时,切线方程为 x=r,满足方程(1); 当 P 为(-r,0)时,切线方程为 x=-r,满足方程(1); 综上,所求切线方程为 x0x+y0y=r2 法 二 : 设 M(x , y) 为 所 求 切 线 上 除 P 点 外 的 任 一 点 , 则 由 图 知 |OM| =|OP|2+|PM|2, 即 x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2 ∴x0x+y0y=r2 且 P(x0,y0)满足上面的方程。 综上,所求切线方程为 x0x+y0y=r2。
2

例 4、求过下列各点的圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 的切线方程: (1) ; (2) B(4,5)

解: (1)圆 C:(x-1)2+(y+2)2=9,圆心 C(1,-2),r=3,且点 A 在圆 C 上,

法一:设切线方程为

,则圆心到切线的距离为



∴所求切线方程为 法二:

∵AC⊥l, ∴ 所 求 切 线 方 程 为

(2)点 B 在圆外,所以过 B 点的切线有两条 设切线方程为 y=k(x-4)+5,则圆心 C 到切线的距离为

又直线 x=4 也是圆的切线方程, ∴所求切线方程为 (2)已知圆 O:x2+y2=16,求过点 P(4,6)的圆的切线 PT 的方程。 注: (1)判断直线与圆的位置关系有两种方法,但利用圆心到直线的距离与半径的关 系来判断在计算上更简洁。 (2)过圆外一点向圆引切线,应有两条;过圆上一点作圆的切线,只有一条。 例 6、从直线 L:2x-y+10=0 上一点做圆 O:x2+y2=4 的切线,切点为 A、B,求四 边形 PAOB 面积的最小值。 解:

∵ ∴当|OP|最小时,SPAOB 最小, 又∵当 OP⊥L 时|OP|最小,此时

例 7、(切点弦)过圆外一点 P(a,b)做圆 O:x2+y2=r2 的切线, 切点为 A、B,求直线 AB 的方程。 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则过 A 点的切线为 x1x+y1y=r2, 又∵过点 P(a,b) ∴ax1+by1=r2, 同理有 ax2+by2=r2 由以上两式可以看出 A、B 的坐标都满足方程 ax+by=r2,它是一条直线的方 程, 又∵过两点的直线有且仅有一条, ∴直线 AB 的方程为 ax+by=r2。 2、弦长问题 例 8、 (1)若点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程。

(2)若直线 y=2x+b 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹。 解:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,且 A(x1,y1),B(x2,y2)



,消去 y 得 5x2+4bx+b2-4=0

由韦达定理得,





由①②消去 b 得

,又因 M 在圆内,

∴所求轨迹为直线

在圆内的部分。

(3)经过原点作圆 x2+y2+2x-4y+4=0 的割线 l,交圆于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹。 法一:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,直线 l 的方程为 y=kx,A(x1,y1), B(x2,y2)



消去 y 得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0



又∵x≠0

代入①得 x2+y2+x-2y=0

∵M 点在圆内, ∴所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。 法二:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,圆心 C(-1,2) ∵CM⊥OM ∴

当 x≠0 且 x≠-1 时,有 当 x=0 时,点 M 不存在;当 x=-1 时,点 M 与 C 重合,符合方程① ∵M 点在圆内, ∴所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。 精选习题:
1
王新敞
奎屯 新疆

①,

在直角坐标系中,直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( ) A.

? 6

B.

? 3
第二

C.

5? 6

D.

2? 3

2

王新敞
奎屯

新疆

直线 ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

第四象限,则 a、b、c 应满足( ) D. ab ? 0, bc ? 0 ) D.相交但不过圆心 )

A. ab ? 0, bc ? 0 B. ab ? 0, bc ? 0 C. ab ? 0, bc ? 0 3 直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是(
2 2

王新敞
奎屯

新疆

A.相交且过圆心

B.相切

C.相离

4 过两点 (?1,1)和(3,9) 的直线在 x 轴上的截距是( A. ?

3 2

B. ?

2 3

C.

2 5

D.2

5.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是____ A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能
6.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 )

7.若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A.

1 2



1 2

B. ?

1 2

C. ?2

D. 2

8.直线 A. b

x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( 2 a b
B. ?b C. b
2
2



D. ?b

9.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0, 0) C. (3,1) B. (0,1) D. (2,1)



10.直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 C.斜交 B.垂直 D.与 a, b,? 的值有关



11.直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为(



A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

12、若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? A、 0
?

?(
?

) D、不存在

B、 45

?

C、 90

13. 经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C, 且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 ( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0



14(安徽文)直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值 范围是 ( ) B. ( 2 ?1, 2 ?1) C. (? 2 ?1, 2 ?1)


A. (0, 2 ?1)

D. (0, 2 ? 1)

15、经过点 A(1,2) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线共有( A、1 条 B、2 条 C、3 条 ) B、一个点 D、两条平行直线 D、4 条

16、方程 x 2 ? 4 y 2 ? 0 表示的图形是( A、两条相交而不垂直的直线 C、两条垂直直线 17、下列说法正确的是 A、 若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1 ∥ l2 ; B、若直线 l1 ∥ l2 ,则 l1 与 l2 的斜率相等;

C、若一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则它们一定相交; D、若直线 l1 与 l2 的斜率都不存在,则 l1 ∥ l2 18 动点在圆 x ? y ? 1 上移动时,它与定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是(
2 2

王新敞
奎屯

新疆

)

A. ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

B. ( x ? 3) ? y ? 1
2 2

C. (2 x ? 3) ? 4 y ? 1
2 2

D. ( x ?

3 2 1 ) ? y2 ? 2 2

19.直线 l 过点 A(0,2)且与半圆 C:(x-1)2+y2=1(y≥0)有两个不同的交点, 则直线 l 的斜率的范围是____
20 已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为

21、m 为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 必过定点



22.若圆 x2+y2-4x-5=0 上的点到直线 3x-4y+k=0 距离的最大值是 4,求 k

23.一个圆经过点 P(2, -1)和直线 x-y=1 相切, 且圆心在 y=-2x 上, 求它的方程。

24.已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点,定点 Q(4,0),求线段 PQ 中点的轨迹方程。

25.已知过点 M (?3,?3) 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 的方程.


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