当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷(文科)


湖北省八市 2015 届高三三月联考数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)复数(3+2i)i 等于() A.﹣2+3i B.﹣2﹣3i C.2﹣3i

D.2+3i

2. (5 分)已知 a=2 A.a>b>c

,b=log2 ,c=log23,则() B.z>c>b C.c>b>a D.c>a>b

3. (5 分)有下列关于三角函数的命题 P1:?x∈R,x≠kπ+ P2:函数 y=sin(x﹣ (k∈Z) ,若 tanx>0,则 sin2x>0; )与函数 y=cosx 的图象相同;

P3:?x0∈R,2cosx0=3; P4:函数 y=|cosx|(x∈R)的最小正周期为 2π,其中真命题是() A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3

D.P1,P2

4. (5 分)如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 xoz、xoy、yoz 三个平面上的正投影,则此四 棱锥的体积为()

A.94

B.32

C.64

D.16

5. (5 分)某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了四 个工作量与当天平均气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 ﹣1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程 =﹣2x+a,当气温为﹣4℃时,预测用电量均为() A.68 度 B.52 度 C.12 度 D.28 度

6. (5 分)从半径为 r 的圆内接正方形的 4 个顶点及圆心 5 个点中任取 2 个点,则这个点间的 距离小于或等于半径的概率为() A. B. C. D.

7. (5 分)已知平面直角坐标系 xoy 上的区域 D 由不等式

给定,若 M(x,y)为

D 上任一点,点 A 的坐标为( A.3 B. 4
2

,1) ,则 z= C. 3

的最大值为() D.4

8. (5 分)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,3]上的零点的个数为() A.2 B. 3 C. 4 D.5

9. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =

2

2



切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心率 等于() A. B. C.
2

D.

10. (5 分)设函数 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x ﹣8x+1,若 f(x)≤1 的解集为 M,g 2 2 (x)≤4 的解集为 N,当 x∈M∩N 时,则函数 F(x)=x f(x)+x[f(x)] 的最大值是() A.0 B. ﹣ C. D.

二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 11. (5 分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位: cm) ,所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中, 有株树木的底部周长小于 100cm.

12. (5 分)已知向量 ,则 =.

=(﹣1,2) ,

=(5,﹣2) ,向量 =(4,0) ,用



表示向量

13. (5 分)设{an}为等比数列,其中 a4=2,a5=5,阅读如图所示的程度框图,运行相应的程 序,则输出结果为

14. (5 分)在△ ABC 中,A=

,AC=2,BC=

,则 AB=.

15. (5 分)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处 的切线垂直于直线 x﹣2y=0,则切线方程为. 16. (5 分)在平面直角坐标系中,已知点 P(4,0) ,Q(0,4) ,M,N 分别是 x 轴和 y 轴上 的动点,若以 MN 为直径的圆 C 与直线 PQ 相切,当圆 C 的面积最小时,在四边形 MPQN 内 任取一点,则这点落在圆 C 内的概率为. 17. (5 分)设 a 是一个平面,Γ 是平面 α 上的一个图形,若在平面 α 上存在一个定点 A 和一 个定角 θ(θ∈(0,2π) ,使得 Γ 上的任意一点以 A 为中心顺时针(或逆时针)旋转角 θ,所得 到的图形与原图形 Γ 重合,则称点 A 为对称中心,θ 为旋转角,Γ 为旋转对称图形,若以下 4 个图形,从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形,它们都是旋转对称图形, 则它们的最小旋转角依次为,若 Γ 是一个正 n 边形,则其最小旋转角 n 可以表示为.

三、解答题(共 5 小题,满分 65 分) 18. (12 分)已知函数 f(x)= acos
2

+ asinωx﹣

a(ω>0,a>0 在一个周期内的图

象如图所示,其中点 A 为图象上的最高点,点 B,C 为图象与 x 轴的两个相邻交点,且△ ABC 是边长为 4 的正三角形. (1)求 ω 与 a 的值; (2)若 f(x0)= ,且 x0∈(﹣ , ) ,求 f(x0+1)的值.

19. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn= (an +3an+2) ,n∈N ) . (1)求 an; (2)若 akn∈{a1,a2,…,an,…},且 ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,当 k1=1,k2=4 时, 求 kn. 20. (13 分)如图,ABC﹣A1B1C1 是地面边长为 2,高为 的正三棱柱,经过 AB 的截面与

2

+

上底面相交于 PQ,设 C1P=λC1A1(0<λ<1) . (1)证明:PQ∥A1B1; (2)是否存在 λ,使得平面 CPQ⊥截面 APQB?如果存在,求出 λ 的值;如果不存在,请说 明理由.

21. (14 分)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x ﹣x 在 x=0 处取得极值 (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在区间[0,2]上有两个不同的实根,求实数 b 的取值范 围.

2

22. (14 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点为 A,P( , )是 C 上的一点,以

AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.

湖北省八市 2015 届高三三月联考数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)复数(3+2i)i 等于() A.﹣2+3i B.﹣2﹣3i C.2﹣3i

D.2+3i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的运算法则进行求解即可. 2 解答: 解: (3+2i)i=3i+2i =﹣2+3i, 故选:A. 点评: 本题主要考查复数的计算,利用复数乘法的运算法则是解决本题的关键.

2. (5 分)已知 a=2 A.a>b>c

,b=log2 ,c=log23,则() B.z>c>b C.c>b>a D.c>a>b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<a=2 <1,b=log2 <0,c=log23>1,

∴c>a>b, 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 3. (5 分)有下列关于三角函数的命题 P1:?x∈R,x≠kπ+ P2:函数 y=sin(x﹣ (k∈Z) ,若 tanx>0,则 sin2x>0; )与函数 y=cosx 的图象相同;

P3:?x0∈R,2cosx0=3; P4:函数 y=|cosx|(x∈R)的最小正周期为 2π,其中真命题是() A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3

D.P1,P2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系,即可化简判断 P1;运用三 角函数的诱导公式化简,即可判断 P2;由余弦函数的值域,即可判断 P3;运用周期函数的定 义,结合诱导公式,即可判断 P4. 解答: 解:对于 P1,?x∈R,x≠kπ+ (k∈Z) ,若 tanx>0,则 sin2x=2sinxcosx

=

=

>0,则 P1 为真命题; )=sin(2π+x﹣ )=sin(x+ )=cosx,则 P2 为真命题;

对于 P2,函数 y=sin(x﹣

对于 P3,由于 cosx∈[﹣1,1], ?[﹣1,1],则 P3 为假命题; 对于 P4,函数 y=|cosx|(x∈R) ,f(x+π)=|cos(x+π)|=|﹣cosx|=|cosx|=f(x) , 则 f(x)的最小正周期为 π,则 P4 为假命题. 故选 D. 点评: 本题考查全称性命题和存在性命题的真假,以及三角函数的图象和周期,运用二倍 角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键,属于基础题和易错题. 4. (5 分)如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 xoz、xoy、yoz 三个平面上的正投影,则此四 棱锥的体积为()

A.94

B.32

C.64

D.16

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,计算出底面面积 和高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S=(6﹣2) =16, 高 h=8﹣2=6, 故四棱锥的体积 V= =32,
2

故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 5. (5 分)某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了四 个工作量与当天平均气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 ﹣1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程 =﹣2x+a,当气温为﹣4℃时,预测用电量均为() A.68 度 B.52 度 C.12 度 D.28 度

考点: 线性回归方程.

专题: 概率与统计. 分析: 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上, 利用待定系数法做出 a 的值,可得线性回归方程,根据所给的 x 的值,代入线性回归方程,预 报要销售的件数. 解答: 解:由表格得 = ∴( , )为: (10,40) , 又( , )在回归方程 =bx+a 中的 b=﹣2, ∴40=10×(﹣2)+a, 解得:a=60, ∴ =﹣2x+60, 当 x=﹣4 时, =﹣2×(﹣4)+60=68. 故选:A. 点评: 本题考查线性回归方程,考查最小二乘法的应用,考查利用线性回归方程预报变量 的值,属于中档题. 6. (5 分)从半径为 r 的圆内接正方形的 4 个顶点及圆心 5 个点中任取 2 个点,则这个点间的 距离小于或等于半径的概率为() A. B. C. D. =10, =40.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 因为圆的半径为 r,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 r,4 条长度为 2 r,两条长度为 2r,即可得出结论. 解答: 解:因为圆的半径为 r,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 r,4 条长度为 2 r,两条长度为 2r, ∴所求概率为 .

故选:B. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键.

7. (5 分)已知平面直角坐标系 xoy 上的区域 D 由不等式

给定,若 M(x,y)为

D 上任一点,点 A 的坐标为( A.3 B. 4

,1) ,则 z= C. 3

的最大值为() D.4

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 首先画出可行域,则 z= = x+y,利用目标函数的几何意义,结合数形结合

即可得到结论. 解答: 解:首先做出可行域,如图所示: z= = x+y,

即 y=﹣ x+z 做出 l0:y=﹣ x,将此直线平行移动,当直线 y=﹣ 最大时,z 有最大值. 因为 B( ,2) , 所以 z= × +2=2+2=4, 即 z 的最大值为 4 故选:B

x+z 经过点 B 时,直线在 y 轴上截距

点评: 本题主要考查线性规划的应用以及向量数量积的应用,利用数形结合是解决本题的 关键. 8. (5 分)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,3]上的零点的个数为() A.2 B. 3 C. 4 D.5 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 令函数值为 0, 构建方程, 即可求出在区间[0, 3]上的解, 从而可得函数 f (x) =xcosx 在区间[0,3]上的零点个数 解答: 解:令 f(x)=0,可得 x=0 或 cosx =0 ∴x=0 或 x =kπ+
2 2 2 2

,k∈Z

∵x∈[0,3],则 x ∈[0,9], ∴k 可取的值有 0,1,2, ∴方程共有 4 个解 2 ∴函数 f(x)=xcosx 在区间[0,3]上的零点个数为 4 个. 故选:C. 点评: 本题考查三角方程的解法以及零点的概念,属于基础题.

9. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =

2

2



切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心率 等于() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 右焦点为 F′,则 PF′=a,PF=3a,EF= a,利用勾股定理,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:由题意,设右焦点为 F′,则 PF′=a,PF=3a, ∴EF= a,



=

a,

∴e= =



故选:C. 点评: 本题考查双曲线的离心率,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于 基础题. 10. (5 分)设函数 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x ﹣8x+1,若 f(x)≤1 的解集为 M,g 2 2 (x)≤4 的解集为 N,当 x∈M∩N 时,则函数 F(x)=x f(x)+x[f(x)] 的最大值是() A.0 B. ﹣ C. D.
2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据绝对值不等式的解法求出集合 M,N,以及 M∩N,然后求出函数 F(x)的表达 式,结合一元二次函数的性质即可得到结论. 解答: 解:f(x)=2|x﹣1|+x﹣1= ,

若 x≥1,由 f(x)≤1 得 3x﹣3≤1 得 x≤ , 此时得 1≤x≤ , 若 x<1,由 f(x)≤1 得 1﹣x≤1 得 x≥0, 此时得 0≤x<1.

综上,原不等式的解集 M 为[0, ]. 由 g(x)=16x ﹣8x+1≤4,求得﹣ ≤x≤ , ∴N=[﹣ , ], ∴M∩N=[0, ]. ∵当 x∈M∩N 时,f(x)=1﹣x, 2 2 F(x)=x f(x)+x[f(x)] =xf(x)[x+f(x)]=x(1﹣x) = ﹣(x﹣ ) ≤ ,当且仅当 x= 时,取得最大值 . 则函数的最大值为 . 故选:D. 点评: 本题主要考查函数最值的求解,根据绝对值不等式的解法以及一元二次函数以及一 元二次不等式的性质是解决本题的关键. ,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档 题. 二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 11. (5 分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位: cm) ,所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中, 有 24 株树木的底部周长小于 100cm.
2 2

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于 100cm 的频率, 再根据 频数=样本容量×频率求出底部周长小于 100cm 的频数. 解答: 解:由频率分布直方图知:底部周长小于 100cm 的频率为(0.015+0.025)×10=0.4, ∴底部周长小于 100cm 的频数为 60×0.4=24(株) . 故答案为:24. 点评: 本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高× 组距= .

12. (5 分)已知向量 ,则 = .

=(﹣1,2) ,

=(5,﹣2) ,向量 =(4,0) ,用



表示向量

考点: 平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用平面向量的基本定理即可得出. 解答: 解:设 ,

则(4,0)=x(﹣1,2)+y(5,﹣2) , ∴ ,解得 x=y=1. . .

∴ 故答案为:

点评: 本题考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 13. (5 分)设{an}为等比数列,其中 a4=2,a5=5,阅读如图所示的程度框图,运行相应的程 序,则输出结果为 4

考点: 程序框图. 专题: 图表型;等差数列与等比数列;算法和程序框图. 分析: 根据已知中的流程图,我们模拟程序的运行结果,程序算法的功能是求 s=lga1+lga2+…+lga8 的值,由等比数列的求和公式即可得解. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 s=0,n=1 s=lga1,n=2 不满足条件 n≥9,s=lga1+lga2,n=3 … 不满足条件 n≥9,s=lga1+lga2+…+lga8,n=9 满足条件 n≥9,退出循环,输出 s 的值. ∵根据等比数列的通项公式:an=a1q ∵a4=2,a5=5, ∴可解得:q= ,a1= ,
n﹣1

所以 s=lga1+lga2+…+lga8=lgs=lg(a1×a2×…×a8)=lg(

) ( ) =8(lg16﹣lg125)+28(lg5

8

28

﹣lg2)=4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查的知识点是程序框图,考查了等比数列的求和,考查了对数的运算, 模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法,属于中档题. 14. (5 分)在△ ABC 中,A=

,AC=2,BC=

,则 AB=1.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 直接利用正弦定理解出角 B 的大小,进一步利用直角三角形的边角关系求出结果. 解答: 解:在△ ABC 中,A= 根据正弦定理得: 解得:sinB=1 由于:0<B<π 所以:B= 所以在 Rt△ ABC 中, =1 ,AC=2,BC=

故答案为:1 点评: 本题考查的知识要点:正弦定理得应用,及相关的运算问题,属于基础题型 15. (5 分)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处 的切线垂直于直线 x﹣2y=0,则切线方程为 2x+y﹣2=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 x﹣2y=0 可得 f′(1)=﹣2, 可求出 a 的值,可得切点坐标,即可求出切线方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= + ﹣lnx﹣ , ∴f′(x)= ,

∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 x﹣2y=0, ∴f′(1)= ﹣a﹣1=﹣2, 解得:a= , ∴f(1)=0,

∴切线方程为 y=﹣2(x﹣1) ,即 2x+y﹣2=0. 故答案为:2x+y﹣2=0. 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,求出 a 是关键,难度中档. 16. (5 分)在平面直角坐标系中,已知点 P(4,0) ,Q(0,4) ,M,N 分别是 x 轴和 y 轴上 的动点,若以 MN 为直径的圆 C 与直线 PQ 相切,当圆 C 的面积最小时,在四边形 MPQN 内 任取一点,则这点落在圆 C 内的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,圆 C 的面积最小时,圆 C 的半径为 为 =6,即可得出结论.

,面积为 2π,四边形 MPQN 的面积

解答: 解:由题意,圆 C 的面积最小时,圆 C 的半径为 面积为 =6,

,面积为 2π,四边形 MPQN 的

∴当圆 C 的面积最小时,在四边形 MPQN 内任取一点,则这点落在圆 C 内的概率为 故答案为: .



点评: 本题主要考查几何概型的概率计算,确定面积是关键. 17. (5 分)设 a 是一个平面,Γ 是平面 α 上的一个图形,若在平面 α 上存在一个定点 A 和一 个定角 θ(θ∈(0,2π) ,使得 Γ 上的任意一点以 A 为中心顺时针(或逆时针)旋转角 θ,所得 到的图形与原图形 Γ 重合,则称点 A 为对称中心,θ 为旋转角,Γ 为旋转对称图形,若以下 4 个图形,从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形,它们都是旋转对称图形, 则它们的最小旋转角依次为 可以表示为 . , , , ,若 Γ 是一个正 n 边形,则其最小旋转角 n

考点: 归纳推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 由题意,对称中心为正多边形的中心,正三角形、正方形、正五边形、正六边形, 它们都是旋转对称图形,则它们的最小旋转角依次为 可得 Γ 是一个正 n 边形的最小旋转角. , = , , = ;由此

解答: 解:由题意,对称中心为正多边形的中心,正三角形、正方形、正五边形、正六边 形,它们都是旋转对称图形,则它们的最小旋转角依次为 是一个正 n 边形,则其最小旋转角 n 可以表示为 故答案为: , , , ; . . , = , , = ;Γ

点评: 所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理.它与演绎推理的思维进 程不同.归纳推理的思维进程是从个别到一般,而演绎推理的思维进程不是从个别到一般,是 一个必然地得出的思维进程. 三、解答题(共 5 小题,满分 65 分) 18. (12 分)已知函数 f(x)= acos
2

+ asinωx﹣

a(ω>0,a>0 在一个周期内的图

象如图所示,其中点 A 为图象上的最高点,点 B,C 为图象与 x 轴的两个相邻交点,且△ ABC 是边长为 4 的正三角形. (1)求 ω 与 a 的值; (2)若 f(x0)= ,且 x0∈(﹣ , ) ,求 f(x0+1)的值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)化简函数解析式可得 f(x)=( ) ,由已知可求 T,即可求得 ω 的值,

由图象可知,正三角形△ ABC 的高即为函数 f(x)的最大值 a,即可得 a 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)及已知可得 sin( =2 ( x0+ + )=2 sin[( x0+ x0+ )= ,即可求 cos( )+ x0+ )的值,由 f(x0+1)

]展开即可求值得解. )=asin( )

解答: 解: (Ⅰ)由已知可得 f(x)=a( ∵BC= =4, ∴T=8, ∴ω= =

由图象可知,正三角形△ ABC 的高即为函数 f(x)的最大值 a,

得 a=

BC=2 sin( x0+ )= ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x0)=2 即 sin( ∵x0∈(﹣ ∴ x0+ x0+ )= ,

, ) , ∈(﹣ x0+ )= ( x0+ )+ )cos ) ] +cos( x0+ )sin ] + , ) , = )

∴cos(

∴f(x0+1)=2 =2 =2 =2 = sin[( [sin( ( . x0+ x0+

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了三角函数恒等 变形的应用,属于基本知识的考查. 19. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn= (an +3an+2) ,n∈N ) . (1)求 an; (2)若 akn∈{a1,a2,…,an,…},且 ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,当 k1=1,k2=4 时, 求 kn. 考点: 数列递推式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn= (an +3an+2) ,得当 n≥2 时, , 整理后结合 an>0 可得 an﹣an﹣1=3, 即数列{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列.由等差数列的通项公式得答案; (2)由 ,可得数列{ }是首项为 1,公比为 10 的等比数列.又
2 2 +

∈{a1,a2,…,an,…},由通项相等可求 kn 的值. 解答: 解: (1)由 Sn= (an +3an+2) ,得
2

当 n≥2 时, 整理,得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣3)=0, ∵an>0,∴an﹣an﹣1=3. ∴数列{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列. 故 an=1+3(n﹣1)=3n﹣2; (2) ∴数列{ 则 又 ∴ ∴ , }是首项为 1,公比为 10 的等比数列. , ∈{a1,a2,…,an,…}, , .



点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了等比数列的通项公式,是 中档题.

20. (13 分)如图,ABC﹣A1B1C1 是地面边长为 2,高为

的正三棱柱,经过 AB 的截面与

上底面相交于 PQ,设 C1P=λC1A1(0<λ<1) . (1)证明:PQ∥A1B1; (2)是否存在 λ,使得平面 CPQ⊥截面 APQB?如果存在,求出 λ 的值;如果不存在,请说 明理由.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由正三棱柱的性质可知,上下两个底面平行,由两个平面平行的性质定理可得 PQ∥AB,由此能证明 PQ∥A1B1. (2)假设存在这样的 λ 满足题设,分别取 AB 的中点 D,PQ 的中点 E,连接 DE,由已知得 ∠CED 为二面角 A﹣PQ﹣C 的平面角,连接 C1E 并延长,交 A1B1 于 F,若平面 CPQ⊥截面 APQB,则 CE +DE =CD ,由此能求出
2 2 2



解答: (1)证明:由正三棱柱的性质可知,上下两个底面平行, 且截面 APQB∩上底面 A1B1C1=PQ,截面 APQB∩下底面 ABC=AB,

由两个平面平行的性质定理可得 PQ∥AB, ∴PQ∥A1B1.…(6 分) (2)解:假设存在这样的 λ 满足题设, 分别取 AB 的中点 D,PQ 的中点 E,连接 DE, 由(1)及正三棱柱的性质可知△ CPQ 为等腰三角形,APQB 为等腰梯形, ∴CE⊥PQ,DE⊥PQ, ∴∠CED 为二面角 A﹣PQ﹣C 的平面角,…(8 分) 连接 C1E 并延长,交 A1B1 于 F, 由(1)得, = =λ, ,



,EF=

,…(9 分) ,在 Rt△ DFE 中,DE =
2

在 Rt△ CC1E 中,
2 2 2



若平面 CPQ⊥截面 APQB,则∠CED=90°, ∴CE +DE =CD ,将以上数据代入整理, 得 3λ ﹣3
2

,解得

.…(13 分)

点评: 本题考查线线平行的证明,考查使得面面垂直的实数值是否存在的判断与求法,考 查方程思想、 等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、 逻辑推理能力和运算求解 能力,是中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x ﹣x 在 x=0 处取得极值 (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在区间[0,2]上有两个不同的实根,求实数 b 的取值范 围. 考点: 函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)令 f′(x)=0,即可求得 a 值; (2)f(x)=﹣ x+b 在区间[0,2]上有两个不同的实根,即 b=ln(x+1)﹣x + x 在区间[0, 2]上有两个不同的实根, 问题可转化为研究函数 g(x)=ln(x+1)﹣x + x 在[0,2]上最值和极值情况.利用导数可以 求得,再借助图象可得 b 的范围.
2 2 2

解答: 解: (1)f′(x)=

﹣2x﹣1,

∵f′(0)=0,∴a=1. 2 (2)f(x)=ln(x+1)﹣x ﹣x 所以问题转化为 b=ln(x+1)﹣x + x 在[0,2]上有两个不同的解, 从而可研究函数 g(x)=ln(x+1)﹣x + x 在[0,2]上最值和极值情况. ∵g′(x)=﹣ ,
2 2

∴g(x)的增区间为[0,1],减区间为[1,2]. ∴gmax(x)=g(1)= +ln2,gmin(x)=g(0)=0, 又 g(2)=﹣1+ln3, ∴当 b∈[﹣1+ln3, +ln2)时,方程有两个不同解. 点评: 本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题,注意函数与方程思想、 数形结合思想的运用.

22. (14 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点为 A,P( , )是 C 上的一点,以

AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 由题设可得 c ﹣ c+
2 2 2 2

=0①, 又点 P 在椭圆 C 上, 可得
2

?a =2②,

2

又 b +c =a =2③,①③联立解得 c,b ,即可得解. 2 2 2 (2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程消去 y,整理得(2k +1)x +4kmx+2m ﹣ 2 2 2=0(﹡) ,由△ =0,得 m =2k +1,假设存在 M1(λ1,0) ,M2(λ2,0)满足题设,则由 =| |=1 对任

意的实数 k 恒成立.由

即可求出这两个定点的坐标.

解答: 解: (1)F(c,0) ,A(0,b) ,由题设可知

,得

c ﹣ c+

2

=0①…(1 分) ?a =2②
2

又点 P 在椭圆 C 上,∴
2 2 2

b +c =a =2③…(3 分) 2 ①③联立解得,c=1,b =1…(5 分) 故所求椭圆的方程为 +y =1…(6 分)
2

(2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程,消去 y,整理, 2 2 2 得(2k +1)x +4kmx+2m ﹣2=0(﹡) 2 方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k +1>0, 2 2 所以△ =0,得 m =2k +1…(8 分) 假设存在 M1(λ1,0) ,M2(λ2,0)满足题设,则由 =| 意的实数 k 恒成立. 所以, 解得, 或 , |=1 对任

所以,存在两个定点 M1(1,0) ,M2(﹣1,0) ,它们恰好是椭圆的两个焦点.…(13 分) 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程的解法,考查了直线与圆锥曲线的关系,综合性较 强,属于中档题.


相关文章:
湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷(理科)
湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。湖北省八市 2015 届高三三月联考数学试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,...
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学理试题
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学试题_理化生_高中教育_教育专区。试卷类型:A 绝密★启用前 2015 年湖北省八市高三年级三月联考 数 学(理工类)★祝考试...
2015年湖北省八市高三年级三月联考文数
2015年湖北省八市高三年级三月联考文数_数学_高中教育_教育专区。2015 年湖北省八市高三年级三月联考 数 学(文史类)★祝考试顺利★ 本试卷共4页,共22题。全卷...
2015年湖北省八市高三年级三月一模数学试题(文科)(WORD...
2015年湖北省八市高三年级三月一模数学试题(文科)(WORD含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。试卷类型:A 绝密★启用前 2015 年湖北省八市高三年级三月联考 ...
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学文试题
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学文试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖北八市2015届高三下学期三月联考数学文试题试卷类型:A绝密★启用前 2015 年湖北省...
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学(理)试题 扫描版...
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学(理)试题 扫描版含答案_数学_高中教育_教育专区。 2015 年湖北省八市高三年级三月联考 数学(理工类)参考答案及评分标准 一...
湖北省八市2015届高三3月联考数学(理)试题及答案
2015 年湖北省八市高三年级三月联考 数学(理工类)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A...
2015年湖北省八市高三年级三月联考数学答案(文史类)
2015年湖北省八市高三年级三月联考数学答案(文史类)_数学_高中教育_教育专区。这是2015年湖北省八市高三年级三月联考数学(文史类)答案,与大家分享。今日...
湖北省八市2015届高三数学三月联考试卷 理(含解析)
湖北省八市2015届高三数学三月联考试卷 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 湖北省八市 2015 届高三三月...
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学理试题_Word版含...
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学试题_Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。试卷类型:A绝密★启用前 2015 年湖北省八市高三年级三月联考 数 学(理工类)...
更多相关标签: