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2.3.1 双曲线及其标准方程


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

2.3.1 双曲线及其标准方程

2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程

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2.3.1 双曲线及其标准方程

[学

习目标] 1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

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[知识链接]

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取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一

点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开闭
拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什 么条件? 答案 如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常 数;如果改变一下位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到 另一条曲线.

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[预习导引]
1.双曲线的定义 差的绝对值 等于常 把平面内与两个定点F1,F2的距离的____________ 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做 两焦点间的距离 , ______________ 双曲线的焦点 叫做双曲线的焦 _________________

距.

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2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 x2 y2 - =1 a2 b2 (_________ a>0,b>0) 焦点在y轴上 y2 x2 - =1 a2 b2 (_________ a>0,b>0)

标准 方程 焦点 焦距

(0,-c) ,F2_______ (0,c) F1(-c,0),F2(c,0) F1____________ |F1F2|=2c,c2=__________ a2+b2

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要点一
例1

求双曲线的标准方程

根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15 16 (1)经过点 P(3, ),Q(- ,5); 4 3

(2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.
x2 y2 解 (1)法一 若焦点在 x 轴上, 设双曲线的方程为 2- 2= a b 1(a>0,b>0), 15 16 由于点 P(3, )和 Q(- ,5)在双曲线上, 4 3
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? 9 225 ?a2-16b2= 1, 所以? 25 ?256 - = 1, ? 9a2 b2
2 ? ?a =- 16, 解得? 2 (舍去). ? ?b =- 9

2.3.1 双曲线及其标准方程

若焦点在 y 轴上,设双曲线的方程为 y2 x2 - =1(a>0, b>0), a2 b2 ? 225 9 ?16a2-b2=1, 将 P、Q 两点坐标代入可得? 256 ?25 - =1, ? a2 9b2
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2 ? a ? = 9, 解之得? 2 ? ?b = 16,

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y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - = 1. 9 16 x2 y2 法二 设双曲线方程为 + = 1(mn<0). m n ∵ P、Q 两点在双曲线上, ? 9 225 ? ?m+16n=1, ?m=- 16, ∴? 解得? ? ?n= 9. ?256+25= 1, ? 9m n y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 16
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x2 y2 (2)法一 依题意可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0, b>0). a b ?a2+b2=6, 2 ? ? ?a = 5, 依题设有?25 4 解得? 2 ? ?b = 1, 2 - 2= 1, ? ?a b x2 2 ∴所求双曲线的标准方程为 - y = 1. 5 法二 ∵焦点在 x 轴上, c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 - = 1(其中 0<λ<6). λ 6-λ

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∵双曲线经过点 (-5, 2), 25 4 ∴ - =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). λ 6-λ x2 2 ∴所求双曲线的标准方程是 -y =1. 5 规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法

相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系
数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y 轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注 意到双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通 过解方程组即可确定m、n,避免了讨论,实为一种好方法.

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跟踪演练 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双曲线过 9 点(3,-4 2)和( ,5),求双曲线的标准方程; 4 x2 y2 (2)求与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双 16 4 曲线方程. y2 x2 解 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2- 2= 1(a>0, a b ?32 9 2 ? ? a2 -b2=1, ?a = 16, b>0),则? 解得? 2 81 ? ?b = 9, ?25 - =1, ? a2 16b2 y2 x2 ∴双曲线的方程为 - =1. 16 9
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x2 y2 (2)法一 设双曲线方程为 2- 2= 1. a b 由题意易求得 c= 2 5. 又双曲线过点 (3 2, 2), ( 3 2)2 4 ∴ - 2= 1. a2 b 又∵ a2+b2= (2 5)2, ∴a2= 12, b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8
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2.3.1 双曲线及其标准方程

法二

x2 y2 设双曲线方程为 - =1(-4<k<16), 16-k 4+k

将点(3 2,2)代入得 k=4, x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 12 8

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要点二
例2

2.3.1 双曲线及其标准方程

双曲线定义的应用
x2 y2 如图,若 F1,F2 是双曲线 - =1 的两个焦点. 9 16

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M 到另一个焦点的距离; (2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|· |PF2|=32,试求

△F1PF2的面积.
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x2 y2 双曲线的标准方程为 - =1,故 a= 3,b=4, c 9 16

= a2+ b2=5. (1)由双曲线的定义得||MF1|- |MF2||= 2a=6,又双曲线上 一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16, 假设点 M 到另一 个焦点的距离等于 x, 则|16- x|=6, 解得 x=10 或 x= 22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 6 或 22. (2)将||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=36,
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· |PF2| =36+2×32=100.
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在△ F1PF2 中,由余弦定理得 |PF1|2+ |PF2|2- |F1F2|2 cos∠ F1PF2= 2|PF1|· |PF2| 100- 100 = = 0, 2|PF1|· |PF2| ∴∠ F1PF2= 90°, 1 1 ∴ S△ F1PF2= |PF1 |· |PF2|= × 32= 16. 2 2

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规律方法

2.3.1 双曲线及其标准方程

(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知

该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已 知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注 意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应

该不小于c-a).
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意 定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次是要利用余弦定 理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中 要注意整体思想和一些变形技巧的应用.

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x2 y2 跟踪演练 2 已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1、 9 16 F2, 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=60°, 求△F1PF2 的面 积.
x2 y2 解 由 - =1,得 a=3,b= 4,c= 5. 9 16 由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|= ± 6, |F1F2|2= |PF1|2+|PF2|2- 2|PF1||PF2|cos 60°, 所以 102=(|PF1|- |PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 所以|PF1|· |PF2|= 64, 1 ∴S△ F1PF2= |PF1 |· |PF2|·sin∠ F1PF2 2 1 3 = × 64× =16 3. 2 2
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要点三 与双曲线有关的轨迹问题

2.3.1 双曲线及其标准方程

例 3 如图,在△ABC 中,已知|AB|=4 2,且三内角 A,B,C 满足 2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点 C 的 轨迹方程.



以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y

轴,建立平面直角坐标系如图所示,则 A(-2 2, 0), B(2 2,0).
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a b c 由正弦定理,得 sin A= ,sin B= ,sin C= (R 2R 2R 2R 为△ABC 的外接圆半径). ∵2sin A+sin C=2sin B, c ∴2a+c=2b,即 b-a= , 2 1 从而有|CA|-|CB|= |AB|=2 2<|AB|. 2
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由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点). ∵a= 2,c=2 2,∴b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为 x2 y2 - =1(x> 2). 2 6 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法

有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关 系,由双曲线的定义,得出对应的方程.

求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在
的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两 支.
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跟踪演练3

如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆

F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆
心M的轨迹方程.

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解 圆 F1: (x+ 5)2+ y2=1,圆心 F1(-5, 0),半径 r1 =1; 圆 F2: (x-5)2+ y2=42,圆心 F2(5,0),半径 r2= 4. 设动圆 M 的半径为 R, 则有 |MF1 |= R+1,|MF2 |=R+4, ∴|MF2|- |MF1 |=3<10=|F1F2|. ∴点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的左支,且 3 91 2 2 2 a= ,c= 5,于是 b = c -a = . 2 4 x2 y2 3 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 - = 1(x≤- ). 9 91 2 4 4

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x2 y2 x2 y2 1. 椭圆 - 2=1 和双曲线 2 - =1 有相同的焦点, 则实数 34 n n 16 n 的值是 ( )

A.±5
答案 解析 =±3. B

B.±3

C.5

D.9

由题意知34-n2=n2+16,∴2n2=18,n2=9.∴n

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线是

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2.若k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲 ( )

A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线 答案 C 解析 将已知方程化为标准形式,根据项的系数符号 y2 x2 进行判断.原方程可化为 2 - =1. k -1 1+k ∵k>1,∴k2-1>0,1+k>0. ∴已知方程表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线.
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b 3.过点(1,1)且a= 2的双曲线的标准方程是 x2 2 y2 A. -y =1 B. -x2=1 1 1 2 2
2 y C.x2- =1 1 2

(

)

x2 2 y2 D. -y =1 或 -x2=1 1 1 2 2

答案

D

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b 解析 由于 = 2,∴ b2= 2a2.当焦点在 x 轴上时,设双曲线 a x2 y2 1 2 方程为 2- 2= 1,代入 (1,1)点,得 a = .此时双曲线方程 a 2a 2 x2 2 为 - y = 1.同理求得焦点在 y 轴上时, 1 2 y2 双曲线方程为 - x2= 1. 1 2

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4.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1| -|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是
x2 y2 A. - =1(x≤-4) 16 9 x2 y2 B. - =1(x≤-3) 9 16 x2 y2 C. - =1(x≥4) 16 9 x2 y2 D. - =1(x≥3) 9 16 答案 D

(

)

解析

根据双曲线的定义可得.
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2.3.1 双曲线及其标准方程

1.双曲线定义中||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值 符号,当2a=|F1F2|时表示两条射线. 2.在双曲线的标准方程中,a>b不一定成立.要注意与椭圆 中a,b,c的区别.在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2= a2+b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在 的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c的方程 组. 如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用 形如mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.
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