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四川省成都外国语学校理数


成都外国语学校高 2012 级 2 月考试题
密……………………………………………………封………………………………………………… 线
数 学(理科) 试题分第I卷和第Ⅱ 卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ 卷 一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.复数

z 满足方程: z ? ( z ? 2)i ,则 z 所对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 ) D.第四象限

①? ∥? ? l ? m 其中正确命题的序号是( A.① ③ ② 7.在数列 { xn } 中,

②? ⊥? ? l ∥m ) B.② ④ ③

③l ∥m ? ? ⊥?

④l ? m ? ? ∥?

C.① ③

D.② ④ )

2 1 1 2 2 ? ? ( n ? 2) ,且 x2 ? , x4 ? ,则 x10 ? ( xn xn ?1 xn ?1 3 5
B.

A.

2 11

1 6

C.

1 12

D.

1 5
A

8.如图,正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A, B , C , D , E 染上红,黄,绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点 所染颜色不同,则不同的染色方法共有( A.30 种 C.24 种
2

) B.27 种 D.21 种 )
E D

B

准考证号

C.第三象限

2.设集合 U ? ?? x, y ? x ? R, y ? R?, A ? ?? x, y ? 2x ? y ? m ? 0? , B ? ?? x, y ? x ? y ? n ? 0? ,那么点

C
第 8 题图

P(2,3) ? A ? ? ? B ? 的充要条件是( U
A. m ? ?1, n ? 5

) C. m ? ?1, n ? 5 D. m ? ?1, n ? 5

9.已知函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ?1) ,若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则(

B. m ? ?1, n ? 5

f ( x1 ) f ( x2 ) ? A. x1 x2
C.

f ( x1 ) f ( x2 ) ? B. x1 x2
D.无法判断

座位号

3.将函数 y ? sin( x ? )( x ? R) 的图像上所有的点向左平行移动

? 6

? 个单位长度,再把图像上各点的横坐标 4


f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

f ( x2 ) f ( x1 ) 与 的大小 x2 x1

扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图像的解析式为( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?

10. 定义:若数列 {an } 为任意的正整数 n,都有 an ?1 ? an ? d (d 为常数 ) ,则称 {an } 为“绝对和数列”,d 叫做“绝对公和” .已知“绝对和数列” {an } 中, a1 ? 2 ,绝对公和为 3,则其前 2009 项的和 S 2009 的最小 值为( A.-2009 11. 已知 F1 , F2 分别为双曲线 ) B.-3010 C.-3014 D.3028

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R) 2 12 x 2 5? )( x ? R) 24

x ? )( x ? R) 2 12

D. y ? sin( ?

4.已知直线 ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 有交点,且交点为“整点”,则满足条件的有序实数对( a , b )的个 数为( A.6 ) B.8 C.10 D.12

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,M 为双曲线上除顶点外的任意一点, a 2 b2
) D.

姓名

| 且 ?F1 MF2 的内切圆交实轴于点 N,则 | F1 N |? NF2 | 的值为(
A. b 2 B. a 2 C. c 2

??? ? ???? ? ??? 2 ? ???? 5.如图所示已知向量 OZ 与 OZ1 关于 x 轴对称, j =(0,1) ,则满足不等式 OZ ? j ? ZZ1 ≤0 的点 Z( x ,

a 2 ? b2 a

y )的集合用阴影表示为(
y x


y y y

12. 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在

D 上 为 非 减 函 数 . 设 函 数 f ( x) 在 [0 , 1] 上 为 非 减 函 数 , 且 满 足 以 下 三 个 条 件 : ① f (0) ? 0 ;
②f ( ) ?

学校

x 3

1 1 1 f ( x) ;③ f (1 ? x ) ? 1 ? f ( x ) ,则 f ( ) ? f ( ) 等于( 2 3 8
B.

) D.

x x

x

A.

3 4

1 2
第Ⅱ 卷

C.1 (非选择题)

2 3

A

B
第 5 题图

C

D

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上。

6.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题:
1 2

13.若多项式 x ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a0 ? a2 ? ? ? a8 ? 14. 在平面几何里, 已知 Rt?SAB 的两边 SA, SB 互相垂直, SA ? a, SB ? b ,则 AB 边上的高 h ? 且



ab a ? b2
2



现在把结论类比到空间:三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱 SA, SB , SC 两两相互垂直, SH ? 平面 ABC ,且

SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则点 S 到平面 ABC 的距离 h ? ?



? 25 ? a, 为 15 . 记 max{ b } a , b 两 数 的 最 大 值 , 当 正 数 x, y( x ? y) 变化 时 , t ? max ? x 2 , ? 的最 小值 y( x ? y) ? ?
为 . 18. (本小题满分 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘 一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停 x1+x2 f(x1)+f(x2) )> ; 2 2 在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消 费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (Ⅰ )若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (Ⅱ )若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记
?1

16.给出下列四个命题: →→ →→ ① “向量 a , b 的夹角为锐角”的充要条件是“ a · >0”; b ② 如果 f(x)=lgx,则对任意的 x1、x2?(0,+?),且 x1?x2,都有 f(

A
C
60?

③ f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意 x?[a,b],都有|f(x)?g(x)|?1 成立,则称 f(x) 设 和 g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间[a,b]称为“密切区间”.若 f(x)=x2?3x+4 与 g(x)=2x?3 在[a,b]上是“密切 函数”,则其“密切区间”可以是[2,3]; ④ 记函数 y=f(x)的反函数为 y=f
?1

B

第 18 题图

(x),要得到 y=f

(1?x)的图象,可以先将 y=f(x)的图象关于直线 y=x 做对

为 X (元) .求随机变量 X 的分布列和数学期望.

称变换,再将所得的图象关于 y 轴做对称变换,再将所得的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位,即得到 y=f
?1

(1?x)的图象.其中真命题的序号是

。(请写出所有真命题的序号)

三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x. (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程; (Ⅱ )设函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x), 求 g ( x) 的值域.

? 3

3

4

…………………………………………………封………………………………………………… 线

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC , 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 { xn } 满足 x1 ? 4 , xn ?1 ?
A1
B1
2 xn ? 3 . 2 xn ? 4

……………………………………………封………………………………………………… 线

且 AB ? BC ,O 为 AC 中点. (Ⅰ )证明: A1O ? 平面 ABC ; (Ⅱ )求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值; (Ⅲ )在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB , 若不存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.
A
O
C

C1

(Ⅰ )求证: xn ? 3 ; (Ⅱ )求证: xn ?1 ? xn ; (Ⅲ )求数列 { xn } 的通项公式.

B
第 19 题图

姓名

座位号

准考证号

5

6

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 2 a 2 b2

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

(Ⅰ )若函数在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?
2

1 2

() 0 , (Ⅱ 设 P4 )

,A ,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,

证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

???? ???? ? (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范围.

(Ⅲ )求证 ?(n ? 1) ? ? (n ? 1) ? en?2 (n ? N? ) . !

7

8

…………………………………封………………………………………………… 线

x ? y ? 6 ? 0 相切.

1 ? ln x . x

(II) g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x) ? sin 2 (2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? [sin(2 x ? ) ? ]2 ? . 当 sin(2 x ? ) ? ?

? 6

? 6

? 6

1 2

1 4

? 6

1 时, 2

1 g ( x) 取得最小值 ? , 4
当 sin(2 x ? ) ? 1 时,

? 6

? g ( x) 取得最大值 2,所以 g ( x) 的值域为 [? , 2]. 4
18.解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P( A) ? 成都外国语学校 2012 级 2 月月考数学试题(理) 参考答案

1 1 1 , P( B) ? , P(C) ? . 6 3 2

(Ⅰ )若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

…………………………………封………………………………………………… 线

一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 C 10 B 11 A 12 A

? P ? P( A) ? P( B) ?

1 1 1 ? ? 6 3 2
1 . 2

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (Ⅱ )由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上。 13.510 14.
abc a b ?b c ?c a
2 2 2 2 2 2

1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? ; 2 2 4

15.10

16.② ③

准考证号

1 1 1 P( X ? 30) ? ? ? 2 ? ; 2 3 3

三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解: (I) f ( x) ?

1 3 cos 2 x ? sin 2x ? sin 2 x ? cos2 x 2 2

1 1 1 1 5 P( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? ; 2 6 3 3 18
1 1 1 P( X ? 90) ? ? ? 2 ? ; 3 6 9 1 1 1 P( X ? 120) ? ? ? . 6 6 36
所以,随机变量 X 的分布列为:

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

座位号

∴ 最小正周期 T ? 由 2x ? 得x?

2? ?? 2

? ? ? k ? ? (k ? Z) , 6 2

P

0

30

60

90

120

k? ? ? (k ? Z) 2 3 k? ? ? (k ? Z). 2 3

X

1 4

1 3

5 18

1 9


1 36

姓名

函数图象的对称轴方程为 x ?

其数学期望 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ?

1 4

1 3

5 1 1 ? 90 ? ? 120 ? ? 40 18 9 36

9

10

19.解: )证明:因为 A1 A ? A1C ,且 O 为 AC 的中点, (Ⅰ 所以 A1O ? AC . 又由题意可知,平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 A1O ? 平面 AA1C1C , 所以 A1O ? 平面 ABC . (Ⅱ )如图,以 O 为原点, OB, OC , OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? A1C ? AC ? 2, 又 AB ? BC , AB ? BC ;

xn ?1 ? 3 ?

2 xn ? 3 ( x ? 3) 2 ?3 ? n ? 0. 2 xn ? 4 2 xn ? 4

所以 xn ?1 ? 3 . 即 n ? k ? 1 时,结论成立. 由 1)2)可知对任意的正整数 n ,都有 xn ? 3 . (Ⅱ )证明: xn ?1 ? xn ? 因为 xn ? 3 ,所以
2 xn ? 3 ? x 2 ? 4 xn ? 3 ?( xn ? 1)( xn ? 3) ? xn ? n ? . 2 xn ? 4 2 xn ? 4 2 xn ? 4

? OB ?

1 AC ? 1 . 2
???? ??? ?

所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0, 2, 3), B(1,0,0) 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0). 1 设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有

?( xn ? 1)( xn ? 3) ? 0 ,即 xn ?1 ? xn ? 0 . 2 xn ? 4

???? ?

所以 xn ?1 ? xn .
A1

z
B1

C1

(Ⅲ )解: xn ?1 ? 1 ?

???? ?n ? AA1 ? 0 ? 3 ? ? y ? 3z ? 0 ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? ? ??? 3 ? x? y ?0 ? n ? AB ? 0 ? ?
所以 n ? ( ?1,1, ?

2 xn ? 3 ( x ? 1) 2 ?1 ? n , 2 xn ? 4 2 xn ? 4

xn ?1 ? 3 ?
A
O
C

2 xn ? 3 ( x ? 3) 2 ?3 ? n , 2 xn ? 4 2 xn ? 4

3 ). 3 ???? ? ???? ? n ? A1C 21 ???? ? ? cos ? n, A1C ?? . 7 | n || A1C |

y

所以 又

xn ?1 ? 1 x ?1 2 ?( n ) . xn ?1 ? 3 xn ? 3

B

x

答案第 19 题图

x1 ? 1 4 ? 1 ? ? 3, x1 ? 3 4 ? 3 xn ?1 ? 1 x ?1 ? 2 log 3 n . xn ?1 ? 3 xn ? 3

???? ? 因为直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角 ? 和向量 n 与 A1C 所成锐角互余,所以 sin ? ?
(Ⅲ )设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 ,

21 . 7

所以 log 3 又 log 3

??? ?

???? ?

? x0 ? 1 ? ? ? 即 ( x0 ?1, y0 , z0 ) ? ? (?1, 2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3? ??? ? 所以 E ? (1 ? ? , 2? , 3? ), 得 OE ? (1 ? ?, 2?, 3? ), ??? ? 令 OE // 平面 A1 AB ,得 OE ? n = 0 ,
即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ?

令 an ? log 3

xn ? 1 ,则数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列. xn ? 3

所以 an ? 2n ?1 . 由 an ? log 3 所以 xn ?

xn ? 1 x ?1 ? 3an . ,得 n xn ? 3 xn ? 3
n ?1

1 , 2

3an ?1 ? 1 32 ?1 ? 1 ? 2n?1 . 3an ? 1 3 ?1

即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点. 20.解:(Ⅰ 证明:用数学归纳法证明 ) (1)当 n ? 1 时, x1 ? 4 ? 3 .所以结论成立. (2)假设 n ? k (n ? 1) 时结论成立,即 xn ? 3 ,则

21.解: )由题意知 e ? (Ⅰ 所以 e2 ? 即 a2 ?

c 1 ? , a 2

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? . 4 a2 a2

4 2 b . 3

11

12

………封………………………………………………… 线

x1 ? 1 ?1, x1 ? 3

又因为 b ?
2

6 1?1
2

? 3,

当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 . 解得: M (1, ? ) , N (1, ? ) . 此时 OM ? ON ? ?

所以 a ? 4 , b ? 3 . 故椭圆 C 的方程为

3 2

3 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

???? ???? ?

5 . 4 4

(Ⅱ )由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

???? ???? ? 5 所以 OM ? ON 的取值范围是 [?4, ? ] .
22.解: )因为 f ( x) ? (Ⅰ

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4

得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 .



1 ? ln x x

, x ? 0 ,则 f ?( x) ? ?

ln x , x

设点 B( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .

当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ( x) 在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值,

y ? y1 ( x ? x2 ) . 直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 2 x2 ? x1
令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ( x2 ? x1 ) . y2 ? y1

1 2

将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 整理,得 x ?

所以 ? ②

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 ? 8

?a ? 1 ? , 1 ?a ? 2 ? 1 ?

解得

1 ? a ? 1. 2

由① 得 x1 ? x2 ?

32k 64k ? 12 , x1 x2 ? 代入② 2 4k ? 3 4k 2 ? 3
2 2

(Ⅱ )不等式 f ( x) ? 即为

k , x ?1

整理,得 x ? 1 . 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0) .

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) ? k , 记 g ( x) ? , x x
[( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x ? , x2 x2 1 ,? x ? 1,? h?( x) ? 0. x

所以 g ?( x) ?

……封………………………………………………… 线

(Ⅲ )当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? m( x ? 1) ,且

M ( xM , yM ) , N ( xN , y N ) 在椭圆 C 上.

令 h( x) ? x ? ln x, 则 h?( x) ? 1 ?

? y ? m( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
易知 ? ? 0 .

? h ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增, ?[h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,
得 (4m ? 3) x ? 8m x ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2 2

从而 g ?( x) ? 0 故 g ( x) 在 [1, ??) 上也单调递增, ?[ g ( x)]min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 (Ⅲ )由(Ⅱ )知: f ( x) ?

8m2 4m2 ?12 9m2 所以 xM ? xN ? , xM xN ? , yM yN ? ? . 2 2 4m ? 3 4m ? 3 4m2 ? 3
???? ???? ? 5m 2 ? 12 5 33 ?? ? 则 OM ? ON ? xM xN ? yM yN ? ? . 2 4 4(4m 2 ? 3) 4m ? 3
因为 m2 ? 0 ,所以 ?

2 x ?1 2 2 恒成立,即 ln x ? ? 1? ? 1? , x ?1 x ?1 x ?1 x
2 , n(n ? 1)

准考证号

令 x ? n(n ? 1) ,则 ln[ n( n ? 1)] ? 1 ? 所以 ln(1? 2) ? 1 ?

11 33 ?? ?0. 4 4(4m 2 ? 3)

2 , 1? 2

座位号

???? ???? ? 5 所以 OM ? ON ? [?4, ? ) . 4
13

ln(2 ? 3) ? 1 ?

2 , 2?3

14

ln(3 ? 4) ? 1 ?

2 , 3? 4
2 . n(n ? 1) 1 1 1 ] ? ?… n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3

………… ……

ln[n(n ? 1)] ? 1 ?

叠加得: ln[1? 22 ? 32 ? … n2 ? (n ? 1)] ? n ? 2[

? n ? 2(1 ?

1 1 ) ? n?2? ? n?2 n ?1 n ?1

则 1? 22 ? 32 ? … n 2 ? (n ? 1) ? en ? 2 , 所以 ?(n ? 1) ? ? (n ? 1) ? en?2 (n ? N? ) !
2

15

16


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