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山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高二数学测试题12


第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
2 1、 命题:“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(



,或 x ? ?1 A.若 x ? 1

,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1
2.抛物线 y ? ? A. x ?

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

1 2 x 的准线方程是( 8



1 1 B. y ? 2 C. y ? D. y ? ?2 32 32 3 、 已 知 ?an ? 是 公 差 为 ? 2 的 等 差 数 列 , 若 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 ? ?82 , 则 A . 50 B . 150 C . ? 50 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 等于( ) D. ? 82 4、已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ? p 是( ) ?x ? R,sin x ? 1 ?x ? R,sin x ? 1 C、 ?x ? R,sin x ? 1 ?x ? R,sin x ? 1 A、 B、 D、

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线的方程是( 5、以椭圆 5 8



2 2 2 2 2 2 2 2 A. x ? y ? 1 B. y ? x ? 1 C. x ? y ? 1 D. y ? x ? 1 3 5 3 5 5 3 5 3 6、在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cosC 等于( ) A.2/3 B.-2/3 C.-1/3 D.-1/4

7.设命题甲为: 0 ? x ? 5 ,命题乙为 x ? 2 ? 3 ,则甲是乙的( A.充分不必要条件 要条件 B.必要不充分条件

) D.既不充分又不必

C.充要条件

8、不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. (??,2) B. ?? 2,2 ? C. ( ?2, 2? D. (??,?2)



9.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若⊿ AB F2 是正三角形,则这个椭圆的离心率为 ( )

A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

10、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的金属 2 2 板,每张面积分别为 2m 、3 m ,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金属 板可造甲、乙产品各 6 个,则 A、B 两种金属板各取多少张时,能完成计划并能使总用料 面积最省? (A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B

用5张

第Ⅱ卷(选择题

共 50 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x ,y 互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题; 2 ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”. 其中真命题的的序号为_____ 12.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9



? x ?1 ? 1 ? 13 题、设 x , y 满足约束条件: ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
值为 . 14.有一隧道, 内设双行线公路, 同方向有两个车道 (共有四个车道) , 每个车道宽为 3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构 成,如图所示。为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶) 与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m ,靠近中轴线 的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时, 慢车道的限制高度为 .(精确到 0.1m ) 15.定义一种运算 “※” 对于任意非零自然数 n 满足以下的运算性质: (1)、1※1=1; (2)、(n+1)※1=3(n※1);则 n※1 关于 n 的代数式是_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知 p:-x2+8x+20≥0,q:1-m≤x≤1+m(m>0).若“非 p”是“非 q”的充分不必要条件,求实 数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项的和记为 Sn .如果 a4 ? ?12, a8 ? ?4 . (1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求 Sn 的最小值及其相应的 n 的值;(3)从数列 {an } 中 依次取出 a1 , a2 , a4 , a8 ,..., a2n?1 ,... ,构成一个新的数列 {bn } ,求 {bn } 的前 n 项和.

18.(本小题满分 12 分)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且an是Sn 和 1 的等差中项,等差数列

?bn?满足b1 ? a1, b4 ? S3 .
(I)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (II)设 cn ?

bn , 求数列?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

19.(本小题满分 12 分)现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为 500 海里,已知该船最大速 度为 45 海里/小时,每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮 船速度的平方成正比,其余费用为每小时 960 元。 已知轮船速度为 20 海里/小时的全程运输成 本为 30000 元。 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/小时)的函数;(2)为了使全程运输成本 最小,轮船应为多大速度行驶?

20.(本小题满分 13 分)如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右 a2 b2

两个焦点,A、B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 2 4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭 圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

21.(本小题满分 14 分)直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A,B 两点,F 是抛物线的焦点。
2

(1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA? OB ? ?3 ”是真命题 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), D( x3, y3) 是抛物线上三点,且 | AF |,| BF |,| DF | 成等差数列。 当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(3 ,0)时,求点 B 的坐标。

??? ? ??? ?

参考答案:
2 一、选择题(50 分):1、 命题:“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( D )

,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1
2 .抛物线 y ? ? D. y ? ?2

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

1 2 1 x 的准线方程是( B ) A . x ? 8 32

B. y ? 2

C. y ?

1 32

3 、 已 知 ?an ? 是 公 差 为 ? 2 的 等 差 数 列 , 若 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 ? ?82 , 则 A )A.50 B. 150 C. ? 50 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 等于( D. ? 82 4、已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ? p 是( C ) A、?x ? R,sin x ? 1 B、?x ? R,sin x ? 1 C、?x ? R,sin x ? 1 D、?x ? R,sin x ? 1

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线的方程是( B 5、以椭圆 5 8



2 2 2 2 2 2 2 2 A. x ? y ? 1 B. y ? x ? 1 C. x ? y ? 1 D. y ? x ? 1 3 5 3 5 5 3 5 3 6、在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cosC 等于 ( D )

A.

2 3.

B. ?

2 3

C. ?

1 3

D. ?

1 4

7.设命题甲为: 0 ? x ? 5 ,命题乙为 x ? 2 ? 3 ,则甲是乙的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

8、不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( C ) A. (??,2) B. ?? 2,2 ? C. ( ?2, 2? D. (??,?2)

9.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若⊿ AB F2 是正三角形,则这个椭圆的离心率为( A )

A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

10、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的金属 2 2 板,每张面积分别为 2m 、3 m ,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金属 板可造甲、乙产品各 6 个,则 A、B 两种金属板各取多少张时,能完成计划并能使总用料 面积最省?( A )

(A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B 用5张 二、填空题(25 分): 11 题、有下 列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x ,y 互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题; 2 ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”. 其 中真命题的的序号为_____①③ 12 题 、 如 果 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 弦 被 点 (4 , 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 36 9

x ? 2y ? 8 ? 0



? x ?1 ? 1 ? 13 题、设 x , y 满足约束条件: ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
14 题、有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个 车道) ,每个车道宽为 3m,此隧道的 截面由一个长方形和一 抛物线构成,如图所示。为保证安全,要求行驶车辆顶部(设 为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m ,靠 近中轴线的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过 隧道时,慢车道的限 制高度为 4.3 .(精确到 0.1m ) 15 题、定义一种运算“※”对于任意非零自然数 n 满足以下的运算性质:

-6

.

① 1※1=1;② (n+1)※1=3(n※1).则 n※1 关于 n 的代数式是_______ an ? 3n?1 .__. 三、解答题: 16 题(12 分)、已知 p:-x2+8x+20≥0,q:1-m ≤x≤1+m(m>0).若“非 p”是“非 q”的充分 不必要条件,求实数 m 的取值范围. 解法:p:-x2+8x+20≥0 ? x∈因为“非 p”是“非 q”的充分不必要条件,所以 q ? p ∴?

?1 ? m ? ?2 ?m∈ ?0,3? ?1 ? m ? 10

17 题(12 分)、已知等差数列 {an } 的前 n 项的和记为 Sn .如果 a4 ? ?12, a8 ? ?4 . (1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求 Sn 的最小值及其相应的 n 的值;(3)从数列 {an } 中 依次取出 a1 , a2 , a4 , a8 ,..., a2n?1 ,... ,构成一个新的数列 {bn } ,求 {bn } 的前 n 项和.

?a4 ? ?12 ?a1 ? 3d ? ?12 ? d ?2 解 ( : 1) 设公差为 d, 由题意, 可得 ? , 解得 ? , 所以 an ? 2n ? 20 ?? ? a1 ? ?18 ? a1 ? 7d ? ?4 ? a8 ? ?4

(2) 由数列 {an } 的通项公式可知, 当 n ? 9 时, 当 n ? 10 时, 当 n ? 11 时, an ? 0 , an ? 0 , an ? 0 。 所以当 n=9 或 n=10 时,Sn 取得最小值 为 S9 ? S10 ? ?90 。 (3) 记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 由题意可知
?1 bn ? a2n?1 ? ?1 8? ( n2 ? ? 1 ) ? 2n ?2 所以 20

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (21 ? 20) ? (22 ? 20) ? (23 ? 20) ? ? ? (2n ? 20)

? (21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 20n
? 2 ? 2n ?1 ? 20n ? 2n ?1 ? 20n ? 2 1? 2

18、 20(12 分)、如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为 a2 b2

两个顶点,已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦 2 点坐标;(Ⅱ)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.
2 1 (3 3 2) ? ? 1, ( 1 , ) 解: (Ⅰ)由题设知:2a = 4,即 a = 2 将点 代入椭圆方程得 2 2 2 b2
2 2 解得 b2 = 3∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 x ? y ? 1 ,焦点 F1、F2 的坐 4 3 标分别为(-1,0)和(1,0)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3) , ? k PQ ? k AB ?

3 , ∴PQ 所在直 2

? 3 y? ( x ? 1) ? 3 ? 2 线方程为 y ? 得 8 y 2 ? 4 3 y ? 9 ? 0 设 P (x1,y1),Q (x2,y2), ( x ? 1) , 由 ? 2 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4

则 y1 ? y 2 ? ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , ? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 3 ? 4 ? 9 ? 21 2 8 4 8 2
1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

? S ?F1PQ ?

21(13 分)、直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A,B 两点,F 是抛物线的焦点。 (1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA? OB ? ?3 ”是真命题 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), D( x3, y3) 是抛物线上三点,且 | AF |,| BF |,| DF | 成等差数列。 当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(3,0)时,求点 B 的坐标。 解、(1)①当 k 不存在,直线 l : x ? 3 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? ?2 3 此时,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? OB ? 9 ? 12 ? ?3 ,命题成立。②当 k 存在,设直线 l 的方程: A(3, 2 3), B(3, ?2 3) , OA? 4 y ? k ( x ? 3) 代 y 2 ? 4x 消 x 得, y 2 ? y ? 12 ? 0 ,设 k 4 y1 ? y2 ? y y 1 3 { k ? x1 x2 ? ( 1 ? 3)( 2 ? 3) ? 2 y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 9 ? 9 k k k k A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 y2 ? ?12 ??? ? ??? ? ? OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 9 ? 12 ? ?3 综上,命题成立。(2)由 | AF |,| BF |,| DF | 成等差,则 2 | BF |?| AF | ? | DF | 即 p p p 2( x2 ? ) ? x1 ? ? x3 ? ? 2 x2 ? x1 ? x3 直 线 AD 斜 率 2 2 2 4 2 y ?y y ?y 4 1 y3 ? y1 ? ,设 AD 中点为 ( x2 , ) 故 AD 的垂直 所以, k? 3 ? 1 ? 3 k k x3 ? x1 1 ( y 2 ? y 2 ) y3 ? y1 3 1 4 2 1 平分线为 y ? ? ? ( x ? x2 ) 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ? x2 即 2 ? x2 ? 3,? x2 ? 1,代入 y 2 ? 4 x 得 k k y ? ?2 故 B(1, 2) 或 B(1, ?2)


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