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【解析版】山东省济南一中2012-2013学年高二(下)期末数学试卷(文科)


山东省济南一中 2012-2013 学年高二 (下) 期末数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 80 分,每题只有一个正确选项. ) 1. (5 分) (2012?浙江)已知 i 是虚数单位,则 A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i =( ) D.1+2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可对复数代

数式分子与分母都乘以 1+i,再由进行计算即可得到答案 解答: 解:
.

故选 D 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数 的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握 2. (5 分) (2013?眉山二模)命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是( ) A. B. 不存在 x0∈R, >0 存在 x0∈R, ≥0 C. 对任意的 x∈R,2 ≤0 考点: 命题的否定. 分析: 根据命题“存在 x0∈R,
.

x0

x

D.对任意的 x∈R,2 >0

x

≤0”是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任意

的”,将“≤”改为“>”即可得到答案. 解答: 解:∵ 命题“存在 x0∈R, ≤0”是特称命题 ∴ 否定命题为:对任意的 x∈R,2 >0. 故选 D. 点评: 本题主要考查特称命题与全称命题的转化问题. 3. (5 分) (2013?潮州二模)抛物线 y=x 的焦点坐标为( A. B. C. ( ,0) ( ,0) (0, )
2 x

) D. (0, )

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先把抛物线整理标准方程, 进而可判断出焦点所在的坐标轴和 p, 进而求得焦点坐标. 2 解答: 解:整理抛物线方程得 x =y
.

∴ 焦点在 y 轴,p= ∴ 焦点坐标为(0, ) 故选 D.

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 求抛物线的焦点时, 注意抛物线焦点所在的位置, 以及抛物线的开口方向.属于基础题. 4. (5 分)函数 y=x cosx 的导数为( 2 A.y′ =2xcosx﹣x sinx 2 C. y′ =x cosx﹣2xsinx
2


2 B. y′ =2xcosx+x sinx 2 D.y′ =xcosx﹣x sinx

考点: 导数的乘法与除法法则. 专题: 计算题. 分析: 利用两个函数的积的导数法则,求出函数的导函数. 2 2 2 解答: 解:y′ =(x )′ cosx+x (cosx)′ =2xcosx﹣x sinx 故选 A 点评: 求函数的导函数, 关键是判断出函数的形式, 然后据函数的形式选择合适的求导法则.
.

5. (5 分)命题:“若 a>0,则 a >0”的否命题是( ) 2 2 A.若 a >0,则 a>0 B.若 a<0,则 a <0 C.若 a≤0,则 a2≤0

2

D.若 a≤0,则 a2≤0

考点: 四种命题. 专题: 阅读型. 2 分析: 否命题是将条件, 结论同时否定, 若 a>0, 则 a >0”的否命题是把条件和结论都否定, 得到结果. 解答: 解:否命题是将条件,结论同时否定, 2 ∴ 若 a>0,则 a >0”的否命题是 2 若 a≤0,则 a ≤0, 故答案为:C 点评: 本题考查命题的否命题: 是将条件, 结论同时否定, 注意否命题与命题的否定的区别.
.

6. (5 分) (2011?江西模拟)f′ (x0)=0 是函数 f(x)在点 x0 处取极值的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件



考点: 函数在某点取得极值的条件;充要条件. 专题: 计算题. 分析: 结合极值的定义可知必要性成立,而充分性中除了要求 f′ (x0)=0 外,还的要求在 两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化) ,通过反例可知充分性不成立. 3 2 解答: 解:如 y=x ,y′ =3x ,y′ |x=0=0,但 x=0 不是函数的极值点. 若函数在 x0 取得极值,由定义可知 f′ (x0)=0 所以 f′ (x0)=0 是 x0 为函数 y=f(x)的极值点的必要不充分条件 故选 B 点评: 本题主要考查函数取得极值的条件:函数在 x0 处取得极值?f′ (x0)=0,且 f′ (x< x0)?f′ (x>x0)<0
.

7. (5 分)设 p:x ﹣5x<0,q:|x﹣2|<3,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

2

C. 充要条件

D.既不充分又不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 探究型. 分析: 先分别求出不等式对应的解.利用充分条件和必要条件的定义去判断. 2 解答: 解:由 x ﹣5x<0,得 0<x<5.即 p:0<x<5. 由|x﹣2|<3,得﹣3<x﹣2<3,即﹣1<x<5. 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 先将一元二次不等式和绝对值不等式进行 化简是解决本题的关键.
.

8. (5 分)按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x=3,则输出的 x 的值是(



A.6

B.21

C.156

D.231

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 根据程序可知,输入 x,计算出
.

的值,若 , 再计算

≤100,然后再把 的值, 直到 >100,

作为 x, 输入 再输出. 解答: 解:∵ x=3, ∴ ∵ 6<100, ∴ 当 x=6 时, ∴ 当 x=21 时, =6,

=21<100, =231>100,停止循环

则最后输出的结果是 231, 故选 D. 点评: 此题考查的知识点是代数式求值,解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序. 9. (5 分)下面使用类比推理恰当的是( ) A.“若 a?3=b?3,则 a=b”类推出“若 a?0=b?0,则 a=b” B. “若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a?b)c=ac?bc” C. “(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”

考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义, 即是否是由 特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程. 另外还要看这个推理过程是否符合实数的 性质. 解答: 解:对于 A:“若 a?3=b?3,则 a=b”类推出“若 a?0=b?0,则 a=b”是错误的,因为 0 乘 任何数都等于 0, 对于 B:“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a?b)c=ac?bc”,类推的结果不符合乘法的运 算性质,故错误,
.

对于 C:将乘法类推除法,即由“(a+b)c=ac+bc”类推出“
n n n n n n

= + ”是正确的,
2 2 2

对于 D:“(ab) =a b ”类推出“(a+b) =a +b ”是错误的,如(1+1) =1 +1 故选 C 点评: 归纳推理与类比推理不一定正确,我们在进行类比推理时,一定要注意对结论进行进 一步的论证,如果要证明一个结论是正确的,要经过严密的论证,但要证明一个结论 是错误的,只需要举出一个反例.

10. (5 分) (2013?延庆县一模)已知双曲线
2

(a>0,b>0)的离心率为 2,一 ) D.y=±

个焦点与抛物线 y =16x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( A. B. C. y=± y=± y=±

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的标准方程,得焦点坐标为 F(4,0) ,也是双曲线的右焦点,得 c=4.根据
.

双曲线的离心率为 2,得 a= c=1,从而得到 b=

,结合双曲线的渐近线方程公式,

可得本题的答案. 2 2 解答: 解:∵ 抛物线 y =16x 的焦点坐标为 F(4,0) ,双曲线一个焦点与抛物线 y =16x 的焦 点相同, ∴ 双曲线右焦点为 F(4,0) ,得 c=2 ∵ 双曲线的离心率为 2, ∴ =2,得 c=2a=2,a=1,由此可得 b= = ,

∵ 双曲线

的渐近线方程为 y=

x

∴ 已知双曲线的渐近线方程为 y= x 故选 D 点评: 本题给出双曲线的离心率,求双曲线的渐近线方程,着重考查了抛物线和双曲线的简 单几何性质等知识,属于基础题.

11. (5 分)曲线 y=2x﹣x 在点(1,﹣1)处切线的倾斜角为( A. B. C.

3

) D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由求导公式和法则求出导数, 把 x=1 代入再求出切线的斜率, 进而求出切线的倾斜角. 2 解答: 解:由题意得,y′ =2﹣3x , ∴ 在点(1,﹣1)处切线的斜率是﹣1,
.

则在点(1,﹣1)处切线的倾斜角是



故选 C. 点评: 本题考查了导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率的关系,即某点处的切线的斜 率是该点处的导数值. 12. (5 分) (2012?江门一模)有人收集了春节期间平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有 关数据如下表: 平均气温(℃ ) ﹣2﹣3﹣5﹣6 销售额(万元)20 23 27 30 根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额 y 与平均气温 x 之间线性回归方程 y= x+a 的系数 A.34.6 万元 .则预测平均气温为﹣8℃ 时该商品销售额为( B.35.6 万元 C.36.6 万元 ) D.37.6 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出横标和纵标的平均数,写出样本中心点,根据所给的 的值,写出线性回归方
.

程,把样本中心点代入求出 a 的值,再代入数值进行预测. 解答: 解: = =﹣4, = =25 ∴ 这组数据的样本中心点是(﹣4,25) ∵ . ,

∴ y=﹣2.4x+a, 把样本中心点代入得 a=34.6 ∴ 线性回归方程是 y=﹣2.4x+15.4 当 x=﹣8 时,y=34.6 故选 A. 点评: 本题主要考查线性回归方程,题目的条件告诉了线性回归方程的系数,省去了利用最 小二乘法来计算的过程,是一个基础题.

13. (5 分)点 P 在椭圆 的点 P 共有( A.4 个 ) B.5 个

上,F1,F2 为两个焦点,若△ F1PF2 为直角三角形,这样

C.6 个

D.8 个

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据以焦距 F1F2 为直径的圆和椭圆有 4 个交点,可得存在 4 个以 P 为直角顶点的直
.

角△ F1PF2,再由椭圆的对称性可得以 F1F2 为一条直角边的直角△ F1PF2 也有 4 个,由 此可得满足条件的点 P 共有 8 个. 解答: 解:∵ 椭圆方程是 ∴ a=5,b=3,可得 c= , =4

因此椭圆的焦点 F1(﹣4,0)和 F2(4,0) , 由 c>b 可得以 F1F2 为直径的圆和椭圆 有 4 个交点,

由直径所对的圆周角为直角,可得当 P 与这些交点重合时, △ F1PF2 为直角三角形; 当直角△ F1PF2 以 F1F2 为一条直角边时, 根据椭圆的对称性,可得存在四个满足条件的直角△ F1PF2 综上所述,能使△ F1PF2 为直角三角形的点 P 共有 8 个 故选:D

点评: 本题给出椭圆方程,求椭圆上能与焦点构成直角三角形的点 P 的个数,着重考查了椭 圆的定义与简单几何性质等知识,属于基础题. 14. (5 分)设 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′ (x)的图 象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 应用题. 分析: 根据函数与导数的关系:可知,当 f′ (x)≥0 时,函数 f(x)单调递增;当 f′ (x) <0 时,函数 f(x)单调递减,结合函数 y=f(x)的图象,利用排除法即可求解 解答: 解:根据函数与导数的关系:可知,当 f′ (x)≥0 时,函数 f(x)单调递增;当 f′ (x) <0 时,函数 f(x)单调递减 结合函数 dy=f(x)的图象可知,当 x<0 时,函数 f(x)单调递减,则 f′ (x)<0, 排除选项 A,C 当 x>0 时,函数 f(x)先单调递增,则 f′ (x)≥0,排除选项 B 故选 D 点评: 本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象,属于基础试题
.

15. (5 分) (2005?湖南)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′ (x) ,f2(x)=f1′ (x) ,…,fn+1(x) =fn′ (x) ,n∈N,则 f2005(x)=( ) A.sinx B.﹣sinx C.cosx D.﹣cosx 考点: 归纳推理. 专题: 计算题. 分析: 通过计算前几项,进行归纳分析,当计算到 f4(x)时发现 f4(x)=f0(x)出现了循
.

环,所以可看成以 4 为一个循环周期,那么 f2005(x)=f1(x)=cosx. 解答: 解:f0(x)=sinx,f1(x)=f0′ (x)=cosx,f2(x)=f1′ (x)=﹣sinx, f3(x)=f2′ (x)=﹣cosx,f4(x)=f3′ (x)=sinx,循环了 则 f2005(x)=f1(x)=cosx, 故选 C. 点评: 本题考查了计算型归纳推理,通过计算归纳一般规律. 16. (5 分)如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点.线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是( )

A.椭圆

B.圆

C.双曲线

D.直线

考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 计算题.

.

分析: 结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质,推导新的结论,熟练掌握双曲线的定义及 圆与直线的性质是解决问题的关键. 解答: 解:∵ A 为⊙ O 外一定点,P 为⊙ O 上一动点 线段 AP 的垂直平分线交直线 OP 于点 Q, 则 QA=QP,则 QA﹣Q0=QP﹣QO=OP=R 即动点 Q 到两定点 O、A 的距离差为定值, 根据双曲线的定义,可得点 P 的轨迹是:以 O,A 为焦点,OP 为实轴长的双曲线 故选 C. 点评: 双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹, 也可以定义为 到定点与定直线的距离之比是一个大于 1 的常数的点之轨迹. 二、填空题(本大题共 5 个题,每题 4 分,共 20 分,请将答案写到答题纸上.) 17. (4 分)若 表示双曲线, 则 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣1) ∪ (1, +∞) .

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 曲线表示双曲线,则分母异号,由此可得不等式,从而可确定 m 的取值范围. 解答: 解:由题意,∵ 表示双曲线,
.

∴ (1+m) (1﹣m)<0 ∴ m<﹣1 或 m>1 ∴ m 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪ (1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪ (1,+∞) . 点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查解不等式,属于基础题.

18. (4 分) (2007?湖北) 已知函数 y=f ( x) 的图象在 M (1, f (1) ) 处的切线方程是 f(1)+f′ (1)= 3 .

+2,

考点: 导数的运算. 分析: 先将 x=1 代入切线方程可求出 f(1) ,再由切点处的导数为切线斜率可求出 f'(1)的 值,最后相加即可. 解答: 解:由已知切点在切线上,所以 f(1)= ,切点处的导数为切线斜率,所以
.

, 所以 f(1)+f (1)=3 故答案为:3 点评: 本题主要考查导数的几何意义, 即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜 率.


19. (4 分)已知双曲线的渐近线方程为

,两顶点之间的距离为 4,双曲线的标准方

程为





考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的渐近线方程为 y=± x,且两顶点之间的距离为 4,可分焦点在 x 轴上还
.

是在 y 轴上,从而可求双曲线的标准方程. 解答: 解:由题意,∵ 双曲线的渐近线方程为 y=± x,且两顶点之间的距离为 4, (1)当双曲线的焦点在 y 轴上 设双曲线的方程为:y ﹣ x =k(k>0) 两顶点之间的距离为 4,∴ 2 ∴ 双曲线的方程为: (2)当双曲线的焦点在 x 轴上 设双曲线的方程为: x ﹣y =k(k>0) 两顶点之间的距离为 4,∴ 2×2 ∴ 双曲线的方程为: =4,k=1, ;
2 2 2 2

=4,k=4 ;

故答案为:





点评: 本题以双曲线的性质为载体,考查双曲线的标准方程,解题的关键是确定双曲线的焦 点在 x 轴上还是在 y 轴上. 20. (4 分) 三次函数 y=ax +x 在 (﹣∞, +∞) 内单调递增, 则实数 a 的取值范围是 a>0 . 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题. 分析: 求出函数 f(x)的导函数,令导函数大于等于 0 在(﹣∞,+∞)上恒成立,令二次 项的系数大于 0 即可. 2 解答: 解:∵ f′ (x)=3ax +1 3 又三次函数 y=ax +x 在(﹣∞,+∞)内单调递增 2 ∴ f′ (x)=3ax +1≥0 在(﹣∞,+∞)恒成立 ∴ a>0 故答案为:a>0. 点评: 解决函数的单调性已知求参数范围问题,常求出导函数,令导函数大于等于(或小于
.

3

等于)0 恒成立. 21. (4 分) (2011?山东)设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= , , , , (x>0) ,观察:

f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )=

… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn﹣1(x) )=
*



考点: 归纳推理. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 观察所给的前四项的结构特点,先观察分子,只有一项组成,并且没有变化,在观察 分母,有两部分组成,是一个一次函数,根据一次函数的一次项系数与常数项的变化 特点,得到结果. 解答: 解:∵ 函数 f(x)= (x>0) ,观察:
.

f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )= …

, , , ,

所给的函数式的分子不变都是 x, 而分母是由两部分的和组成, n 第一部分的系数分别是 1,3,7,15…2 ﹣1, n 第二部分的数分别是 2,4,8,16…2 ∴ fn(x)=f(fn﹣1(x) )=

故答案为:

点评: 本题考查归纳推理, 实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项 公式,本题是一个综合题目,知识点结合的比较巧妙. 三.简答题(本大题共 4 个题,共 50 分,请在答题纸上写出解答过程.) 22. (12 分)设复数 Z=lg(m ﹣2m﹣2)+(m +3m+2)i,试求 m 取何值时 (1)Z 是实数; (2)Z 是纯虚数; (3)Z 对应的点位于复平面的第一象限. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)由复数的虚部 m +3m+2=0 且 m ﹣2m﹣2>0 时,求得 m 的范围.
.

2

2

(2)由实部 lg(m ﹣2m﹣2)=0,且虚部(m +3m+2)≠0,求得 m 的值,即为所求. 2 2 (3)由实部 lg(m ﹣2m﹣2)>0,且虚部(m +3m+2)>0 时,求得 m 的范围. 2 2 解答: 解: (1)当复数的虚部 m +3m+2=0 且 m ﹣2m﹣2>0 时,即 m=﹣1,或 m=﹣2 时, 复数表示实数. (2)当实部等于零且虚部不等于零时,复数表示实数.由 lg(m ﹣2m﹣2)=0,且 2 (m +3m+2)≠0, 求得 m=3,或 m=﹣1,故当 m=3,或 m=﹣1 时,复数为纯虚数. (3)由 lg(m ﹣2m﹣2)>0,且(m +3m+2)>0 时,复数对应的点位于复平面的 第一象限. 解得 m<﹣2,或 m>3,故当 m<﹣2,或 m>3 时,复数对应的点位于复平面的第 一象限. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,一元二次不等式、对数不等式的解法,属于基础题. 23. (12 分)已知曲线 y=x +x﹣2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x﹣y﹣1=0,且点 P0 在 第三象限, (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥ l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: (1)根据曲线方程求出导函数,因为已知直线 4x﹣y﹣1=0 的斜率为 4,根据切线与 已知直线平行得到斜率相等都为 4,所以令导函数等于 4 得到关于 x 的方程,求出方 程的解,即为切点 P0 的横坐标,代入曲线方程即可求出切点的纵坐标,又因为切点 在第 3 象限,进而写出满足题意的切点的坐标; (2)由直线 l1 的斜率为 4,根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1,得到直线 l 的斜率
.

2

2

2

2

2

3

为﹣ ,又根据(1)中求得的切点坐标,写出直线 l 的方程即可.
3 2 解答: 解: (1)由 y=x +x﹣2,得 y′ =3x +1, 2 由已知得 3x +1=4,解之得 x=±1. 当 x=1 时,y=0; 当 x=﹣1 时,y=﹣4. 又∵ 点 P0 在第三象限,

∴ 切点 P0 的坐标为(﹣1,﹣4) ; (2)∵ 直线 l⊥ l1,l1 的斜率为 4, ∴ 直线 l 的斜率为﹣ , ∵ l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(﹣1,﹣4) ∴ 直线 l 的方程为 y+4=﹣ (x+1)即 x+4y+17=0. 点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 掌握两直线垂直时斜率的 关系,会根据一点和斜率写出直线的方程,是一道中档题.

24. (12 分)已知抛物线 C 的准线为 x= ﹣1 相交所得弦的长为 3

(p>0) ,顶点在原点,抛物线 C 与直线 l:y=x

,求 p 的值和抛物线方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 由题意设抛物线的方程为 y =px(p>0) ,与抛物线方程联立得到根与系数的关系,利 用弦长公式即可得出. 解答: 2 2 解: 由题意设抛物线的方程为 y =px (p>0) , 联立 , 化为 x ﹣ (2+p) x+1=0,
.

则 x1+x2=2+p,x1x2=1, ∴ =
2



化为(2+p) =13, ∵ p>0, ∴ . . ∴ 抛物线的方程为

点评: 熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、抛 物线的标准方程等是解题的关键. 25. (14 分) (2005?黑龙江)设 a 为实数,函数 f(x)=x ﹣x ﹣x+a. (Ⅰ )求 f(x)的极值; (Ⅱ )当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)函数连续可导,只需讨论满足 f′ (x)=0 的点附近的导数的符号的变化情况, 来确定极值点,求出极值.
.

3

2

(2)曲线 f(x)与 x 轴仅有一个交点,可转化成 f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0 即 可. 解答: 2 解: (1)令 f'(x)=3x ﹣2x﹣1=0 得: .

又∵ 当 x∈(﹣∞, 当 x∈(

)时,f'(x)>0;

,1)时,f'(x)<0;

当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0; ∴ 与 x2=(1 分)别为 f(x)的极大值与极小值点. ;f(x)极小值=a﹣1 )上单调递增,

∴ f(x)极大值= (2)∵ f(x)在(﹣∞,

∴ 当 x→﹣∞时,f(x)→﹣∞; 又 f(x)在(1,+∞)单调递增,当 x→+∞时,f(x)→+∞ ∴ 当 f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0 时,曲线 f(x)与 x 轴仅有一个交点. 即 ∴ a∈(﹣∞, 或 a﹣1>0, )∪ (1,+∞)

点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数的单调性,属于中档题.


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