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2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库:考点29 基本不等式(含详解,13高考题)]


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考点 29 基本不等式
一、选择题 1. ( 2013 ·重庆高考理科·T 3 ) (3? a )(a ? 6) ( 的最大值为 ( ? 6? a ? 3) A. 9 B.
9 2

)

/>
C. 3

D.

3 2 2

【解题指南】直接利用基本不等式求解 . 【解析】选 B. 当 a ? ?6 或 a ? 3 时 ,
(3 ? a)( a ? 6) ?

(3 ? a)(a ? 6) ? 0 ,当 ? 6 ? a ? 3 时 ,

3 3?a ? a ?6 9 ? , 当且仅当 3 ? a ? a ? 6, 即 a ? 时取等号 . 2 2 2

2. ( 2013·山东高考理科·T 12 )设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y 2-z=0.则 当
xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最大值为( z x y z



A.0

B.1

C.

9 4

D.3

【解题指南】此题可先利用已知条件用 x,y 来表示 z,再经过变形,转化为 基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入 ? ? ,进而再利用基本不 等式求出 ? ? 的最值 . 【解析】选 B. 由 x2 ? 3xy ? 4 y2 ? z ? 0 ,得 z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 . 所以
xy xy 1 x 4y 1 ? 2 ? ,即 x ? 2 y 时 ? ? 1 ,当且仅当 ? 2 x 4y z x ? 3 xy ? 4 y y x ? ? 3 2 x ? 4y ?3 y x y x
xy z

2 x

1 y

2 z

2 x

1 y

2 z

取等号此时 z ? 2 y 2 , ( ) max ? 1 .

1 ? ? 1 ?1? ? 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2y 2y ? ? ?1. ? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 ? x y 2y x y z 2 y y xy y 2 ? ? ? ? ? ?

2

3. ( 2013 ·山东高考文科·T 12 )设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 , 则当
z 取得最大值时, x ? 2 y ? z 的最大值为( xy



A.0

B.

9 8

C.2

D.

9 4

【解题指南】此题可先利用已知条件用 x,y 来表示 z,再经过变形,转化为 基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入 x ? 2 y ? z ,进而再利用基本不 等式求出 x ? 2 y ? z 的最值 . 【解析】 选 C. 由 x2 ? 3xy ? 4 y2 ? z ? 0 ,得 z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 . 所以
x 4y z x 2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y , ? ? ? ?3? 2 ? ? 3 ? 1 ,当且仅当 ? y x xy xy y x y x

即 x ? 2 y 时取等号此时 z ? 2 y 2 ,
y?2? y? 所以 x ? 2 y ? z ? 2 y ? 2 y ? 2 y ? 4 y ? 2 y ? 2 y?2 ? y ? ? 2? ? ? ? 2, 2 ? ?
2 2 2

当且仅当 y=2-y 时取等号 . 4.(2013 ·福建高考文科· T7) 若 2 x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 A.?0, 2? B.??2,0? C.??2, ??? ( )

D.? ??, ?2?

【解题指南】 “一正二定三相等”, 当题目出现正数 , 出现两变量 ,一般而言 , 这种题就是在考查基本不等式 . 【解析】选 D. 2 2x? y ≤ 2x+2y=1,所以 2x+y≤ ,即 2 x+y ≤ 2-2,所以 x+y≤ -2. 二、填空题 5. ( 2013 ·四川高考文科·T 13 )已知函数 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3时 取得最小值,则 a ? ____________ 。
a x
1 4

【解题指南】本题考查的是基 本不等式的等号成立的条件,在求解时需要 找到等号成立的条件,将 x ? 3 代入即可 . 【解析】由题 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) ,根据基本不等式 4 x ? ? 4 a ,当且仅当
4x ? a 时取等号, 而由题知当 x ? 3 时取得最小值,即 a ? 36 . x a x a x

【答案】 36 6.( 2013 ·天津高考文科·T 14 )设 a + b = 2, b>0, 则 为 .
1 |a| ? 中的 2|a| b 1 |a| ? 的最小值 2|a| b

【解题指南】将

1 由 a + b 代换,再由均值不等式求解 .
1 |a | a? b | a | a b |a| ? ? ? ? ? ? 2 |a | b 4 |a | b 4 |a | 4 |a | b

【解析】因为 a + b = 2, b>0,所以
?

b |a| a b |a| a ? ?2 ? ? ? 1,当且仅当 时等号成立,此时 a ? ?2 ,或 a ? 2 , 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a| 3

若 a ? ?2 ,则 【答案】
3 4

3 a 3 a 5 1 |a | 2 ? 1 ? ,若 a ? ,则 ? 1 ? . 所以 ? 的最小值为 . 2 |a | b 4 |a | 4 4|a| 4 3 4

7. ( 2013 ·天津高考理科·T 14 )设 a + b = 2, b>0 , 则当 a =
1 |a | ? 取得最小值 . 2 |a | b

时,

【解题指南】将

1 |a| ? 中的 2|a| b

1 由 a + b 代换,再由均值不等式求解 .
1 |a | a? b | a | a b |a| ? ? ? ? ? ? 2 |a | b 4 |a | b 4 |a | 4 |a | b

【解析】因为 a + b = 2, b>0,所以
?

b |a| a b |a| a ? ?2 ? ? ? 1,当且仅当 时等号成立,此时 a ? ?2 ,或 a ? 2 , 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a| 3 a 3 a 5 1 |a | 2 ? 1 ? ,若 a ? ,则 ? 1 ? . 所以 ? 取最小值时, a ? ?2 . 2 |a | b 4|a | 4 4|a| 4 3

若 a ? ?2 ,则 【答案】 -2

8.( 2013 ·上海高考文科· T13 )设常数 a> 0.若 9x ? x 成立,则 a 的取值范围为 .

a2 ? a ? 1 对一切正实数 x

【解析】 考查均值不等式的应用 ,
a2 a2 1 由题意知,当x ? 0时, f ( x) ? 9 x ? ? 2 9x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? x x 5

【答案】 [ , ?) 9. ( 2013·陕西高考文科·T 14 )在如图所示的锐角三角形空地中 , 欲建 一个面积最大的内接矩形花园 (阴影部分 ), 则其边长 x 为 (m).

1 5

x

40m

40m

【解题指南 】设出矩形的高 y,由题目已知列出 x,y 的关系式,整理后利用 均值不等式解决应用问题 . 【解析】设矩形高为 y, 由三角形相似得 :
x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40

? 40 ? x ? y ? 2 xy , 仅当x ? y ? 20时,矩形的面积 s ? xy取最大值400.

【答案 】 20.

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