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直线与圆锥曲线的位置关系答案


直线与圆锥曲线的位置关系答案 例 1 ADB 2 c 2 ,得 = ,得 a2=2c2,b2=c2. 2 a 2 x2 y2 设椭圆 C2 方程为 2+ 2=1,A(x1,y1),B(x2,y2). 2b b 由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2. 2 2 x1 y2 x2 y2 1 2 又 2+ 2=1, 2+ 2=1, 2b b 2b b 2 2 2 x1-x2 y2-y2 1 两式相减,得 + 2 =0. 2b2 b y1-y2 x1+x2 所以 =- =-1, x1-x2 2?y1+y2? 所以直线 AB 的方程为 y-1=-(x-2), 即 x+y-3=0. x2 y2 将上述方程代入 2+ 2=1, 2b b 2 得 3x -12x+18-2b2=0,(*) 又直线 AB 与椭圆 C2 相交,所以 Δ=24b2-72>0. 且 x1,x2 是方程(*)的两根, 2b2 所以 x1+x2=4,x1x2=6- . 3 由|AB|= 2|x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2 20 =2× , 3 8b2-24 20 得 2× =2× . 3 3 x2 y2 解得 b2=8,故所求椭圆方程为 + =1. 16 8 3. 解析:(1)设 AB 为斜率为 2 的任意一条弦,设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 2. [解答] 由 e=

P(x,y)

因为 A,B 两点都在椭圆上,故有

? ?x ? 2 +y =1,
2 2 2 2

x2 2 1 +y1=1, ① 2 ②

?x1-x2??x1+x2? ①-②得: =-(y1+y2)(y1-y2), 2 有 y1-y2 x1+x2 2x x0 =- =kAB=2=- =- , 2y0 x1-x2 2?y1+y2? 2×2y

即 4y=-x. 故中点的轨迹方程 x+4y=0(椭圆内的线段). (2)设过点 A(2,1)引椭圆的割线与椭圆相交于 M,N 两点, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x,y),
2 x1 2 2

? 2 +y =1, 同样有? x ? 2 +y =1,
2 1 2 2

③ ④

?x1-x2??x1+x2? ③-④得: =-(y1+y2)(y1-y2), 2 有 y1-y2 x1+x2 2x x y-1 =- ?k =- =- = , 2y x-2 x1-x2 2?y1+y2? MN 2×2y

即 x2+2y2-2x-2y=0. 1 1 (3)设过点 P?2,2?的弦为 MN,点 P 为 MN 的中点, ? ? 设 M(x1,y1)、N(x2,y2), 2 x1 2 +y1=1, ⑤ 2 同样有 2 x2 2 +y2=1, ⑥ 2 ?x1-x2??x1+x2? ⑤-⑥得: =-(y1+y2)(y1-y2), 2 1 2× 2 y1-y2 x1+x2 1 有 =- =k =- =- . 1 2 x1-x2 2?y1+y2? MN 2×2× 2 1 1 即过点 P?2,2?且被点 P 平分的弦所在的直线的方程为 ? ? 1 1 1 1 3 y- =- ?x-2?,即 y=- x+ ? 2 2? 2 4 p 4. [证明] (1)∵y2=2px(p>0)的焦点 F?2,0?, ? ?

? ? ?

p 设直线方程为 y=k?x-2?,(k≠0). ? ?

?y=k?x-p? ? ? 2? 消去 x 得 ky2-2py-kp2=0 由? ? ?y2=2px
?y1·2?2 p2 y ∴y1·2=-p2,x1·2= y x = . 4p2 4 p 当 k 不存在时,直线方程为 x= , 2 p2 这时 y1=p,y2=-p,则 y1·2=-p2,x1·2= . y x 4 p2 因此,总有 y1·2=-p2,x1·2= 成立. y x 4 p (2)由抛物线定义:|AF|等于点 A 到准线 x=- 的距离. 2 p p ∴|AF|=x1+ ,同理:|BF|=x2+ . 2 2 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. p 1 p 又∵y=k?x-2?,∴x= y+ ? ? k 2 ②



1 ∴x1+x2= (y1+y2)+p k 2p 由方程①知:y1+y2= . k 2p ∴x1+x2= 2 +p k 将③代入②得 |AB|= 1 1 2p 2p +2p=2p?1+k2?=2p?1+tan2θ?= 2 ? ? ? ? sin θ k2 ③

(3)如图, S△AOB=S△AOF+S△BOF 1 1 = |OF|· sinθ+ |OF|· sinθ |AF|· |BF|· 2 2 1 = |OF|· sinθ(|AF|+|BF|) 2 1 = · |AB|· |OF|· sinθ 2 1 p 2p p2 = ·· 2 · sinθ= . 2 2 sin θ 2sinθ 1 1 1 1 (4) + = + |AF| |BF| p p x1+ x+ 2 2 2 = x1+x2+p , p p2 x1x2+ ?x1+x2?+ 2 4

p2 又∵x1·2= ,代入上式得 x 4 1 1 2 + = =常数. |AF| |BF| p (5)设 AB 的中点为 M(x0,y0),分别过 A、M、B 作准线的垂线,垂足为 C、N、D 如上 图, 1 1 1 则|MN|= (|AC|+|BD|)= (|AF|+|BF|)= |AB|. 2 2 2 ∴以 AB 为直径的圆与准线相切. 5. [解答] (1)∵点 M 到(- 3,0),( 3,0)的距离之和是 4, ∴M 的轨迹 C 是长轴长为 4,焦点在 x 轴上,焦距为 2 3的椭圆, x2 其方程为 +y2=1. 4 (2)将 y=kx+ 2代入曲线 C 的方程, 消去 y,整理得(1+4k2)x2+8 2kx+4=0.①

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程①, 8 2k 4 得 x1+x2=- ,x x = .② 1+4k2 1 2 1+4k2 又 y1·2=(kx1+ 2)(kx2+ 2)=k2x1x2+ 2k(x1+x2)+2.③ y → → 若以 PQ 为直径的圆过原点,则OP· =0, OQ 所以 x1x2+y1y2=0, 6 将②、③代入上式,解得 k=± . 2 6 6 又因 k 的取值应满足 Δ>0, 4k2-1>0(*), k=± 代入(*)式知符合题意. 即 将 ∴k=± . 2 2 强化训练 CBACBC y2=2(x-1)
2 2

2 2 3

(1, 5)

10. 解:设双曲线方程为 x -4y = ? .

联立方程组得:

? x -4 y = ? ? ?x ? y ? 3 ? 0
2 2

,消去 y 得,3x2-24x+(36+ ? )=0
x1 , y1

设 直 线 被 双 曲 线 截 得 的 弦 为 AB , 且 A(
x1 ? x 2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? x1 x 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 ?

),B(

x2 , y2

),那么:

那么:|AB|=

(1 ? k ) [ ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ?
2 2

(1 ? 1) (8 ? 4 ?
2

36 ? ? 3

) ?

8 (1 2 ? ? ) 3

?

8 3

3

解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是: 11. .解: (1)联立方程 ?
? 3 x -y = 1
2 2

x

2

? y

2

?1

4

? y ? ax ? 1

,消去 y 得: (3-a2)x2-2ax-2=0.

设 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 ),那么:

2a ? x1 ? x 2 ? 2 ? 3? a ? 2 ? x1 x 2 ? ? ? 2 3? a ? 2 2 ? ? ? (2 a ) ? 8(3 ? a ) ? 0 ? ?



由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么: O A 所以: x 1 x 2 a= ? 1
? ( a x1 ? 1 ) ( a x 2 ? 1 ) ? 0 ,得到: ( a 2
? 1) ?

??? ?

??? ? ? OB
?2 3? a
2

,即 x 1 x 2
2a 3? a
2

? y1 y 2 ? 0
2



? a?

? 1 ? 0, a

? 6

,解得

(2)假定存在这样的 a,使 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 )关于直线 y 那么: ?
? 3 x 1 -y 1 =1
2 2

?

1 2

x

对称。
3 (x 1 + x 2 ) y1+y 2 .......( * )

? 3 x 2 -y 2 =1

2

2

3 , 两式相减得: ( x 1 2 - x 2 2 ) = y 1 2 - y 2 2 , 从而

y 1 -y 2 x 1 -x 2

=

因为 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 )关于直线

x +x 2 ? y1+y 2 1 = ? 1 ? 1 2 2 2 ? y ? x 对称,所以 ? y 1 -y 2 2 ? ? ?2 x 1 -x 2 ? ?

代入(*)式得到:-2=6,矛盾。 也就是说:不存在这样的 a,使 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 )关于直线 y
? 1 2 x

对称。

12. [解答] (1)设圆 M 的半径为 r, 因为圆 M 与圆 F1 内切,所以 MF2=r, 所以 MF1=4-MF2,即 MF1+MF2=4, 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1,F2 为焦点的椭圆, x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),其中 2a=4,c=1,所以 a=2,b= 3. a b x2 y2 所以曲线 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因为直线 l 过椭圆的中心,由椭圆的对称性可知,S△ABF1=2S△AOF1. 3 3 因为 S△ABF1= ,所以 S△AOF1= . 2 4

不妨设点 A(x1,y1)在 x 轴上方, 1 3 则 S△AOF1= · 1·1= , OF y 2 4 3 所以 y1= ,x1=± 3, 2 3 3 即 A 点的坐标为? 3, ?或?- 3, ?, 2? ? 2? ? 1 所以直线 l 的斜率为± , 2 故所求直线方程为 x± 2y=0. x2 y2 2 c 2 2 13. . [解答] (1) 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0) 因为 e= , , 所以 = , 据题意?c, ? a b 2 a 2 2? ? 1 1 c2 2 1 2 在椭圆上,则 2+ 2=1,于是 + 2=1,解得 b=1,因为 a= 2c,a2-c2=b2=1,则 a b 2 b c=1,a= 2, x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,

?x +y2=1, ?2 2m2-2 4km 2 2 2 由? 得 (2k +1) +4kmx+2m -2=0, x 所以 x1+x2=- 2 , 1x2= 2 x , 2k +1 2k +1 ? ?y=kx+m,
2m2-2 -4km 于是 y1y2=(kx1+m) 2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2· 2 (kx +km· 2 +m2= 2k +1 2k +1

2

m2-2k2 . 2k2+1 2m2-2 m2-2k2 3m2-2k2-2 → → 因为OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2= 2 + = =0,即 3m2-2k2-2=0, 2k +1 2k2+1 2k2+1 2k2+2 所以 m2= . 3 |m| = k2+1 m = k2+1
2

设原点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d=

2k2+2 3 6 = . 2 3 k +1

→ → 当直线 l 的斜率不存在时,因为OP⊥OQ,根据椭圆的对称性,不妨设直线 OP,OQ 的方程 分别为 y=x,y=-x 可得 P? Q?- 6 6? 6 6 6 6 , Q ? ,- ? 或 者 P ?- ,- ? , 3? 3? ?3,3? ?3 ? 3

?

6 6 6? .此时,原点 O 到直线 l 的距离仍为 . , 3 3 3? 6 . 3

综上分析,点 O 到直线 l 的距离为定值


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