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2013届吉林省实验中学高三第二次模拟考试数学理试题


吉林省实验中学 2013 届高三第二次模拟考试

数学(理)试题
命题人:王 峰 审题人:侯玉臣

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.满足条件 A ? {0,1, 2} ? {0,1, 2,3} 的所有集合 A 的个数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D

.16 2. 把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上所有 3

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( ) 2 ? x ? A. y ? sin(2 x ? ) , x ? R B. y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? C. y ? sin(2 x ? ) , x ? R D. y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3 3 3.命题甲:p 是 q 的充分条件;命题乙:p 是 q 的充分必要条件.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
l 4. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a5 a6 ? a4 a7 ? 18 , o 且 则g
3 1

ao ? g l

3 2

a ?..o . g l ?

30 1

a?

( )

A.12

B.10

C. 1 ? log3 5

D. 2 ? log3 5
1 ,若 f ( x) 在 [ ?1, 0] 上是减函数, f ( x)

5.已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ? 那么 f ( x) 在 [2,3] 上是 A.增函数 C.先增后减的函数

( )

B.减函数 D.先减后增的函数 2 t ?2 6.已知某质点的位移 s 与移动时间 t 满足 s ? t ? e ,则质点在 t ? 2 的瞬时速度是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.16 7.已知数列 ?an ? 中 an ? n2 ? kn(n ? N * ) ,且 ?an ? 单调递增,则 k 的取值范围是 A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2)
2

( )

D.(-∞,3]
2

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 a ? b ? 2c 2 ,则 cosC 的最小值 为 ( )

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2
( )

9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sm ? Sn? m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 = A.1 B.9 C.10 D.55

10.若二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? a 的部分图像如右图所示,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点 所在的区间是 ?1 1? A. ? , ? ?4 2?
?1 ? C. ? ,1 ? ?2 ?

y B. (1, 2) D. (2,3) ·1 · 1

( )

O

x

11.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n
A.

( ) B.

3 2

5 3

C.

25 6

D.不存在 ( )

12.函数 f ( x) ? x ? cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 , a 3 , a4 成等比数列,则 a2 ? .

14.定义在(-1,1)上的函数 f ( x) ? ?5 x ? sin x ,如果 f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为 .

, 15.已知集合 A ? x ? R x ? 2 ? 3 ,集合 B ? ?x ? R ( x ? m)( x ? 2) ? 0? ,且 A ? B ? (?1 n),

?

?

则 m=__________,n=__________. 16. 定义一个对应法则 f : P ? m, n ? ? P?

?

m , n ,m ≥ 0, n ≥ 0 ? . 现有点 A ? 2,6 ? 与 点B ? 6, 2 ? , ?

?

点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M ? 所经过的路线 长度为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)

在△ ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ? (Ⅰ )求 A ? B 的值; (Ⅱ )若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值.

5 10 sin B ? , . 5 10

18. (本小题满分 12 分) ?π ? ?π π? 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . 4 ? ? ?4 2? (Ⅰ )求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (Ⅱ )若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

19. (本小题满分 12 分) 如图,底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中,AD∥ BC, ?ABC ? 90?,PA ? 平面 ABCD ,
PA ? 3 AD ? 2,AB ? 2 3 ,BC=6. ,

P

(Ⅰ )求证:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )求二面角 P ? BD ? A 的大小. A E 20. (本小题满分 12 分) B C D

已知数列 ?an ? 满足 a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈ *). N (Ⅰ )求证:数列{an+1-an}是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )记数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn,求使得 Sn>21-2n 成立的最小整数 n.

21. (本小题满分 12 分)

设 x1 、 x 2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a2 x(a ? 0) 的两个极值点。 (Ⅰ )若 x1 ? ?1 x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; , (Ⅱ )若 x1 ? x2 ? 2 2 ,求 b 的最大值; (Ⅲ )若 x1 ? x ? x2 ,且 x2 ? a , g ( x) ? f ?( x) ? a( x ? x1 ) ,求证: g ( x) ≤

a(3a ? 2)2 . 12

22. (本小题满分 12 分)

1 1 1 + +…+ ,(n∈ *),设 f (n) =S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值 N 2 3 n 11 范围,使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式 f (n) ? [logm (m ? 1)]2 ? [log( m?1) m]2 恒 20 成立.
已知 Sn=1+

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 A 6 C 7 B 8 C 9 A 10 C 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)
13.

?6

14.

(1,2 )
2? 3

15.

-1,1

16.

三、解答题
17. (本小题满分 10 分)

A (I)∵ 、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 ----------------2 分 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . -------4 分 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵0 ? A? B ?? ∴ A? B ? (II)由(I)知 C ? 由

?
4

………………………………5 分

3? 2 ,∴ sin C ? --------------------------6 分 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b ---------------------8 分
又∵ a ? b ? ∴

2 ?1 2? 1 ∴ b ? 1

2b ? b ?

∴ a ? 2 ,c ?

5

…………………………………………10 分

18. (本小题满分 12 分) 解: )∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? (Ⅰ

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? .------------------------------------------------------------2 分 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .------------------------------------------------6 分
(Ⅱ ∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? ,------8 分 ) 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,------------------------------------------10 分
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .------------------------------------------12 分 ,
19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )如图,建立坐标系,

0, 2, 0, 则 A(0, 0) , B(2 3,0) , C(2 3,0) , D(0, 0) , P(0,3) , 0, 6,

??? ? ??? ? ??? ? ? AP ? (0,3) , AC ? (2 3,0) , BD ? (?2 3,0) ,……………………2 分 0, 6, 2,

? BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 .? BD ⊥ AP , BD ⊥ AC ,
又 PA ? AC ? A ,? BD ⊥ 面 PAC . ………………………………6 分 z P

0, (Ⅱ )设平面 ABD 的法向量为 m ? (0,1) ,
B x

A E

D

y C

设平面 PBD 的法向量为 n ? ?x, y, z ? , 则 n ? BD ? 0, n ? BP ? 0 ……………………8 分

? BP ? ? 2 3,0,3

?

?

? y ? 3x ?? 2 3x ? 2 y ? 0 ? ? ?? 解得. ? 2 3 ?? 2 3x ? 3z ? 0 x ?z ? ? 3 ?
令x ?

3 ,则 n ?

? 3,1,2?………………………………10 分
? 1 ? 二面角 P ? BD ? A 的大小为 60? .………………12 分 2

? cos m, n ?

m?n mn

20. (本小题满分 12 分) (1)证明: a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 2an ? 3an?1 (n ? N ? )

? an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ), a2 ? a1 ? 3 ------------------------------------------------------2 分

? 数列 ?an?1 ? an ?是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列,? an?1 ? an ? 3 ? 2 n?1 -----3 分
? n ? 2时 ,
a n ? a n ?1 ? 3 ? 2 n ? 2 , a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 ? 2 n ?3 , ??, a3 ? a 2 ? 3 ? 2, a 2 ? a1 ? 3,
以上 n-1 个式子累加得 an ? a1 ? 3 ? 2 n?2 ? 3 ? 2 n?3 ? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3(2n?1 ? 1) ------5 分

? an ? 3 ? 2 n?1 ? 2 -----------------------------------------------------------------------------------6 分
(2)解由(1)利用分组求和法得 S n ? (3 ? 20 ? 2) ? (3 ? 21 ? 2) ? ? ? (3 ? 2 n?1 ? 2)

? 3(2 0 ? 21 ? ? ? 2 n?1 ) ? 2n ? 3 ? 2

1 ? 2n ? 2n ? 3(2 n ? 1) ? 2n ---------------9 分 1? 2

S n ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 21? 2n, 得 3 ? 2 n ? 24,即2 n ? 8 ? 23

4 ? n ? 3 ,? 使得 S n ? 21? 2n成立的最小整数为 . ------------------------------12 分
21. (本小题满分 12 分) 解 ∵ n=1+ S

1 1 1 ? +…+ 2 3 n

(n∈ *) N

? f (n) ? S 2 n ?1 ? S n ?1 ?

1 1 1 ? ??? n?2 n?3 2n ? 1 1 1 1 1 1 2 又f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 2 2n ? 2 2n ? 3 2n ? 4 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ? 0????????5分 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4
∴ f(n)是关于 n 的增函数 ------------------6 分

∴ f(n+1)>f(n) ∴ min=f(2)= f(n)

1 1 9 ---------------------------7 分 ? ? 2 ? 2 2 ? 3 20

∴ 要使一切大于 1 的自然数 n,不等式

11 [log(m-1) m]2 恒成立----------8 分 20 9 11 只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 20 20
f(n)>[logm(m-1)]2-

?m ? 0, m ? 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 ? 0, m ? 1 ? 1
此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0

--------------------10 分

11 ?9 ? ?t? 于是 ? 20 20t ?t ? 0 ?
解得 m>

解得 0<t<1

由此得 0<[logm(m-1)]2<1

1? 5 且 m≠2----------------------------------12 分 2

22.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0) ∵ 1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f (x) 的两个极值点, x ∴f ' (?1) ? 0 , f ' (2) ? 0 。…………………………………………………………2 分 ∴ a ? 2b ? a 2 ? 0 , 12a ? 4b ? a 2 ? 0 ,解得 a ? 6, b ? ?9 。 3 ∴f ( x) ? 6 x3 ? 9 x 2 ? 36x 。…………………………………………………………3 分 (2)∵ 1 , x2 是函数 f (x) 的两个极值点,∴f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 0 。 x ∴ 1 , x2 是方程 3ax2 ? 2bx ? a 2 ? 0 的两根。 x
2 3 ? ? ∵ ? 4b ? 12a ,∴ ? 0 对一切 a ? 0, b ? R 恒成立。 x1 ? x2 ? ?

………………………………1 分

2b a , x1 ? x2 ? ? , 3a 3

a ∵ ? 0 ,∴ 1 ? x2 ? 0 。 x
∴ x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (? |

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4(? ) ? ? a 。……………………5 分 3a 3 9a 2 3

由 | x1 | ? | x2 |? 2 2 得
2

4b 2 4 ? a ? 2 2 ,∴ 2 ? 3a 2 (6 ? a) 。 b 9a 2 3

0 b ∵ ? 0 ,∴ a (6 ? a) ? 0 ,∴ ? a ? 6 。 ……………………………………6 分 3 2
令 h(a) ? 3a (6 ? a) ,则 h' (a) ? ?9a ? 36a 。
2 2

h 当 0 ? a ? 4 时, h' (a ) ? 0 ,∴ (a) 在(0,4)内是增函数; h 当 4 ? a ? 6 时, h' (a ) ? 0 ,∴ (a) 在(4,6)内是减函数。 h ∴ a ? 4 时, h(a) 有极大值为 96,∴ (a) 在 (0,6] 上的最大值是 96, 当
b ∴ 的最大值是 4 6 。 ………………………………………………………………8 分

(3)证法一:∵ 1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根, x ∴f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) , ……………………………………………………9 分

1 | ∴ g ( x) |? 3a | x ? x1 | ? | x ? x2 ? | ? 3a( 3

1 | x ? x1 | ? | x ? x2 ? | 3 ) 2 ………………10 分 2

∵ 1 ? x ? x2 ,∴ ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 , x x

3a 1 3a 1 [( x ? x1 ) ? ( x ? x2 ? )] 2 ? ( x2 ? x1 ? ) 2 。………………………11 分 4 3 4 3 a 1 x x ∵ 1 ? x2 ? ? , x2 ? a ,∴ 1 ? ? 。 3 3 3a 1 1 1 | (a ? ? ) 2 ? a(3a ? 2) 2 。 ……………………………………12 分 ∴ g ( x) |? 4 3 3 12 | ∴ g ( x) |?
证法二:∵ 1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根, x ∴f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) , ……………………………………………………9 分

a 1 x , x2 ? a ,∴ 1 ? ? 。 3 3 1 1 1 | ∴ g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) |?| a( x ? )[ 3( x ? a ) ? 1] | ……………10 分 3 3 3 x ∵ 1 ? x2 ? ?
∵ 1 ? x ? x2 , x

| ∴ g ( x) |? a( x ? )( ?3x ? 3a ? 1)

1 3

………………………………………………11 分

1 3a ? 1 a 3a 3 1 ? ?3a ( x ? )( x ? ) ? ?3a( x ? ) 2 ? ? a2 ? a 3 3 2 4 3

?

3a 3 1 a(3a ? 2) 2 ? a2 ? a ? 。……………………………………………………12 分 4 3 12


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