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2015年高考数学《新高考创新题型》之8:解析几何(含精析)


之 8.解析几何(含精析)
一、选择题。
2 2 y2 1.如图,已知椭圆 C1 : x ? y 2 ? 1 ,双曲线 C 2 : x 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),若以 C1 的长轴为 11 a b

直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A,B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分, 则 C2 的离心率为( A、5 B、 17 ) C、 5 D、 2 14 7

2.如图所示,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的 a 2 b2

渐近线于 A 、 B 两点,且直线 l 的倾斜角是渐近线 OA 倾斜角的 2 倍,若 AF ? 2 FB ,则该 双曲线的离心率为( A. )

3 2 4

B.

2 3 3

C.

30 5

D.

5 2

3.已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? ?2 y ? 3 ,直线 l 过点 (1, 0) 且与
2 2

直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直.若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,则 ?OAB 的面积为(



A.1

B. 2
2

C.2
2 2

D. 2 2

4. 方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图可能 是( )

二、填空题。 5.圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的,比如圆可以看成特殊 的椭圆,所以很多 圆的性质结论可以类比到椭圆,例如;如图所示,椭圆 C:
2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 可以被认 a 2 b2

为由圆 x ? y ? a 作纵向压缩变换或由圆 x ? y ? b 作横向拉伸变换得到的。依据上述 论述我们可以推出椭圆 C 的面积公式为
y

.

b -a

O -b

a

x

6.若 P0(x0,y0)在椭圆

x2 y 2 ? =1(a>b>0)外,则过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1,P2, a 2 b2

则 切点弦 P1P2 所在直线方程是

xx0 yy0 ? 2 =1.那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0) a2 b

在双曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)外,则过 P0 作双曲线的两条切线的切点为 P1,P2,则切 a 2 b2
.

点弦 P1P2 所在的直线方程是 7.我们把离心率 e ?

x2 y2 5 ?1 的双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 称为黄金双曲线.如图是双 a b 2

x2 y2 2 2 曲线 2 ? 2 ? 1 a ? 0, b ? 0, c ? a ? b 的图象,给出以下几个说法: a b
①双曲线 x ?
2

?

?

2 y2 ? 1是黄金双曲线; 5 ?1

②若 b 2 ? ac ,则该双曲线是黄金双曲线; ③若 F1 , F2 为左右焦点, A1 , A2 为左右顶点,B1(0,b ) ,B2(0, ﹣ b )且 ?F1B1 A2 ? 900 , 则该双曲线是黄金双曲线; ④若 MN 经过右焦点 F2 且 MN ? F1F2 , ?MON ? 90 ,则该双曲线是黄金双曲线.
0

其中正确命题的序号为



8. 若存在实常数 k 和 b, 使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f(x)≥kx +b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直线”.已知 h(x)= x ,φ (x)=2eln x(其中 e 为自然对数的底数),根据你的数学知识,推断 h(x)与 φ (x)间 的隔离直线方程为 .
2

x2 y 2 9. 设 A, B 分别为椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点, F 为右焦点, l 为 ? 在点 B 处 a b
的切线, P 为 ? 上异于 A, B 的一点,直线 AP 交 l 于 D , M 为 BD 中点,有如下结论:① FM 平分 ?PFB ;② PM 与椭圆 ? 相切;③ PM 平分 ? FPD ;④使得 PM ? BM 的点 P 不存在.

其中正确结论的序号是_____________.

10 . 以 下 四 个 关 于 圆 锥 曲 线 的 命 题 中 : ① 设 A、B 为 两 个 定 点 , k 为 非 零 常 数 ,

| PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB ,
O 为坐标原点,若 OP ?
且 sin ? ? cos ? ?

1 (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为圆;③设 ? 是 ?ABC 的一内角, 2

7 2 2 , 则 x sin ? ? y cos? ? 1 表示焦点在 x 轴 上的双曲线; ④已知两定点 13

F1 (?1,0), F2 (1,0) 和一动点 P ,若 | PF1 | ? | PF2 |? a2 (a ? 0) ,则点 P 的轨迹关于原点对称.
其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).

三、解答题。 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,设 R( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的 24 12

任一点,从原点 O 向圆 R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,分别交椭圆于点 P , Q .

(1)若直线 OP , OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP , OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 ; (3)试问 OP ? OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
2 2

12.已知双曲线 C :

x2 y 2 ?1,0? ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , F1 , F2 分别是它的左、右焦点, A ? 是 2 a b

其左顶点, 且双曲线的离心率为 e ? 2 .设过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 P、Q 两点,其中点位于第一象限内. (1)求双曲线的方程; (2)若直线 AP, AQ 分别与直线 x ?

1 交于 M 、N 两点,求证: MF2 ? NF2 ; 2

(3)是否存在常数 ? ,使得 ?PF2 A ? ??PAF2 恒成立?若存在,求出 ? 的值,若不存在, 请说明理由。

13 .如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两 a 2 b2
3 2 a . 4

点. AF 的最大值是 M , BF 的最小值是 m ,满足 M ? m ? (1) 求该椭圆的离心率;

(2) 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点, O 是坐 标原点.记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求

2 S1S 2 的取值范围. S12 ? S 2 2

14.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(1, ) ,其焦距为 2 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 点 A( x0 , y0 ) 处 的切线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则椭圆在其上一 a 2 b2

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 ,试运用该性质解决以下问题: a2 b

(i)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴和

y 轴的正半轴交于 C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值;
x2 y 2 ? ? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN ,切 (ii)如图(2) ,过椭圆 C2 : 8 2
点分别为 M , N .当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在, 求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

2ab ( x ? c) , a ? b2 b 2abc 2abc 与 y ? ? x 联立,可得 y ? ? 2 或 y? 2 , 2 a 3a ? b a ? b2 2abc 2abc ? 2?( 2 ), ∵ AF ? 2 FB , ∴ 2 2 a ?b 3a ? b 2
∴直线 l 的方程为 y ?
2

∴ a ? 3b , ∴ c=2b , ∴ e ? 3.A

c 2 3 . 故 选 : B. ? a 3

2 2 2 【解析】∵圆 C 的方程为 x ? y ? ?2 y ? 3 ,即 x ? ? y ? 1? ? 4 , 2

∴圆 C 的圆心为 C ? 0, ?1? ,半径为 2. ∵直线 l 过点 (1, 0) 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直

∴直线 l : x ? y ? 1 ? 0 .∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ?
2 2

0 ?1 ?1 2

? 2.

∴直线 l 被圆 C 截得的弦长 AB ? 2 r ? d ? 2 4 ? 2 ? 2 2 , 又∵坐标原点 O 到 AB 的距离为 d ? ?

0 ? 0 ?1 2

?

2 , 2

∴ ?OAB 的面积为 S ? 4.A

1 1 2 AB ? d ? ? ? 2 2 ? ? 1. 2 2 2

2 【解析】原方程可化为 y ? ?

m x2 y2 x, ① ? ? 1 ②;当 m, n 异号且 m ? 0 ? n 时,①为 1 1 n m n

7.①②③④ 【 解 析 】 对 于 ① ,

a 2 ? 1, b 2 ?

5 ?1 5 ?3 , 则 c2 ? a 2 ? b2 ? , 2 2

c2 5 ? 3 ? 5 ?1? ? , ? e ? 5 ? 1 , 所以 双 曲线 是 黄金双 曲 线; 对 于② , e ? 2 ? ?? ? ? a 2 2 ? 2 ?
2

2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? ac ,整理得 e 2 ? e ? 1 ? 0
解得 e ?

1? 5 ,所以双曲线是黄金双曲线;对于③ 2
2

2 2 2 2 F1B1 ? c ? b2 , B1 A2 ? b2 ? a2 , F1 A2 ? ?a ? c? ,由勾股定理得
2 c2 ? b2 ? b2 ? a2 ? ?a ? c? ,整理得 b 2 ? ac 由②可知 e ?

1? 5 所以双曲线是黄金双曲 2

线;对于④由于 F2 ?c,0? ,把 x ? c 代入双曲线方程得

b2 c2 y2 ? ? 1 y ? ? ,解得 , a a 2 b2

NF2 ?

b2 b2 2 ,由对称关系知 ?ONF2 为等腰直角三角形,? c ? ,即 b ? ac ,由①可知 a a

e?

1? 5 所以双曲线是黄金双曲线. 2

8.y=2 e x-e 【解析】容易观察到 h(x)和 φ (x)有公共点( e ,e),又(x- e ) ≥0,即 x ≥2 e x-e,
2 2

所以猜想 h(x)和 φ (x)间的隔离直线为 y=2 e x- e,下面只需证明 2eln x≤2 e x-e 恒

成立即可,构造 函数 λ (x)=2eln x-2 e x+e.由于 λ ′(x)=

2 e

?
x

e?x

?

(x>0),即

函数 λ (x)在区间(0, e )上递增, 在( e , +∞)上递减, 故 λ (x)≤λ ( e )=0, 即 2eln x-2 e x+e≤0,得 2eln x≤2 e x-e.故猜想成立,所以两函数间的隔离直线方程为 y =2

e x-e.

9.①② 【解析】设 P( x0 , y0 ) ,则 PA 的方程为: y ?

y0 ( x ? a) ,令 x ? a 得 x0 ? a

D ( a,

2ay0 ay0 ), M (a, ). x0 ? a x0 ? a

对①, PF 的方程为: y ? 的

y0 ( x ? c) 即 y0 x ? ( x0 ? c) y ? y0c ? 0 ,所以点 M 到直线 PF x0 ? c
距 离 为

| y0 a ? ( x ? c) d?

ay0 ? y c| x0 ? a

y02 ? ( x0 ? c)

c( x ? a ) |a?c? 0 | 0 0 ay ay | a 2 ? cx | a 0 ? ? ? ? 2 x0 ? a (a ? x0 x0 ? a b (a ? x0 ) ? a ( x0 ?2c) )b 2 ? ( x ? c ) 0 a2

若 PA ? PB ,则 PM 为 Rt ?BDP 的斜边中线, PM ? BM ,这样的 P 有 4 个,故④不成 立. 10.②④ 【解析】对于①,由双曲线的定义可知,动点 P 的轨迹为双曲线的一支,所以①不正确; 对于②,由 OP ?

1 (OA ? OB) ,可知点 P 为弦 AB 的中点,连结 CP ,则有 CP ? AB 即 2

CP ? PA , 而 A, C 均为定点, 所以 P 点的轨迹是以 AC 为直径的圆, 所以②正确; 对于③,

由 sin ? ? cos ? ?

7 49 120 两边平方可得 1 ? 2sin ? cos ? ? ,所以 2sin ? cos ? ? ? ,因 13 169 169

为 ? 是 ?ABC 的一个内角,可判断 ? 为钝角,所以 sin ? ? cos ? ? 0 且

sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ?

120 17 ? ,联立 169 13

7 12 ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? x2 y2 ? 13 ? 13 2 2 ? ? 1 ,表 ? ,从而方程 为 x sin ? ? y cos ? ? 1 ? ? 13 13 17 5 ?sin ? ? cos ? ? ?cos ? ? ? 12 5 ? 13 ? 13 ? ?
示焦点在 y 轴上的椭圆,所以③错误;对于④,设动点 P ( x, y ) ,则由

y ) 代入等式 将 P?(?x, ? | PF1 | ? | PF2 |? a2 (a ? 0) 可得 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2 ,
2 2 2 2 左边可得 (? x ? 1) ? (? y ) ? (? x ? 1) ? (? y ) ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2 , 所

以动点 P 的轨迹关于原点对称,即④正确;综上可知,真命题的序号是②④. 11. (1) x ? 2 2

?

? ?? y ? 2 2?
2

2

(2) 2k1k2 ? 1 ? 0 ; (3)定值为 36. ? 8;

【解析】 (1)因为直线 OP , OQ 互相垂直,且和圆 R 相切,所以 OR ? 2r ? 4 ;再结合 点 R 在椭圆 C 上,得到关于 x0 , y 0 的方程组进行求解; (2)设出 OP, OQ 的直线方程,利 用直线与圆相切,得到 k1 , k 2 与 x0 , y 0 的关系;再根据 ?x0 , y0 ? 在椭圆上,得出关系,整理 即可; (3)分别联立两直线与椭圆的方程,得出 P, Q 的关系,借助 2k1k2 ? 1 ? 0 进行证明 试题解析: (1)由圆 R 的方程知,圆 R 的半径的半径 r ? 2 2 , 因为直线 OP , OQ 互相垂直, 且和圆 R 相切, 所以 OR ? 2r ? 4 ,即 x02 ? y02 ? 16 ,①

x0 2 y0 2 ? ? 1 ,② 又点 R 在椭圆 C 上,所以 24 12
所以所求圆 R 的方程为 x ? 2 2

联立①②,解得 ?
2

? ? x0 ? ?2 2, ? ? y0 ? ?2 2.

?

? ?? y ? 2 2?
2

? 8.

(2)因为直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x ,与圆 R 相切, 所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ?8 ? 0, 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,

k1 ? k2 ?

2 ?8 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac c y0 ? ? ? 2 2a 2a a x0 ? 8
2 x0 y2 1 2 2 ? 12 ? x0 ? 0 ? 1 ,即 y0 , 2 24 12

因为点 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

1 2 x0 1 2 k k ? ? ? ,即 2k1k2 ? 1 ? 0 . 所以 1 2 2 x0 ? 8 2 4?
(3) OP ? OQ 是定值,定值为 36,
2 2

理由如下: 法一: (i)当直线 OP, OQ 不落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,

24 ? 2 x ? , 1 ? y ? k1 x, ? 1 ? 2k12 ? ? 2 联立 ? x 解得 ? y2 2 ? ? 1, ? ? y 2 ? 24k1 . ? 24 12 1 ? 1 ? 2k12 ?
1 24(1 ? k12 ) 24(1 ? k22 ) 2 2 所以 x ? y ? ,同理,得 x2 ? y2 ? ,由 k1k 2 ? ? , 2 2 2 1 ? 2k1 1 ? 2k2
2 1 2 1

所以 OP2 ? OQ2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22

?

24(1 ? k12 ) 24(1 ? k2 2 ) ? 1 ? 2k12 1 ? 2k2 2
2 1 2 1

1 2 ) ) 24(1 ? k ) 2k1 36 ? 72k12 ? 36 ? ? ? 1 2 1 ? 2k 1 ? 2k12 1 ? 2(? ) 2k1 24(1 ? (?
(ii)当直线 OP, OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ? OQ ? 36 ,
2 2

综上: OP ? OQ ? 36
2 2

法二: (i)当直线 OP, OQ 不落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,

因为 2k1k2 ? 1 ? 0 ,所以

1 2 y1 y2 2 2 ? x12 x2 ? 1 ? 0 ,即 y12 y2 4 x1 x2

? x12 y12 1 ? 2 ? ?1 y1 ? 12 ? x12 ? ? ? 24 12 ? 2 因为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,所以 ? 2 , 即? , 2 ? y 2 ? 12 ? 1 x 2 ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? ? ? 2 ? 24 12
所以 (12 ?

1 2 1 2 1 2 2 2 x1 )(12 ? x2 ) ? x12 x2 ,整理得 x1 ? x2 ? 24 , 2 2 4

2 2 所以 y1 ? y2 ? ?12 ?

? ?

1 2? ? 1 2? 2 2 x1 ? ? ?12 ? x2 ? ? 12 , 所以 OP ? OQ ? 36 . 2 ? ? 2 ?

tan?PF2 A ? tan2?PAF2 即可.
试题解析:(1)由题可知: a ? 1

e?

c ?2 a

?c ? 2

a 2 ? b2 ? c 2

?b ? 3

x2 ?
∴双曲线 C 的方程为:

y2 ?1 3

(2)设直线 l 的方程为: x ? ty ? 2 ,另设: P ? x1 , y1 ?、Q ? x2 , y2 ?

? 2 y2 ?1 ?x ? ? 3t 2 ? 1 y 2 ? 12ty ? 9 ? 0 3 ? ? x ? ty ? 2 ?

?

?

? y1 ? y2 ?

?12t 9 ,y1 y2 ? 2 2 3t ? 1 3t ? 1

又直线 AP 的方程为 y ?

?1 1 3 y1 ? y1 , ? x ? 1? ,代入 x ? 2 ? M ? ? 2 2 ? x ? 1? ? ? x1 ? 1 1 ? ? ?1 1 3 y2 ? y2 , ? x ? 1? ,代入 x ? 2 ? N ? ? 2 2 ? x ? 1? ? ? x2 ? 1 2 ? ?

同理,直线 AQ 的方程为 y ?

?3 ?3 3 y1 ? 3 y2 ? ? MF2 ? ? ,, NF2 ? ? ,? ? ?2 ?2 2 ? x1 ? 1? ? 2 ? x2 ? 1? ? ? ? ? ?

9 y1 y2 9 y1 y2 9 y1 y2 9 9 9 ? MF2 ? NF2 ? ? ? ? ? ? 2 4 4 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? 4 4 ? ty1 ? 3?? ty2 ? 3? 4 4 ? ?t y1 y2 ? 3t ? y1 ? y2 ? ? 9? ?
9 9? 2 9 9 9 3t ? 1 ? ? ? ? ?0 9 ?12t 4 ? ? 4 4 4 ? t 2 ? 2 ? 3t ? 2 ? 9 ? 3t ? 1 3t ? 1 ? ?
? MF2 ? NF2

(3)当直线 l 的方程为 x ? 2 时,解得 P ? 2, 3? . 易知此时 ?AF2 P 为等腰直角三角形,其 中 ?AF2 P ?

?
2

,?PAF2 ?

?
4

,即 ?AF2 P ? 2?PAF2 ,也即: ? =2 .

下证: ?AF2 P ? 2?PAF2 对直线 l 存在斜率的情形也成立.

tan 2?PAF2 ?

2 tan ?PAF2 2k PA ? ? 2 1 ? tan ?PAF2 1 ? k 2 PA

2?

y1 x1 ? 1
2

? y ? 1? ? 1 ? ? x1 ? 1 ?

?

2 y1 ? x1 ? 1?

? x1 ? 1?

2

? y12

x12 ?

y12 ? 1 ? y12 ? 3 ? x12 ? 1? 3
2 y1 ? x1 ? 1?

? tan 2?PAF2 ?

? x1 ? 1?

2

? 3 x12 ? 1

?

?

?

?2 ? x1 ? 1?? x1 ? 2 ?

2 y1 ? x1 ? 1?

??

y1 x1 ? 2

? tan ?AF2 P ? ?kPF2 ? ?
? ?

y1 ? tan 2?PAF2 (创作:学科网“天骄工作室” ) x1 ? 2

∴结合正切函数在 ? 0, 13. (1) e ?

? ? ??

? , ? ? 上的图像可知, ?AF2 P ? 2?PAF2 ? ? 2? ?2 ?

c 1 9 ? ; (2) (0, ) .(创作:学科网“天骄工作室” ) 41 a 2

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识, 考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,设出 F 点坐标,数形 结合, 根据椭圆的性质, 得到 M ? a ? c, m ? a ? c, 代入已知 M ? m ?

3 2 a 中, 得到 a ? 2c , 4

计算出椭圆的离心率;第二问,根据题意,设出椭圆方程和直线方程,两方程联立,消参, 利用韦达定理,得到 x1 ? x2 和 x1 x2 ,利用三角形相似得到所求的比例值,最后求范围. 试题解析:(1) 设 F (?c,0)(c ? 0) ,则根据椭圆性质得

M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ?
因此椭圆的离心率 为 e ?

3 2 3 a ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? 4c 2 , a ? 2c , 4 4

c 1 ? . a 2
2 2

(2) 由(1)可知 a ? 2c , b ? a ? c ? 3c ,椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1. 4c 2 3c 2

根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,

? y ? k ( x ? c) ? 并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则由 ? x 2 消去 y 并整理得 y2 ? ?1 ? 2 2 ? 4c 3c

(4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0
8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 从而有 x1 ? x2 ? ? 2 , 4k ? 3 4k ? 3
所以 G (?

4ck 2 3ck , 2 ) .(创作:学科网“天骄工作室” ) 2 4k ? 3 4k ? 3

3ck ck 2 4k 2 ? 3 x ? ? 因为 DG ? AB ,所以 , . ? k ? ?1 D 4k 2 ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3
由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以

S1 GD ? ? S2 OD 2

2

(?

4ck 2 ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . 2 ck k2 (? 2 ) 2 4k ? 3



S1 ? t ,则 t ? 9 ,从而 S2

9 2S S 2S1S2 2 2 9 ? ? ? ,即 2 1 2 2 的取值范围是 (0, ) . 2 2 1 1 41 41 S1 ? S 2 S1 ? S2 t? 9? t 9

x2 1 ? y 2 ? 1; ( 2 ) 2 ;( 3 ) x 2 ? y 2 ? . 14. (1) 2 2
【解析】 (1)设椭圆的方程,用待定系数法求解即可; (2)解决直线和椭圆的综合问题时注 意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知 斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程 联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式计算一元二次方程根.第 四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.在解决与抛物线性质 有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、 准线的问题更是如此 解: (I) 解: 依题意得: 椭圆的焦点为 F 由椭圆定义知:2a ?| AF 1 (?1,0), F 2 (1,0) , 1 | ? | AF 2 |

? a ? 2, c ? 1?b ? 1 ,所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(II) (ⅰ)设 B( x2 , y2 ) ,则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 令 x ? 0 , yD ?

x2 x ? y2 y ? 1 2

1 1 2 ,令 y ? 0, xC ? ,所以 S?OCD ? y2 x2 x2 y2

又点 B 在椭圆的第一象限上,所以 x2 ? 0, y2 ? 0,

x2 2 ? y2 ? 1 2

2

?1 ?

x2 x 2 2 ? y2 ? 2 2 y2 ? 2 x2 y2 2 2

2

2

(创作:学科网“天骄工作室” )

? S?OCD ?

x 1 1 2 2 ,当且仅当 2 ? y2 ? x2 ? 2 y2 ? 1 ? ? 2 x2 y2 2 2
2 ) 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 2

2

所以当 B (1,

x3 x ? y3 y ? 1 2 x x 又 PM 过点 P(m, n) ,所以 3 m ? y3 n ? 1 ,同理点 N ( x4 , y4 ) 也满足 4 m ? y4 n ? 1 , 2 2
(Ⅲ)设 P(m, n) ,则椭圆 C1 在点 M ( x3 , y3 ) 处的切线为:


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