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暑期培优:第二章 函数(必记知识点+必明易错点+必会方法)老师版


专题二、函数
函数及其表示

1.函数映射的概念 函数 两集合 A,B 对应 关系 f:A→B 名称 记法 设 A,B 是两个非空数集 如果按照某个对应关系 f, 对于集合 A 中的任何一个数 x, 在集合 B 中都 存在唯一确定的数 f(x)与之对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 f, 使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 对应 f:A→B 是一个映射

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几种函数组成. [试一试]

1

1.(2013· 苏锡常镇一调)已知常数 t 是负实数,则函数 f(x)= 12t2-tx-x2的定义域是 ________. 解析:因为 f(x)= 12t2-tx-x2= ?-x+3t??x+4t?,则(-x+3t)(x+4t)≥0.又 t<0,所以 x∈[3t,-4t]. 答案:[3t,-4t]
? ?log2x,x>0, 2.(2013· 扬州期末)已知函数 f(x)=? x 则 f(f(0))=________. ?3 ,x≤0, ?

解析:因为 f(0)=30=1,所以 f(f(0))=f(1)=log21=0. 答案:0

求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [练一练] 1.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于________. 解析:f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. 答案:2x+7 2.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(x)=________.
? ? ?1+b+c=0, ?b=-4, 解析:由题意得? 解得? ?9+3b+c=0, ?c=3. ? ?

∴f(x)=x2-4x+3. 答案:x2-4x+3
对应学生用书 P9

考点一

函数与映射的概念

1.下列四组函数中,表示同一函数的是________.(填写序号) ①y=x-1 与 y= ?x-1?2 ②y= x-1与 y= x-1 x-1

2

③y=4lg x 与 y=2lg x2 答案:④

④y=lg x-2 与 y=lg

x 100

2.以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么? x (1)f1:y= ;f2:y=1. x 1,x≤1, ? ? (2)f1:y=?2,1<x<2, ? ?3,x≥2; f2: x y (3)f1:y=2x;f2:如图所示. x≤1 1 1<x<2 2 x≥2 3

解:(1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为 R. (2)同一函数.x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方 式. (3)同一函数.理由同(2). [备课札记]

[类题通法] 两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用 x 表示, 但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数. 考点二 函数的定义域问题

3

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分.归 纳起来常见的命题角度有: ?1?求给定函数解析式的定义域; ?2?已知 f?x?的定义域,求 f?g?x??的定义域; ?3?已知定义域确定参数问题.

角度一 求给定函数解析式的定义域 1.(1)(2013· 山东高考改编)函数 f(x)= 1-2x+ 1 的定义域为________. x+3

1? 2 (2)(2013· 安徽高考)函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为________.
x ? ?1-2 ≥0, 解析:(1)由题意,自变量 x 应满足? ?x+3>0, ?

?x≤0, ? 解得? ,∴-3<x≤0. ?x>-3 ?

1 x+1 ? ? ?x<-1或x>0, ? ?1+x>0, >0, ? (2)要使函数有意义,需? 即? x 即? 解得 0<x≤1, ? ?-1≤x≤1, 2 2 ? ? ?1-x ≥0, ?x ≤1, 所以定义域为(0,1]. 答案:(1)(-3,0] (2)(0,1] 角度二 已知 f(x)的定义域,求 f(g(x))的定义域 2.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域. 解:∵函数 f(x)的定义域是[-1,1],∴-1≤log2x≤1, 1 ? 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为? ?2,2?. 2 [备课札记]

角度三 已知定义域确定参数问题 3.(2014· 合肥模拟)若函数 f(x)= ________. 解析:函数 f(x)的定义域为 R,所以 2x2+2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立,即 2x2+2ax- a≥1,x2+2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0] 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

4

[类题通法] 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出. 考点三 求函数的解析式

1? 2 1 [典例] (1)已知 f? ?x+x?=x +x2,求 f(x)的解析式. 2 ? (2)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式. (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x). (4)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. [解] 1? 2 1 ? 1?2 (1)由于 f? ?x+x?=x +x2=?x+x? -2,

所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). 2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x-1 (3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, ? 所以? ?a+b=1, ?

1 解得 a=b= . 2 1 1 所以 f(x)= x2+ x(x∈R). 2 2 (4)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1). 以-x 代 x,得 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). ② ①

5

由①②消去 f(-x),得 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 [备课札记]

[类题通法] 求函数解析式常用的方法有 (1)待定系数法; (2)换元法(换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法; (4)解方程组法. [针对训练] 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 解:法一:设 t= x+1, 则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1. 考点四 分段函数

? ?2x+a,x<1, [典例] (2011· 江苏高考)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), ?-x-2a,x≥1. ?

则 a 的值为________. [解析] 当 a>0 时,1-a<1,1+a>1.
6

这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,解得 a=- . 2 不合题意,舍去. 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综上可知,a 的值为- . 4 3 [答案] - 4 [备课札记]

[类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. [针对训练]
?2 x,x∈?-∞,1?, 设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范围是______. ?x ,x∈[1,+∞?,


解析:当 x<1 时,由 f(x)>4,得 2 x>4,即 x<-2;


当 x≥1 时,由 f(x)>4 得 x2>4,所以 x>2 或 x<-2, 由于 x≥1,所以 x>2. 综上可得 x<-2 或 x>2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
对应学生用书 P10

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[课堂练通考点] 1.(2013· 南京一模)函数 y= 2x-x2的定义域是________. 解析:由 2x-x2≥0 得 0≤x≤2,故函数的定义域为[0,2] 答案:[0,2]
x ? x<0, ?2 , 2 . (2013· 苏北四市二调 ) 若函 数 f(x) = ? -x 则函 数 y = f(f(x)) 的值域是 ?-2 , x>0, ?

________. 解析:当 x<0 时,f(x)=2x∈(0,1),故 y=f(f(x))=-2
-f(x)

1? ∈? ?-1,-2?;当 x>0 时,f(x)

1 ? 1 1 - ,1 ,从而原函数的值域为?-1,- ?∪? ,1?. =-2 x∈(-1,0),故 y=f(f(x))=2f(x)∈? 2 2 ? ? ? ? ?2 ? 1? ?1 ? 答案:? ?-1,-2?∪?2,1? 3.函数 y=(x+1)0+ln(-x)的定义域为________.
?x+1≠0, ? ? ?x≠-1 解析:由题意知,? ?? ?x∈(-∞,-1)∪(-1,0). ? ? ?x<0 ?-x>0,

答案:(-∞,-1)∪(-1,0) 4.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________. 解析:由 f(1)=f(2)=0,
?12+p+q=0, ?p=-3, ? ? 得? 2 所以? ?2 +2p+q=0, ? ? ?q=2.

故 f(x)=x2-3x+2. 所以 f(-1)=(-1)2+3+2=6. 答案:6
? ?x-1,x>0, 5.已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ?2-x,x<0. ?

(1)求 f(g(2))与 g(f(2)); (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式. 解:(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0; f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.
2 ? ?x -2x,x>0, ? 所以 f(g(x))= 2 ?x -4x+3,x<0. ?

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2 ? ?x -2,x<-1或x>1, 同理可得 g(f(x))=? 2 ?3-x ,-1<x<1. ?

[课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从 A 到 B 的映射的 是________.(填写序号) 1 1 1 ①f:x→y= x ②f:x→y= x ③f:x→y= x 8 4 2 ④f:x→y=x 解析:按照对应关系 f:x→y=x,对①中某些元素(如 x=8),②中不存在元素与之对应. 答案:④ 2x+1 2.(2014· 南昌模拟测试)函数 f(x)= 2 的定义域是________. 2x -x-1
?2x+1≥0, ? 1 解析:由题意得? 2 解得 x>- 且 x≠1. 2 ?2x -x-1≠0, ?

1 答案:{x|x>- 且 x≠1} 2
?x3,0≤x<5 ? 3.(2014· 温州高三第一次适应性测试 )设函数 f(x)= ? ,那么 f(2 013)= ? ?f?x-5?,x≥5

________. 解析:根据题意,当 x≥5 时,f(x)=f(x-5), ∴f(2 013)=f(3),而当 0≤x<5 时,f(x)=x3, ∴f(3)=33=27. 答案:27
? ?2,x∈[0,1], 4.(2014· 连云港期末)已知函数 f(x)=? 则使 f[f(x)]=2 成立的实数 x 的集 ?x,x?[0,1], ?

合为________. 解析:当 x∈[0,1]时,f(f(x))=f(2)=2 成立;当 x?[0,1]时,f(f(x))=f(x)=x,要使 f(f(x))=2 成立,只需 x=2,综上所述,实数 x 的集合为{x|0≤x≤1 或 x=2}. 答案:[0,1]∪{2}

? x,x<A, 5. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位: 分钟)为 f(x)=? c ? A,x≥A
(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么

c

9

c 和 A 的值分别是________. 解析:因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, 所以 c =15, A c c = =30. 4 2 ① ②

所以必有 4<A,且

联立①②解得 c=60,A=16. 答案:60,16 1? 6.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f? ?2?log2x,则 f(2)=________. 1? 1 ?1? log22,则 f?1?=1,则 f(x)=1+1· 解析: 由已知得 f? log2x, 故 f(2)=1+ · log22 ?2?=1-f?2?· ?2? 2 2 2 3 = . 2 3 答案: 2
?x2+2ax,x≥2, ? 7.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是________. ? 2 + 1 , x < 2 , ?

解析:由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2,即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 8.有以下判断:
?1,?x≥0? ? |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? 表示同一个函数. x ?-1,?x<0? ?

(2)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数.

?1??=0. (3)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f? f ? ?2??
其中正确判断的序号是________.
? ?1?x≥0?, |x| 解析:对于(1),函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x)=? 的 x ?-1?x<0? ?

定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同, 1? ?1 ? ?1? 所以 f(x)与 g(t)表示同一函数;对于(3),由于 f? ?2?=?2-1?-?2?=0,

?1?? 所以 f? ?f?2??=f(0)=1.
综上可知,正确的判断是(2). 答案:(2)

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9.设函数 f(x)=?

? x,x≥0, ? -x,x<0,

若 f(a)+f(-1)=2,则 a=________.

解析:若 a≥0,则 a+1=2,解得 a=1;若 a<0,则 -a+1=2,解得 a=-1.故 a= ± 1. 答案:± 1 10.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.则 f(x)=________. 解析:设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. 答案:x2-x+1 第Ⅱ组:重点选做题 1? 1.?创新题?具有性质: f? 我们称为满足“倒负”变换的函数, 下列函数: ?x?=-f(x)的函数, x,0<x<1, ? ?0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 ? ?-x,x>1. ________(填序号). 1? 1 1? 1 1 解析:对于①,f(x)=x- ,f? = -x=-f(x),满足;对于②,f? ?x?=x+x=f(x),不满 x ? x? x 足;对于③,

其中满足“倒负”变换的函数是

? ? 1 1? ? f?x?=?0,x =1, ? >1, ?-x,1 x
答案:①③

1 1 ,0< <1, x x

? ,x>1, 1? ?x ? 即 f?x?=?0,x=1, ? ?-x,0<x<1,

1

1? 故 f? ? x?=-f(x),满足.

综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.

x2-1 2.若函数 f(x)= 2 ,则 x +1

11

f?2? (1) =________. 1? f? ?2? 1? ?1? ? 1 ? (2)f(3)+f(4)+?+f(2 012)+f? ?3?+f?4?+?+f?2 012?=________. 1? x -1 1-x 解析:(1)∵f(x)+f? ?x?=x2+1+1+x2=0, ∴ f?x? f?2? =-1(x≠± 1),∴ =-1. 1 ? ?1? f? f ?x ? ?2?
2 2

1? ?1?=0,?f(2 012)+f? 1 ?=0,∴f(3)+f(4)+?+f(2 012) (2)又 f(3)+f? = 0 , f (4) + f ?3? ?4? ?2 012? 1? ? 1 ?=0. +f? + ? + f ?3? ?2 012? 答案:(1)-1 (2)0 3.(2013· 苏北四市一检)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R, 且 f(1)≠0,则 f(2 014)=________. 解析:令 m=n=0,得 f(0+02)=f(0)+2[f(0)]2,所以 f(0)=0;令 m=0,n=1,得 f(0+ 1 12)=f(0)+2[f(1)]2,由于 f(1)≠0,所以 f(1)= ;令 m=x,n=1,得 f(x+12)=f(x)+2[f(1)]2, 2 1?2 1 1 所以 f(x+1)=f(x)+2×? ,即 f ( x + 1) = f ( x ) + ,这说明数列 { f ( x )}( x ∈ Z ) 是首项为 ,公差为 ?2? 2 2 1 1 1 的等差数列,所以 f(2 014)= +(2 014-1)× =1 007. 2 2 2 答案:1 007 4.规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数 x,令 f1(x) =[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1)若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围. 7 7 解:(1)∵x= 时,4x= , 16 4 7? ∴f1(x)=? ?4?=1. 7 7? 3 ∵g(x)= -? = . 4 ?4? 4 3? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1? ?4?=[3]=3. (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3.

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? ?1≤4x<2, 7 1 ∴? ∴ ≤x< . 16 2 ?3≤16x-4<4, ?

7 1? 故 x 的取值范围为? ?16,2?.

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第二节

函数的单调性与最值

对应学生用书 P11

1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值

1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减. 单调区间只 能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号 “∪”联结,也不能用“或”联结. 2. 两函数 f(x), g(x)在 x∈(a, b)上都是增(减)函数, 则 f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但 f(x)· g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x? [试一试] 1.(2013· 苏锡常镇二调)函数 f(x)=2x+log2x(x∈[1,2])的值域为________. 解析:因为 y=2x,y=log2x 在定义域内均为增函数,所以 y=2x+log2x 在[1,2]上单调递 增,故 f(x)∈[2,5]. 答案:[2,5] 2.函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________. 解析:函数 f(x)的对称轴 x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8.

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答案:[1,4] 8

1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判 断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. [练一练] 1.(2013· 南京第一学期调研)命题甲:函数 f(x)是奇函数,乙:函数 f(x)在定义域上是增 函数.对于函数: 1 (1)f(x)=- ;(2)f(x)=tan x; x
?2x-1, x≥0, ? (3)f(x)=x|x|;(4)f(x)=? -x ?-2 +1, x<0. ?

能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是________. 解析:(1)(2)不满足在定义域上是增函数,(3)(4)满足,且(3)(4)是奇函数. 答案:(3)(4) 1 2.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1 1 1 答案: 5 10

对应学生用书 P11

考点一

求函数的单调区间

15

1.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 1 解析:要使 y=log5(2x+1)有意义,则 2x+1>0,即 x>- ,而 y=log5u 为(0,+∞)上的 2 1 1 ? 增函数,当 x>- 时,u=2x+1 也为 R 上的增函数,故原函数的单调增区间是? ?-2,+∞?. 2 1 ? 答案:? ?-2,+∞? 2.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________.
?1, ? 解析:y=x-|1-x|=? ?2x-1, ?

x≥1, x<1.

作出该函数的图像如图所示.

由图像可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 3 .设函数 y = f(x) 在 ( -∞,+∞) 内有定义.对于给定的正数 k ,定义函数 fk(x) =
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为________. 2 ?k,f?x?>k, ?

1 解析:由 f(x)> ,得-1<x<1. 2 1 由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 2 ,x≥1, ? ?1 1 所以 f (x)=?2,-1<x<1, 2 ? ?2 ,x≤-1.
x
-x

1 故 f (x)的单调递增区间为(-∞,-1). 2 答案:(-∞,-1) [备课札记]

[类题通法] 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即 (1)定义法;(2)复合法;(3)图像法;(4)导数法.
16

考点二

函数单调性的判断

k [典例] 试讨论函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性. x [解] 法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取 k k 1 1 x1x2-k x2+ ?-?x1+ ?=(x2-x1)+k? - ?=(x2-x1) x1,x2,令 x1<x2,那么 f(x2)-f(x1)=? . x2? ? x1? ? ?x2 x1? x1x2 因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x1x2>0. 故当 x1,x2∈( k,+∞)时,f(x1)<f(x2), 即函数在( k,+∞)上单调递增. 当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1)>f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减. k 考虑到函数 f(x)=x+ (k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故 x 在(-∞,- k)上单调递增,在(- k,0)上单调递减. 综上,函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单调 递减. k 法二:f′(x)=1- 2. x 令 f′(x)>0 得 x2>k, 即 x∈(-∞, - k)或 x∈( k, +∞), 故函数的单调增区间为(-∞, - k)和( k,+∞).令 f′(x)<0 得 x2<k,即 x∈(- k,0)或 x∈(0, k),故函数的单调减区 间为(- k,0)和(0, k). 故函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单调递减. [备课札记]

[类题通法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后要注意差式的分解变形彻底. 2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确. [针对训练] -2x 判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, -2x1 -2x2 2?x1-x2? 则 g(x1)-g(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1?

17

由于 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数. 考点三 函数单调性的应用

函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求函数的值域或最值; ?2?比较两个函数值或两个自变量的大小; ?3?解函数不等式; ?4?求参数的取值范围或值. 角度一 求函数的值域或最值 1.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵当 x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. [备课札记]

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角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则 f(x1)________f(x2)(填“>” 1-x 或“<”) 解析:∵函数 f(x)=log2x+ f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. 答案:< 角度三 解函数不等式
?x2-4x+3,x≤0, ? 3.已知函数 f(x)=? 2 则不等式 f(a2-4)>f(3a)的解集为________. ? - x - 2 x + 3 , x >0 , ?

1 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,∴当 x1∈(1,2)时, 1-x

解析: 作出函数 f(x)的图像, 如图所示, 则函数 f(x)在 R 上是单调递减的. 由 f(a2-4)>f(3a),可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0,即(a+1)(a-4)<0,解 得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4). 答案:(-1,4) 角度四 求参数的取值范围或值 ?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 4. 已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2, 都有 <0 成立, x1-x2 - 1 , x <2 ? 2 ? ? ? 则实数 a 的取值范围为____________. 解析:函数 f(x)是 R 上的减函数, a-2<0, ? ? 13 于是有? 由此解得 a≤ , 1?2 ? 8 ??a-2?×2≤?2? -1, ? 13? 即实数 a 的取值范围是? ?-∞, 8 ? . 13? 答案:? ?-∞, 8 ? [类题通法] 1.含“f”不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉 “f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内.

19

2.比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化 到同一个单调区间上进行比较,对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解.

对应学生用书 P13

[课堂练通考点] 1.(2013· 无锡期末)已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围为 ________. 解析:令 m=ax-1,则函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增等价于 m=ax-1 在(1,2)
?a>0, ? 上单调递增,且 ax-1>0 在(1,2)上恒成立,所以? 即 a≥1. ?a-1≥0, ?

答案:[1,+∞) 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是________.
2 ? ?x -2x,x≥2, ? 解析:由于 f(x)=|x-2|x= 2 ?-x +2x,x<2. ?

结合图像可知函数的单调减区间是[1,2]. 答案:[1,2]

?1??<f(1), 3. 已知函数 f(x)为 R 上的减函数, 若 m<n, 则 f(m)______f(n)(填“>”或“<”); 若 f? ??x??
则实数 x 的取值范围是________. 解析:由题意知 f(m)>f(n);

?1?>1,即|x|<1,且 x≠0. ? x?
故-1<x<1 且 x≠0. 答案:> (-1,0)∪(0,1) 1?x 4.函数 f(x)=? ?3? -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 1?x 解析:由于 y=? ?3? 在 R 上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以 f(x)在[-1,1]上单 调递减,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 答案:3 ax+1 5.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围. x+2 ax+1 a?x+2?+1-2a 1-2a 解:f(x)= = = +a. x+2 x+2 x+2

20

任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 1-2a 1-2a ?1-2a??x2-x1? - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

ax+1 ∵函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的, x+2 ∴f(x1)-f(x2)<0. ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 1 1 ? ∴1-2a<0,a> ,即实数 a 的取值范围是? ?2,+∞?. 2 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题
2 ? ?x +x, 1 . (2013· 苏北四市三调 ) 已知函数 f(x) = ? 2 ?ax +bx, ?

x≤0, x>0

为奇函数,则 a + b =

________. 解析:当 x>0 时,-x<0, 由题意得 f(-x)=-f(x), 所以 x2-x=-ax2-bx,从而 a=-1, b=1,a+b=0. 答案:0 2. 若函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2, +∞)上递增, 在(-∞, -2]上递减, 则 f(1)=________. -m m 解析: 依题意, 知函数图像的对称轴为 x=- = =-2,即 m=-16,从而 f(x)=4x2 8 8 +16x+5,f(1)=4+16+5=25. 答案:25 3.?创新题?定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1 ⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于________. 解析:由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2, 当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6. 答案:6 4 .若 f(x) =- x2 + 2ax 与 g(x) = ________. 解析:∵函数 f(x)=-x2+2ax 在区间[1,2]上是减函数,∴a≤1. a 又∵函数 g(x)= 在区间[1,2]上也是减函数, x+1 ∴a>0.∴a 的取值范围是(0,1].
21

a 在区间 [1,2] 上都是减函数,则 a 的取值范围是 x+1

答案:(0,1] 5.(2014· 苏中三市、宿迁调研)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x+ex(e 为自然对数的底数),则 f(ln 6)的值为________. 解析:由 f(x)是奇函数得 f(ln 6)=-f(-ln 6)=-(-ln 6)-e 1 答案:ln 6- 6 1 ? 1 1 ?1 ? 则 a=__________. 6. 已知函数 f(x)= - (a>0, x>0), 若 f(x)在? ?2,2?上的值域为?2,2?, a x 1 ? 1 1 解析:由反比例函数的性质知函数 f(x)= - (a>0,x>0)在? ?2,2?上单调递增, a x 1? 1 ? ?a-2=2, ?f? = , 2 ? ? 2 所以? 即? 1 1 ?f?2?=2. ? - =2, 1 1 2 解得 a= . 5
-ln

6

1 =ln 6- . 6

?a

2

2 答案: 5 1,x>0, ? ? 7.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, x ,x>1, ? ? 解析:g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1. 答案:[0,1) 2x+k 8.使函数 y= 与 y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,则实数 k 的取值 x-2 范围是________. 解析:由 y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,故在(3,+∞)上是增函数. 2x+k 2?x-2?+4+k 4+k 又函数 y= = =2 + , x-2 x-2 x-2 使其在(3,+∞)上是增函数, 故 4+k<0,得 k<-4. 答案:(-∞,-4) x 9.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:任设 x1<x2<-2,
22
2

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________.

如图所示,其递减区间是[0,1).

则 f(x1)-f(x2)=

2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.综上所述知 0<a≤1. x1? 10.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.
2

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 解:(1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 由于当 x>1 时,f(x)<0, x1? 所以 f? ?x ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2

因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). x1? ?9?=f(9)-f(3), 由 f? = f ( x ) - f ( x ) 得, f 1 2 ?x ? ?3?
2

而 f(3)=-1,∴f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 南通二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x -4|.下列不等关系: π π sin ?<f?cos ?;②f(sin l)>f(cos l); ①f? ? 6? ? 6? 2π 2π cos ?<f?sin ?;④f(cos 2)>f(sin 2). ③f? ? 3? ? 3?
23

其中正确的是________(填序号). π π 解析:当 x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],从而 f(x)=f(x+4)=2-|x|,因为 sin <cos ,所以 6 6 π? ? π? ? 2π? ? 2π? f? ?sin6? >f ?cos6? ;因为 sin l>cos l ,所以 f(sin l)<f(cos l) ;因为 ?cos 3 ? < ?sin 3 ? ,所以 2π? ? 2π? f? ?cos 3 ?>f?sin 3 ?;因为|cos 2|<|sin 2|,所以 f(cos 2)>f(sin 2).综上所述,正确的是④. 答案:④ 2 .若函数 f(x) = |logax|(0<a<1) 在区间 (a,3a - 1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 2 解析:由于 f(x)=|logax|(0<a<1)的递减区间是(0,1],所以有 0<a<3a-1≤1,解得 <a≤ . 2 3 1 2? 答案:? ?2,3?

第三节

函数的奇偶性及周期性

对应学生用书 P13

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定 义 图像特点 关于 y 轴对称

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数

奇函数 2.周期性 (1)周期函数:

关于原点对称

对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期.

1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称

24

是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能 说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而 否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的. [试一试] 1.(2013· 南通三模)对于定义在 R 上的函数 f(x),给出三个命题: ①若 f(-2)=f(2),则 f(x)为偶函数; ②若 f(-2)≠f(2),则 f(x)不是偶函数; ③若 f(-2)=f(2),则 f(x)一定不是奇函数. 其中正确命题的序号为________. 解析: 根据偶函数的定义, 对于定义域内的任意实数 x, 若 f(-x)=f(x), 则 f(x)是偶函数. 从 而命题①错误,命题②正确;对于常数函数,命题③错误. 答案:① 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 解析:∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 ∴a-1+2a=0,∴a= .又 f(-x)=f(x), 3 1 ∴b=0,∴a+b= . 3 1 答案: 3

1.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:

(2)图像法:

25

2.周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f?x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f?x? [练一练] 3? 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f? ?x+2?,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________. 3? 解析:∵f(x)=-f? ?x+2?, 3? 3? ? 3? ∴f(x+3)=f?? ?x+2?+2 =-f?x+2?=f(x).

?

?

∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=2. 答案:2
对应学生用书 P14

考点一 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3 x;


函数奇偶性的判断

4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3
2 ? ?x +x,x>0, ? (5)f(x)= 2 ?x -x,x<0. ? 2 ? ?x -1≥0, 解:(1)∵由? 得 x=± 1, 2 ?1-x ≥0, ?

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
?3? (2)∵函数 f(x)= 3-2x+ 2x-3的定义域为?2?,不关于坐标原点对称, ? ? 26

∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)∵f(x)的定义域为 R, ∴f(-x)=3 x-3x=-(3x-3 x)=-f(x),
- -

所以 f(x)为奇函数.
?4-x2≥0, ? (4)∵由? 得-2≤x≤2 且 x≠0. ? ?|x+3|-3≠0,

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = = , x |x+3|-3 ?x+3?-3 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (5)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又当 x>0 时,f(x)=x2+x, 则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. [备课札记]

[类题通法] 判断函数奇偶性除利用定义法和图像法,应学会利用性质 (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 考点二 函数奇偶性的应用

[典例] (1)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围. [解析] (1)∵y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,∴当 x=-1 时,y=-2, 即 f(-1)+(-1)2=-2, 得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. (2)∵f(x)的定义域为[-2,2],
?-2≤1-m≤2, ? ∴? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ?-2≤1-m ≤2, ? 27

又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. [备课札记]

本例(2)中条件在区间[-2,0]上“递减”变为“递增”, 试想 m 的范围改变吗?若改变,求 m 的取值范围. 解:改变. ∵f(x)为奇函数且在[-2,0]上递增, ∴f(x)在[-2,2]上递增. ∴m2-1>1-m. 即 m>1 或 m<-2. 由例(2)①知 1<m≤ 3. 故 m 的取值范围为(1, 3]. [类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值: 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式: 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造 关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性. [针对训练] 1.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数, ∴函数 y=f(x)在[0,+∞)上是增函数.
28

∴当 a>0 时,由 f(a)≥f(2)可得 a≥2, 当 a<0 时,由 f(a)≥f(2)=f(-2),可得 a≤-2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-2]∪[2,+∞) 2. (2013· 苏北四市期中)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 且 f(2)=1, 若 f(x+a)≤1 对 x∈[-1,1]恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意得-2≤x+a≤2 对 x∈[-1,1]恒成立,即-2-x≤a≤2-x 对 x∈[-1,1]恒 成立.当 x∈[-1,1]时,(-2-x)max=-2-(-1)=-1,(2-x)min=2-1=1,所以实数 a 的 取值范围是[-1,1]. 答案:[-1,1] 考点三 函数的周期性及其应用 1 ,且当-3≤x<-1 时,f(x)=- f?x?

[典例] 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=-

(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 014)=________. 1 [解析] ∵对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- , f?x? ∴f(x+6)=f(x+3+3) 1 1 =- =- =f(x), 1 f?x+3? - f?x? ∴f(x)是以 6 为周期的周期函数,∵当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)=?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335. 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2-1+0=2, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 014)=335+2=337. [答案] 337 [备课札记]

29

[类题通法] 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T, 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性, 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质, 在解决具体问题时, 要注意结论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期. [针对训练] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x). 当 x∈[0,2]时, f(x) =2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

对应学生用书 P15

[课堂练通考点] 5 - ?=________. 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ? 2? 解析:∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5 5 5 - ?=-f? ?=-f? -2? ∴f? ? 2? ?2? ?2 ? 1? 1 ? 1? 1 =-f? =- 2 × × 1-2?=- . ?2? 2 ? 2 1 答案:- 2 2.(2010· 江苏高考)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


30

解析:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数 h(x)


=ex+ae x 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1.


答案:-1 3.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析:观察可知,y=x3cos x 为奇函数,且 f(a)=a3cos a+1=11,故 a3cos a=10.则 f(- a)=-a3· cos a+1=-10+1=-9. 答案:-9 4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立, ∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a= 0. 法二:由 f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|得 a=0. 答案:0 5.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围. 解:由偶函数性质知 f(x)在[0,2]上单调递增,且 f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|),因此 f(1 -m)<f(m)等价于 -2≤1-m≤2, ? ? ?-2≤m≤2, ? ?|1-m|<|m|. 1 解得: <m≤2. 2

1 ? 因此实数 m 的取值范围是? ?2,2?. [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1. x 为实数, [x]表示不超过 x 的最大整数, 则函数 f(x)=x-[x]的最小正周期是________. 解析:如图,当 x∈[0,1)时,画出函数图像,

再左右扩展知 f(x)为周期函数. 答案:1 2. (2013· 湖南高考改编)已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(- 1)=4,则 g(1)等于________. 解析:由已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式相加解得,g(1)=3.

31

答案:3 x2+x+1 2 3.(2014· 长春三校调研)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=________. 3 x +1 x2+x+1 x x 解析: 根据题意, f(x)= 2 =1+ 2 , 而 h(x)= 2 是奇函数, 故 f(-a)=1+h(- x +1 x +1 x +1 2 4 a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2- = . 3 3 4 答案: 3 4.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是________.(填写序号) ①f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) ②f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) ③f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) ④f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
?x2-2x,x≥0, ? 解析:将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=? 2 画 ?-x -2x,x<0, ?

出函数 f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数 f(x)的图像关于原点对称, 故函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. 答案:③ 1 5.(2014· 南京摸底)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x ,则 f(-4)的值 2 是________. 1 解析:因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(-4)=-f(4)=-4 =-2. 2 答案:-2 6. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)等于________. 解析:∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 1?x 7.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________. 1?x x 解析:在 f(x)-g(x)=? ?2? 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x)分别

32

是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x. 于是解得 f(x) = 2 x-2x 2 x + 2x 3 5 , g(x) =- ,于是 f(1) =- , g(0) =- 1 , g( - 1) =- ,故 2 2 4 4
- -

f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 8.(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ? ,0≤x≤1, ? ? x+1 3? ? 1? 解析:因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,所以 f? ?2?=f?-2?,且 f(-1)=f(1), 1 b+2 1 1 1 ?=f?- ?,从而2 故 f? =- a+1,即 3a+2b=-2.① 2 2 ? ? ? ? 1 2 +1 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= ,即 b=-2a.② 2 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10 9.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(3)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积. 解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x) =f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图像关于原点成中心对称,则- 1≤x≤0 时,f(x)=x,则 f(x)的图像如图所示. 当-4≤x≤4 时,设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S
△OAB

1 ? =4×? ?2×2×1?=4.

33

-x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值;

2

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图像知? ? ?a-2≤1,

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 第Ⅱ组:重点选做题
x 1 ? ?3 , 1.(2013· 南京二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f?x-1?-f?x-2?, ?


x≤0, x>0,



f(2 016)=________. 解析:x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),相加得 f(x+1)=-f(x-2), 1 - 即 f(x+3)=-f(x),所以 f(x+6)=-f(x+3)=f(x),进而 f(2 016)=f(336×6)=f(0)=3 1= . 3 1 答案: 3 2.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 1?1-x x∈[0,1]时,f(x)=? ?2? ,则: ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; 1?x-3 ④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? . 其中所有正确命题的序号是________. 解析:由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1?1+x f(x)=f(-x)=? ?2? ,
34

函数 y=f(x)的图像如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, 1?x-3 f(x)=f(x-4)=? ?2? ,因此②④正确,③不正确. 答案:①②④

第四节

函数的图像
对应学生用书 P15

1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x-a); a<0,左移|a|个单位 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x)+b. b<0,下移|b|个单位 (2)伸缩变换:
? y=f(x) ???????? 1 ? y=f(ωx); ? ?1,缩短为原来的 ?
1 0?? ?1,伸长为原来的 倍

a>0,右移a个单位

b>0,上移b个单位

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=Af(x). 0<A<1,缩为原来的A倍 (3)对称变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=-f(x); y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=f(-x); y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=-f(-x).
关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称

A>1,伸为原来的A倍

35

(4)翻折变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(|x|); 将y轴右边的图像翻折到左边去 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去
留下x轴上方图 去掉y轴左边图,保留y轴右边图

1.在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则, 写出每一次的变换所得图像对应的解析式,这样才能避免出错. 2.明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y 轴对称的不同,前者也是 自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. [试一试] 函数 y=log2(|x|+1)的图像大致是________.(填写序号)

解析:首先判断定义域为 R.又 f(-x)=f(x).所以函数 y=log2(|x|+1)为偶函数,当 x>0 时,y=log2(x+1). 答案:②

1.数形结合思想 借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用 函数的图像,还可以判断方程 f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等. 2.分类讨论思想 画函数图像时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分别画出其图像. [练一练] 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意 a=|x|+x
? ?2x,x≥0, 令 y=|x|+x=? 图像如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解则 ?0,x<0, ?

a>0. 答案:(0,+∞)
对应学生用书 P16

36

考点一

作函数的图像

分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1. 解:(1)y=?
?lg x,x≥1, ? ? ?-lg x,0<x<1.

图像如图 1.

(2)将 y=2x 的图像向左平移 2 个单位.图像如图 2.
2 ? ?x -2x-1,x≥0, ? (3)y= 2 图像如图 3. ?x +2x-1,x<0. ?

[备课札记]

[类题通法] 画函数图像的一般方法有 (1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数 的特征直接作出; (2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利 用图像变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注 意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 考点二 函数图像的应用

函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的 数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有: ?1?确定方程根的个数; ?2?求参数的取值范围; ?3?求不等式的解集.

角度一 确定方程根的个数 1.(2013· 镇江期末)方程 xlg(x+2)=1 有________个不同的实数根.
37

1 解析:依题意本题 x≠0,原式等价于 lg(x+2)= ,在同一直角坐标系中画出 y=lg(x+ x 1 2),y= (x>-2 且 x≠0),如图所示,所以本题有 2 个不同实数根. x

答案:2 角度二 求参数的取值范围
? ?a,a-b≤1, 2.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数f?x?=(x2-2)?(x-1),x ?b,a-b>1. ?

∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是________.
? ?a,a-b≤1, 解析:∵a?b=? ?b,a-b>1, ? ?x2-2,-1≤x≤2, ? ∴函数 f(x)=(x2-2)?(x-1)=? ?x-1,x<-1或x>2. ?

结合图像可知,当 c∈(-2,-1]∪(1,2]时,函数 f(x)与 y=c 的图像有两个公共点, ∴c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2]. 答案:(-2,-1]∪(1,2] 角度三 求不等式的解集 f?x? 3. 函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数, 其在[0,4]上的图像如图所示, 那么不等式 <0 cos x 的解集为________. π? 解析:在? ?0,2?上 y=cos x>0, π ? 在? ?2,4?上 y=cos x<0. π? f?x? 由 f(x)的图像知在? ?1,2?上cos x<0, 因为 f(x)为偶函数,y=cos x 也是偶函数, f?x? 所以 y= 为偶函数, cos x π f?x? ? ? π? 所以 <0 的解集为? ?-2,-1?∪?1,2?. cos x π ? ? π? 答案:? ?-2,-1?∪?1,2?
38

[备课札记]

[类题通法] 1.研究函数性质时一般要借助于函数图像,体现了数形结合思想; 2.有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决; 3.方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决.
对应学生用书 P17

[课堂练通考点] 1.(2014· 盐城一调)设方程 2ln x=7-2x 的解为 x0,则关于 x 的不等式 x-2<x0 的最大整 数解为________. 7 解析: 设函数 y1=ln x, y2= -x, 所以原方程的解即为这两个函数图像交点的横坐标. 由 2 图像(如图)可得 x0∈(2,3),所以 x<2+x0∈(4,5),故原不等式的最大整数解为 4.

答案:4 2.(2013· 北京高考改编)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度,所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=________. 解析:与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,函数 y=e x 的图像向左平移一个单
- -

位长度即可得到函数 f(x)的图像,即 f(x)=e 答案:e
-x-1

-(x+1)

=e

-x-1

.

3.(2013· 湖南高考改编)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数 为________. 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画 出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=(x-2)2 的图像(如图).由图可得两个函数 的图像有 2 个交点. 答案:2 4.已知函数 f(x)的图像如图所示,则函数 g(x)=log ________.
39
2f(x)的定义域是

解析:当 f(x)>0 时,函数 g(x)=log

2f(x)有意义,

由函数 f(x)的图像知满足 f(x)>0 的 x∈(2,8]. 答案:(2,8] 5.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是________. 解析:如图作出函数 f(x)=|x+a|与 g(x)=x-1 的图像,观察图像 可知:当且仅当-a≤1,即 a≥-1 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,因此 a 的取值范围是[-1,+∞). 答案:[-1,+∞) [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2014· 镇江期末)关于 x 的方程 exln x=1 的实根个数是________. 1?x 1 解析:由 exln x=1(x>0)得 ln x= x(x>0),即 ln x=? ? e? (x>0).令 e 1?x y1=ln x(x>0),y2=? ?e? (x>0),在同一直角坐标 系内绘出函数 y1,y2 的图像,图像如图所示.根据图像可知两函数只有一个交点,所以 原方程实根的个数为 1. 答案:1 2.(2013· 扬州三调)已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x 的零点依次为 a, b,c 则 a,b,c 由小到大的顺序是________. 解析:因为函数 f(x)=2x+x 的零点在(-1,0)上,函数 g(x)=log2x+x 的零点在(0,1)上, 函数 h(x)=x3+x 的零点为 0,所以 a<c<b. 答案:a<c<b 3.(2013· 南通二模)设 x0 是方程 8-x=lg x 的解,且 x0∈(k,k+1)(k∈Z),则实数 k 的值 为________. 解析:在同一个直角坐标系内作出 y=8-x 与 y=lg x 的图像,如 图所示.由图像可知交点的横坐标在区间(1,8)内,又 8-7-lg 7>0,8 -8-lg 8<0,所以交点的横坐标在(7,8)内,所以 k=7. 答案:7 1?x 1 ? 1 ,1? 4. (2013· 苏锡常镇二调)已知方程? ?2? =x3的解 x0∈?n+1 n?,则 正整数 n=________. 1?x 1 解析:在同一直角坐标系中画出函数 y=? ?2? ,y=x3的图像,如图所示.由图可得 x0∈

40

1?x 1 ?1? ?1?1 ?1?1 ?1? ?1?1 ?1?1 (0,1),设 f(x)=? ?2? -x3,因为 f?2?=?2?2-?2?3<0,f?3?=?2?3-?3?3>0,故 n=2.

答案:2
x ? ?2 -1?x≤0?, 5.?创新题?已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)=? 若方程 f(x)=x+a 有两 ?f?x-1??x>0?, ?


个不同实根,则 a 的取值范围为________. 解析:x≤0 时,f(x)=2 x-1,0<x≤1 时,


-1<x-1≤0, f(x)=f(x-1)=2
-(x-1)

-1.

故 x>0 时,f(x)是周期函数, 如图所示.

若方程 f(x)=x+a 有两个不同的实数根, 则函数 f(x)的图像与直线 y=x+a 有两个不同交 点, 故 a<1,即 a 的取值范围是(-∞,1). 答案:(-∞,1)
x ? x>0, ?2 -1, ? 6.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的 2 ?-x -2x, x≤0. ?

取值范围是________. 解析:作出函数 f(x)的图像,如图所示,其中-x2-2x=-(x+1)2 +1,其顶点为(-1,1),由 y=f(x)与直线 y=m 有 3 个交点可知实数 m 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1) x+1 7.函数 f(x)= 图像的对称中心为________. x x+1 1 1 解析: f(x)= =1+ , 把函数 y= 的图像向上平移 1 个单位, 即得函数 f(x)的图像. 由 x x x

41

1 y= 的对称中心为(0,0),可得平移后的 f(x)图像的对称中心为(0,1). x 答案:(0,1) 2 ? ?x , x≥2, 8.(2014· 常州期末)已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个 ??x-1?3,0<x<2, ? 不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析:由图可知,当直线 y=kx 在直线 OA 与 x 轴(不含它们)之间时,y=kx 与 y=f(x)的 图像有两个不同交点,即方程有两个不相同的实根.

1? 答案:? ?0,2? 9.已知函数 f(x)=2x,x∈R.当 m 取何值时方程|f(x)-2|=m 有一个解?两个解? 解:令 F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|, G(x)=m,画出 F(x)的图像如图所示. 由图像看出, 当 m=0 或 m≥2 时, 函数 F(x)与 G(x)的图像只有一 个交点,原方程有一个解; 当 0<m<2 时, 函数 F(x)与 G(x)的图像有两个交点, 原方程有两个解. a,x=1, ? ? 10.函数 f(x)=??1?|x-1| 若关于 x 的方程 2[f(x)]2-(2a+3)· f(x)+3a=0 有五 ? ??2? +1,x≠1, 个不同的实数解,求 a 的取值范围. 3 解:由 2[f(x)]2-(2a+3)f(x)+3a=0 得 f(x)= 或 f(x)=a.由已知画出函数 f(x)的大致图像, 2 要使关于 x 的方程 2[f(x)]2-(2a+3)f(x)+3a=0 有五个不同的实数解, 即要使函数 y=f(x)的图 3? 3 像与直线 y= 、y=a 共有五个不同的交点,结合图像不难得出,a 的取值范围是? ?1,2?∪ 2

?3,2?. ?2 ?

42

第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 南京一模)若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 f(x)的图像 上;②P,Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与 2x +4x+1,x<0, ? ? 点对(Q, P)看做同一个“友好点对”). 已知函数 f(x)=? 2 则 f(x)的“友好 x≥0, x, ? ?e 点对”有________个. 2 解析:由题意知,在函数 f(x)= x上任取一点 A(a,-b),则该点关 e 2 于原点对称的点 B(-a,b)在函数 f(x)=2x2+4x+1 上,故-b= a,b= e 2 2 2a2-4a+1,所以 a=-2a2+4a-1(a≥0).令 g(x)= x(x≥0),h(x)=- e e 2x2+4x-1(x≥0),由图像(如图)可知 f(x)的“友好点对”有 2 个. 答案:2 |x2-1| 2.(2012· 天津高考)已知函数 y= 的图像与函数 y=kx-2 的图像恰有两个交点,则 x-1 实数 k 的取值范围是________.
2

?x+1,x≤-1或x>1, |x2-1| ? 解析: 因为函数 y= =? 所以函数 y=kx-2 的图像恒过点(0, x-1 ? ?-x-1,-1<x<1,

-2), 根据图像易知,两个函数图像有两个交点时,0<k<1 或 1<k<4. 答案:(0,1)∪(1,4)

第五节

二次函数与幂函数

对应学生用书 P17

43

1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 定义域 值域 x∈R a<0 R R 奇 增 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减, (0,+∞)增 R R 奇 增 (1,1) {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递减,在

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递增,在

2

单调性

?- b ,+∞?上递增 ? 2a ?
b ①对称轴:x=- ; 2a

?- b ,+∞?上递减 ? 2a ?

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数

图像特点

2 b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

44

1.研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质,易忽视 a 的取值情况而盲目认为 f(x)为二次函数. 1 2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂函数. 2 [试一试] 1 2 1.(2013· 南通二调)已知幂函数 f(x)=k· xα 的图像过点? , ?,则 k+α=________. ?2 2 ? 2 1?α 1 2 解析:依题意,由 f(x)=k· xα 是幂函数,可知 k=1.又其图像过点? , ?,得 =? ?2? , 2 2 2 ? ? 1 3 则 α= ,从而 k+α= . 2 2 3 答案: 2 2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是________.
?a>0, ?a>0, ? ? 1 解析:由题意知? 即? 得 a> . 20 ? ? ?Δ<0, ?1-20a<0

1 ? 答案:? ?20,+∞?

1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x), 如果定义域内有不同两点 x1, x2 且 f(x1)=f(x2), 那么函数 y=f(x) x1+x2 的图像关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
? ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? ? ?a<0, (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?

3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候 常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴 与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等. [练一练] 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小

45

值为________. a+2 ? ? ?- =1, ?a=-4, 2 解析:由题意知? 得? ?b=6. ? ? ?a+b=2, 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5
对应学生用书 P18

考点一

幂函数的图像与性质

1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2), 则幂函数 y=f(x)的解析式为______________________. 1 1 解析:令 f(x)=xα,则 4α=2,∴α= ,∴f(x)=x . 2 2 1 答案:f(x)=x 2 1 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像.已知 n 取± 2,± 四个值, 2 则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 值依次为____________. 1 1 答案:2, ,- ,-2 2 2 3?2 ?2?3 ?2?2 3.设 a=? ?5?5,b=?5?5,c=?5?5,则 a,b,c 的大小关系是________. 2 解析:∵y=x (x>0)为增函数,∴a>c. 5 2?x ∵y=? ?5? (x∈R)为减函数,∴c>b, ∴a>c>b. 答案:a>c>b [备课札记]

[类题通法] 1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0 时,图像不过 原点,在第一象限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线 下凸.
46

2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比 较,准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点二 求二次函数的解析式

[典例] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此 二次函数的解析式. [解] 法一(利用一般式): 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7. ∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. 2 1?2 ∴y=f(x)=a? ?x-2? +8. 1?2 ∵f(2)=-1,∴a? ?2-2? +8=-1,解得 a=-4, 1?2 2 ∴f(x)=-4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. 法三(利用零点式): 由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 解得 a=-4 或 a=0(舍). ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 4a?-2a-1?-a2 =8. 4a

47

[备课札记]

[类题通法] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:

[针对训练] 已知 y=f(x)为二次函数,且 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,求此二次函数的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5, c=-5, ? ? 所以?a-b+c=-4, ? ?4a+2b+c=-5, 1 2 1 2 解得 a= ,b=- ,c=-5,故 f(x)= x2- x-5. 3 3 3 3

考点三

二次函数的图像与性质

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系, 当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: ?1?轴定区间定求最值; ?2?轴动区间定求最值; ?3?轴定区间动求最值.

角度一 轴定区间定求最值 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间.
48

解:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15, 故 f(x)的最大值是 35. (2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0].

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 角度二 轴动区间定求最值 2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解:函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为 x=a. (1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1, ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0, 1± 5 ∴a= (舍). 2 (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 角度三 轴定区间动求最值 3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1, ∵x=1 不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论. 当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a2 -2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,y 取得最小 值,即 ymin=-1.
2 ? ?a -2a,-2<a≤1, ? 综上,g(a)= ?-1,a>1. ?

49

[备课札记]

[类题通法] 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法: (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解,在区间的端点或二次函数图像的顶 点处取得最值. 当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.
对应学生用书 P19

[课堂练通考点] 1 9 1.(2014· 徐州摸底)已知二次函数 f(x)=ax2-4x+c+1(a≠0)的值域是[1,+∞),则 + a c 的最小值是________. 4a?c+1?-?-4? ? ? = 1, 1 a 1 9 1 9a 4a 解析:由题意知? 化简得 = 且 a>0,于是 + = + c 4 a c a 4 ? ?a>0, ≥2 1 9a 1 9a 2 × =3,当且仅当 = ,即 a= 时取等号. a 4 a 4 3 答案:3 2.(2014· 苏北四市期末)已知函数 f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为[-1,3],则 b-a 的取 值范围是________. 解析:f(x)=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,3],对称轴为直线 x=1,最小值为-1,所以当 a =-1 时,b∈[1,3];当 b=3 时,a∈[-1,1],所以 b-a∈[2,4]. 答案:[2,4] 3.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为________. 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1, 又其图像过点(0,1), 1 1 ∴4a-1=1,∴a= .∴f(x)= (x-2)2-1. 2 2 1 答案:f(x)= (x-2)2-1 2 4.若二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0,+∞),则 a,c 满足的条件是________.
2

50

a>0, ? ? ? ?a>0, 解析:由已知得?4ac-16 ?? ?ac-4=0. ? ? ? 4a =0, 答案:a>0,ac=4 5.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 函数? 解:∵函数 f(x)=(m2-m-1)x
-5m-3 -5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增

是幂函数,

∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x
-13

在(0,+∞)上是减函数;

当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x2 在(0,+∞)上是增函数.∴m=-1. [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2014· 镇江模拟)已知 a∈(0,+∞),函数 f(x)=ax2+2ax+1,若 f(m)<0,比较大小: f(m+2)________1(用“<”“=”或“>”连接). 解析:由 f(x)=ax2+2ax+1(a>0)知 f(x)过定点(0,1).又 f(x)=ax2+2ax+ 1=a(x+1)2-a+1(a>0),设 f(x)=0 的两个实数根为 x1,x2,且 x1<x2,如图 1 所示. 所以 x1+x2=-2, x1x2= , 由 Δ>0 得 a>1, 所以 x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2 a = 4 ?-2?2- ∈(0,2).又因为对称轴为直线 x=-1,f(0)=1,所以 x2∈(- a

1,0).由 f(m)<0,得 x1<m<x2,所以 m+2>0,所以 f(m+2)>1. 答案:> 2.(2013· 苏锡常镇一调)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为 实数,a≠0)的图像过点 C(t,2),且与 x 轴交于 A,B 两点,若 AC⊥BC, 则实数 a 的值为________. 解析:设点 A(x1,0),B(x2,0),则 CA =(x1-t,-2),CB =(x2-t,-2),所以 CA · CB = c b bt c x1x2-t(x1+x2)+t2+4=0.又 x1x2= ,x1+x2=- ,所以 t2+ + +4=0.又点 C(t,2)在抛物线 a a a a bt c 2 2 1 上,所以 at2+bt+c=2,所以 t2+ + = ,即-4= ,解得 a=- . a a a a 2 1 答案:- 2 3.(2013· 盐城二调)设函数 f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中,真命题的序号有________. (1)当 b>0 时,函数 f(x)在 R 上是单调增函数; (2)当 b<0 时,函数 f(x)在 R 上有最小值; (3)函数 f(x)的图像关于点(0,c)对称;
51

(4)方程 f(x)=0 可能有三个实数根. 解析: 特殊值法.取 b>0,c=0,结合图像即得(1)正确;取 b<0,c=0,结合图像即 得(2)错误,(4)正确;取 b=0,结合图像即得(3)正确. 答案:(1)(3)(4)
?ax2-2x-1,x≥0, ? 4.(2013· 苏中三市、连云港、淮安三调)已知函数 f(x)=? 2 是偶函数, ? ?x +bx+c,x<0

直线 y=t 与函数 y=f(x)的图像自左向右依次交于四个不同点 A,B,C,D.若 AB=BC,则实 数 t 的值为________. 解 析 : 由 偶 函 数 的 性 质 得 a = 1 , b = 2 , c = - 1. 故 f(x) = |x|2 - 2|x| - 1. 由 题 意 知
? ?xD=3xC, 1?2 1 1 7 ? 所以 xC= ,则 t=? -2× -1=- . 2 ? ? 2 2 4 ?xC+xD=2, ?

7 答案:- 4 5. 关于 x 的二次方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0 的两根异号, 且负根的绝对值比正根大, 那么实数 m 的取值范围是______________. 解析:由题意知

?x +x = 4m <0, m+3 ? 2m -1 x= <0, ?x · m+3
1 2 1 2

Δ=16m2-4?m+3??2m-1?>0,

① ② ③

由①②③得-3<m<0. 答案:(-3,0) 6.“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的________条件. -4a 解析: 函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞)上为增函数, 则满足对称轴- =2a≤2, 2 即 a≤1,所以“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必 要条件. 答案:充分不必要 7.(2014· 中山一模)若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于 ________. 解析:函数 f(x)=x2-ax-a 的图像为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点
? ? ?-a>4-3a, ?-a≤4-3a, 取得,∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,∴? 或? 解得 a=1. ?-a=1 ?4-3a=1, ? ?

答案:1

52

8.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析:设 x<0,则-x>0. ∵当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x),
2 ? ?x -4x,x≥0, ? ∴f(x)=x +4x(x<0),∴f(x)= 2 ?x +4x,x<0. ? 2 2 2 ? ? ?x -4x=5, ?x +4x=5, 由 f(x)=5 得? 或? ?x≥0 ? ? ?x<0,

∴x=5 或 x=-5. 观察图像可知由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 答案:{x|-7<x<3} 9.已知幂函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N*),经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条


件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 解:∵幂函数 f(x)经过点(2, 2),∴ 2=2(m2+m) 1,


1 - 即 2 =2(m2+m) 1.∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2. 2 又∵m∈N*,∴m=1. 1 ∴f(x)=x ,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. 2 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0, ? ?2-a>a-1, 3? ∴a 的取值范围为? ?1,2?. 10.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 3 解得 1≤a< . 2

53

? ? ? ?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, 故? ?? ?? ?f?2?=2, ?4a-4a+2+b=2, ? ? ? ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,
? ? ? ?f?3?=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=5, ?4a-4a+2+b=5, ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, 2+m m+2 ∵g(x)在[2,4]上单调,∴ ≤2 或 ≥4. 2 2 ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 第Ⅱ组:重点选做题
2 2 ? ?k x+k?1-a ?, ? 1.已知函数 f(x)= 2 2 2 ?x +?a -4a?x+?3-a? , ?

x≥0, x<0,

其中 a∈R.若对任意的非零实数

x1,存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1),使得 f(x2)=f(x1)成立,则实数 k 的取值范围是________. 解析:由题知当 x=0 时,f(x)=k(1-a2).又对任意的非零实数 x1,存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1),使得 f(x2)=f(x1)成立,所以函数 f(x)必须是连续函数,即在 x=0 附近的左、右两 侧,其函数值相等.于是(3-a)2=k(1-a2),即(k+1)a2-6a+9-k=0 有实数解,所以 Δ=62 -4(k+1)(9-k)≥0,解得 k≤0 或 k≥8. 答案:(-∞,0]∪[8,+∞) 2.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联 区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为 ________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直 角坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像如图所示,结合图像可知,当 x 9 ?-9,-2?时,函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x - ,-2?, ∈[2,3]时, y=x2-5x+4∈? 故当 m ∈ ? 4 ? ? 4 ? ∈[0,3])的图像有两个交点.

54

9 ? 答案:? ?-4,-2?

第六节

指数与指数函数

对应学生用书 P20

1.根式的性质 n (1)( a)n=a. n (2)当 n 为奇数时 an=a;
?a ?a≥0?, ? n 当 n 为偶数时 an=? ? ?-a ?a<0?.

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念: m n ①正分数指数幂:a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). n m 1 1 ②负分数指数幂:a- = = (a>0,m,n∈N*,且 n>1). n m n a am n ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质: ①aras=ar s(a>0,r,s∈Q);


②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质 y=ax a>1 0<a<1

图像

定义域 值域 性质

R (0,+∞) 过定点(0,1)

55

当 x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数

当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 在(-∞,+∞)上是减函数

1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号 和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数. 2.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟 a 的取值有关,要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. [试一试] 1 1.化简[(-2)6] -(-1)0 的结果为________. 2 答案:7 2.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2)

1.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(a2x+b· ax+c≤0)的指数方程或不等式, 常借助换元法解决. 2.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. [练一练] 1.函数 y= 1?x 1-? ?2? 的定义域为________.

答案:[0,+∞) 2.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 解析:当 a>1 时,f(x)=ax-1 在[0,2]上为增函数, 则 a2-1=2,∴a=± 3.又∵a>1,∴a= 3. 当 0<a<1 时,f(x)=ax-1 在[0,2]上为减函数 又∵f(0)=0≠2,∴0<a<1 不成立. 综上可知,a= 3. 答案: 3

56

对应学生用书 P20

考点一 求值与化简:

指数幂的化简与求值

3?0 1 -2 ? 1? 0.5 (1)? ?25? +2 · ?24?-2-(0.01) ; 5 1 -2 1 - 2 -3 1 (2) a · b · (-3a- b 1)÷ (4a · b ) ; 6 3 2 3 2 2 -1 1 1 1 ?a · b ?- · a- · b 3 2 2 3 (3) 6 a· b5 1 ? 4 ?2 ? 1 ?2 1 2 1 1 1 16 解:(1)原式=1+ × ? ? - ? =1+ × - =1+ - = . ? 4 4 3 10 6 10 15 9 100
1 1

? ?

?

?

5 - - - (2)原式=- a 6 b 3÷ (4a 3 · b 3) 2 2 5 - - 1 - =- a 6 b 3÷ (a b 2 ) 4 3
- - 5 =- a- 2 · b 3. 4 1 2 1 3

1

2

1

5 1 5 ab =- · 3=- . 4 ab 4ab2

(3)原式=

a b · a b
1 5

?

1 3

1 2

?

1 2

1 3

a 6b6
=a-
1 1 1 ? ? ? 3 2 6

· b

1 1 5 + ? 2 3 6

.

[备课札记]

[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分 数.
57

(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解 答. 考点二 指数函数的图像及应用

[典例] (1)(2013· 苏锡常镇一调)已知过点 O 的直线与函数 y=3x 的 图像交于 A,B 两点,点 A 在线段 OB 上,过点 A 作 y 轴的平行线交函 数 y=9x 的图像于点 C,当 BC∥x 轴时,点 A 的横坐标是________. 1?a ?1?b (2)已知实数 a,b 满足等式? ?2? =?3? ,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有________个 [解析] (1)设 A(x0,3x0),由 AC 平行于 y 轴,则 C(x0,9x0).又因为 BC 平行于 x 轴,则 B(2x0,9x0).因为 O,A,B 三点共线,所以 x0· 9x0=2x0· 3x0,得 3x0=2,所以 x0=log32. 1?x ?1?x 的图像如图所示. (2)函数 y1=? 与 y = 2 ?2? ?3?

1?a ?1?b 由? ?2? =?3? 得,a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0. 故①②⑤可能成立,③④不可能成立. [答案] (1)log32 [备课札记] (2)2

[类题通法] 指数函数图像的画法及应用 1 -1, ?. (1)画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? a? ? (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对 称变换得到其图像. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. [针对训练]
58

1.(2013· 徐州摸底)已知直线 y=a 与函数 f(x)=2x 及 g(x)=3· 2x 的图像分别相交于 A,B 两点,则 A,B 两点之间的距离为________. 解析:由题意知 A,B 两点之间的距离与 a 无关,即为定值.不妨设 a=3,则由 3· 2x=3 知 xB=0.由 2x=3 知 xA=log23,故 AB=xA-xB=log23. 答案:log23 2.方程 2x=2-x 的解的个数是________. 解析:方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图像交点的横坐标, 分别作出这两个函数图像(如图). 由图像得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1 考点三 指数函数的性质及应用

a - [典例] 已知 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0,且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性. [解] (1)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称.

a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,


从而 y=ax-a x 为增函数.


所以 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a x 为增函数,


从而 y=ax-a x 为减函数.


所以 f(x)为增函数. 故当 a>0 且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. 在本例条件下, 当 x∈[-1,1]时, f(x)≥b 恒成立, 求 b 的取值范围. 解:由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数. 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1). a - 所以 f(x)min=f(-1)= 2 (a 1-a) a -1
59



a 1-a · =-1. a -1 a
2

2

所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1. 故 b 的取值范围是(-∞,-1]. [备课札记]

[类题通法] 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等 相关性质, 其次要明确复合函数的构成, 涉及值域、 单调区间、 最值等问题时, 都要借助“同 增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. [针对训练] 1? 2 已知函数 f(x)=? ?3?ax -4x+3. (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值. 1? 2 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=? ?3?-x -4x+3, 令 g(x)=-x2-4x+3, 1?t 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调 递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增 区间是(-2,+∞), 单调递减区间是(-∞,-2). 1?g(x) (2)令 g(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?3? , 由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1, a>0, ? ? 因此必有?3a-4 ? ? a =-1, 解得 a=1, 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.

60

(3)由指数函数的性质知, 1?g(x) 要使 y=? ?3? 的值域为(0,+∞). 应使 g(x)=ax2-4x+3 的值域为 R, 因此只能 a=0.(因为若 a≠0,则 g(x)为二次函数,其值域不可能为 R). 故 a 的值为 0.
对应学生用书 P22

[课堂练通考点] 1.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于________.


解析:由 f(a)=3 得 2a+2 a=3,


两边平方得 22a+2 即 22a+2 答案:7
-2a

-2a

+2=9,

=7,故 f(2a)=7.

2.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图像经过点(2,1),则 f(x)的值域是________.


解析: 由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2, 因 f(x)=3x =f(4)=9. 答案:[1,9]

-2

在[2,4]上是增函数, fmin(x)=f(2)=1, fmax(x)

3.函数 y=8-23 x(x≥0)的值域是________.


解析:∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3, ∴23 x≤23=8,∴8-23 x≥0,
- -

∴函数 y=8-23 x 的值域为[0,+∞).


答案:[0,+∞) 4.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为________. 解析:∵a2-2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=ax 在 R 上递增,由 f(m)>f(n),得 m>n. 答案:m>n a 5. 函数 f(x)=ax(a>0, 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 , 则 a 的值为________. 2 解析:当 a>1 时,f(x)=ax 为增函数,在 x∈[1,2]上, f(x)最大=f(2)=a2,f(x)最小=f(1)=a. a ∴a2-a= .即 a(2a-3)=0. 2 3 3 ∴a=0(舍)或 a= >1.∴a= . 2 2
61

当 0<a<1 时,f(x)=ax 为减函数, 在 x∈[1,2]上,f(x)最大=f(1)=a,f(x)最小=f(2)=a2. a ∴a-a2= .∴a(2a-1)=0, 2 1 1 ∴a=0(舍)或 a= .∴a= . 2 2 1 3 综上可知,a= 或 a= . 2 2 1 3 答案: 或 2 2 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 东北三校联考)函数 f(x)=ax 1(a>0,a≠1)的图像恒过点 A,则 A 点的坐标为


________. 解析:f(x)=ax 1(a>0,a≠1)的图像恒过点(1,1).


答案:(1,1) 1? 2 2.函数 y=? ?3?x 的值域是________. 1? 2 解析:∵x2≥0,∴? ?3?x ≤1,即值域是(0,1]. 答案:(0,1] 3. (2014· 南京二模)如图, 过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图像交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图像于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是________. 解析:设 C(a,4a),则 A(a,2a),B(2a,4a).又 O,A,B 三点共线,所以 2a 4a = ,故 4a=2· 2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a=1,所以点 A 的坐 a 2a 标是(1,2). 答案:(1,2) 4.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 a,b,c 的大小关系为________. 解析: 由 0.2<0.6,0.4<1, 并结合指数函数的图像可知 0.40.2>0.40.6, 即 b>c; 因为 a=20.2>1, b=0.40.2<1, 所以 a>b.综上,a>b>c. 答案:a>b>c 5.当 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0 且 a≠1),则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0 且 a≠1),当 a>1 时,y=ax 是一个增函数,则有 a2<2, 可得- 2<a< 2,故有 1<a< 2;
62

当 0<a<1 时,y=ax 是一个减函数,则有 a 2<2,可得 a>


2 2 2 或 a<- (舍),故有 <a<1. 2 2 2

综上可得,a∈? 答案:?

2 ? ∪(1, 2). ? 2 ,1?

2 ? ∪(1, 2) ? 2 ,1?

3? 1 ? 7?0 1 4 6.计算:? ?2?-3×?-6? +84× 2- 2?1 3 1 ?2?1 解析:原式=? ?3?3×1+24×24-?3?3=2. 答案:2

?-2?2=________. ? 3?3

a 1- x?的定义域是(1,+∞),则实数 a 的值为________. 7.已知函数 f(x)=ln? ? 2? a a 解析: 由题意得, 不等式 1- x>0 的解集是(1, +∞), 由 1- x>0, 可得 2x>a, 故 x>log2a, 2 2 由 log2a=1 得 a=2. 答案:2 8.若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1)且 f(1)=9,则 f(x)的单调递减区间是________.


解析:由 f(1)=9 得 a2=9,∴a=3.因此 f(x)=3|2x

-4|



又∵g(x)=|2x-4|的递减区间为(-∞,2],∴f(x)的单调递减区间是(-∞,2]. 答案:(-∞,2] 9.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解:令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 1? ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1? 此时 f(t)在? ?a,a?上为增函数. 1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f? ?a?=?a+1? -2=14. 1 ?2 1 1 所以? ?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. 1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 ? ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1 ? 此时 f(t)在? ?a,a?上是增函数. 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,

63

1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a= 或 3. 3 1 10.已知函数 f(x)=3x- |x|. 3 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)判断 x>0 时,f(x)的单调性; 1 ? (3)若 3tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈? ?2,1?恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)当 x≤0 时,f(x)=3x-3x=0, ∴f(x)=2 无解. 1 1 当 x>0 时,f(x)=3x- x,令 3x- x=2. 3 3 ∴(3x)2-2· 3x-1=0,解得 3x=1± 2. ∵3x>0,∴3x=1+ 2. ∴x=log3(1+ 2). 1 1 (2)∵y=3x 在(0,+∞)上单调递增,y= x在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)=3x- x在(0, 3 3 +∞)上单调递增. 1 ? 1 t (3)∵t∈? ?2,1?,∴f(t)=3 -3t>0. ∴3tf(2t)+mf(t)≥0 化为 1? 2t ? t 1? 3t? ?3 -32t?+m?3 -3t?≥0, 1? t 2t 即 3t? ?3 +3t?+m≥0,即 m≥-3 -1. 1 ? 令 g(t)=-32t-1,则 g(t)在? ?2,1?上递减, ∴g(x)max=-4. ∴所求实数 m 的取值范围是[-4,+∞). 第Ⅱ组:重点选做题 1? 1. 偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1), 且在 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则关于 x 的方程 f(x)=? ?10?
x

在 x∈[0,4]上解的个数是________. 解析:由 f(x-1)=f(x+1)可知 T=2. ∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数,∴可得图像如图.

64

1 ?x ∴f(x)=? ?10? 在 x∈[0,4]上解的个数是 4 个. 答案:4 2. (2014· 常州质检)已知函数 f(x)=2x(x∈R), 且 f(x)=g(x)+h(x), 其中 g(x)为奇函数, h(x) 为偶函数.若不等式 2ag(x) + h(2x)≥0 对任意 x ∈ [1,2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________.
?f?x?=g?x?+h?x?=2x, ? 解析:由题意得? -x ? ?f?-x?=g?-x?+h?-x?=2 ,

?g?x?+h?x?=2x, ? 所以? 解得 -x ?-g?x?+h?x?=2 , ?

? ? 2 +2 ?h?x?= 2
x

2x-2 x g?x?= , 2
- -x



所以 2a· g(x)+h(2x)≥0, 22x+2 - 即(2x-2 x)a+ 2
-2x

≥0 对任意 x∈[1,2]恒成立.


又 x∈[1,2]时,令 t=2x-2 x,则 t 在 x∈[1,2]上单调递增, 3 15? - 所以 t=2x-2 x∈? ?2, 4 ?, 22x+2 2x ?2x-2 x?2+2 2 3 1 2 t+ ?,t+ 在 t∈? ,+∞?上单调递增, 所以 a≥- x =- ? -x =- -x x t 2 ? ? ? ? 2 t 2?2 -2 ? 2?2 -2 ?
- -

2 3 1 17 t+ ?有最大值- , 所以当 t= 时,- ? 2 2? t ? 12 17 所以 a≥- . 12 17 ? 答案:? ?-12,+∞?

第七节

对数与对数函数

对应学生用书 P22

65

1.对数的定义 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫 做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1): ①loga1=0;②logaa=1;③alogaN=N. (2)对数的换底公式 logcb 基本公式:logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0). logca (3)对数的运算法则: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)=logaM+logaN, M ②loga =logaM-logaN, N ③logaMn=nlogaM(n∈R). 3.对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1

图像

定义域 值域 定点 单调性 函数值正负 4.反函数

(0,+∞) R 过点(1,0) 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1,y<0 在(0,+∞)上是减函数 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0

指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图像 关于直线 y=x 对称.

1.在运算性质 logaMn=nlogaM 中,易忽视 M>0. 2.解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域; (2)对数底数的取值范围.

66

[试一试] 1.(2013· 苏中三市、连云港、淮安二调 )“M>N”是“log2M>log2N”成立的____________条 件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”). 解析:当 M,N 为负数时,不能得到 log2M>log2N,而根据函数 y=log2x 的单调性可知, 当 log2M>log2N 时,可得 M>N. 答案:必要不充分 2.(2014· 常州期末)函数 f(x)=log2(4-x2)的值域为________. 解析:因为 4-x2∈(0,4],所以 log2(4-x2)∈(-∞,2],故原函数的值域为(-∞,2]. 答案:(-∞,2]

1.对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1);(4)化同真数后利用图像比较. 2.明确对数函数图像的基本点 (1)当 a>1 时,对数函数的图像“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图像“下降”. 1 ? (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1)? ?a,-1?,函数图像 只在第一、四象限. [练一练] 1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图像经过定点 A,则 A 点坐标是________. 答案:(1,0) 2. (2013· 全国卷Ⅱ改编)设 a=log32, b=log52, c=log23, 则 a, b, c 的大小关系为________. 解析:易知 log23>1,log32,log52∈(0,1).在同一平面直角坐标系中画出函数 y=log3 x 与 y=log5 x 的图像, 观察可知 log32>log52.所以 c>a>b.比较 a, b 的其他解法: log32>log3 3= 1 1 1 1 , log52<log5 5= , 得 a>b; 0<log23<log25, 所以 > , 结合换底公式即得 log32>log52. 2 2 log23 log25 答案:c>a>b

对应学生用书 P23

考点一 计算下列各题:

对数式的化简与求值

67

3 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 3 ×70 7 解:(1)原式=lg - ?lg 3?2-2lg 3+1=lg 10- ?lg 3-1?2=1-|lg 3-1|=lg 3. 3 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2 [备课札记]

[类题通法] 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算. 考点二 对数函数的图像及应用

[典例] (1)(2014· 南通期末)如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A,B, C 分别在函数 y=log 2 1 2 x,y=x ,y=? ?x 的图像上,且矩形的边分 2 2 ?2?

别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2, 则点 D 的坐标为________. 1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是________. 2 [解析] (1)由条件得,点 A 在函数 y=log 2 2 1 x 的图像上,从而由 2=log x 得 xA= .而 2 2 2

1 1 2 点 B 在函数 y=x 上, 从而 2=x , 解得 xB=4.于是点 C 的横坐标为 4.又点 C 在函数 y=? ? 2 2 2 ? ?
x

1 1? 1 上,从而 yC= ,于是点 D 的坐标为? ?2,4?. 4 (2)构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1

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1? 1 2 ?1? ?1? 时,画出两个函数在? ?0,2?上的图像,可知,f?2?<g?2?,即 2<loga2,则 a> 2 ,所以 a 的取 值范围为? 2 ? . ? 2 ,1? (2)? 2 ? ? 2 ,1?

1 1? [答案] (1)? ?2,4? [备课札记]

若本例(2)变为: 若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成 立,则实数 a 的取值范围为________. 解析:设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图像在 f2(x)=logax 图像的下方即可. 当 0<a<1 时,显然不成立; 当 a>1 时,如图, 要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图像在 f2(x)=logax 的图像下方,只 需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2, 又即 loga2≥1. 所以 1<a≤2,即实数 a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2] [类题通法] 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. [针对训练] lg x, 0<x≤10, ? ? 已知函数 f(x)=?? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c), ? ? ??-2x+6?, x>10, 则 a+b+c 的取值范围是________. 1 解析:令- x+6=0,得 x=12.因为 a,b,c 互不相等,令 a<b<c,作出 f(x)的图像,如 2 图所示.令 f(a )=f(b)=f(c)=t,则根据图像可得 1<a<10,b+c=2×12=24,故 a+b+c∈ (25,34).
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答案:(25,34) 考点三 对数函数的性质及应用

[典例] 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. [解] (1)∵f(1)=1,

∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? a =1, ? 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 [备课札记]

[类题通法] 求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定定义域; (2)将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函 数,即“同增异减”.
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[针对训练] 已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性. 解:(1)由 ax-1>0 得 ax>1,当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0. ∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1<ax1<ax2, 故 0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1). ∴f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
对应学生用书 P24

[课堂练通考点] 1.(2014· 深圳第一次调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x), 则 f(-2)=________. 解析:由题意得,f(-2)=-f(2)=-log3(1+2)=-1. 答案:-1 lg?x+1? 2.(2013· 广东高考改编)函数 y= 的定义域是________. x-1
? ? ?x+1>0, ?x>-1, 解析:由题意得? ∴? ?x-1≠0, ?x≠1, ? ?

答案:(-1,1)∪(1,+∞) 1 ? 3.(2013· 苏北四市二调)已知函数 f(x)=alog2x-blog3x+2,若 f? ?2 014?=4,则 f(2 014) 的值为________. 1? ? 1 ? 解析:令 g(x)=f(x)-2=alog2x-blog3x,可得 g(x)满足 g? ?x?=-g(x).所以由 g?2 014?= 1 ? f? ?2 014?-2=2,得 g(2 014)=-2,所以 f(2 014)=0. 答案:0
?21 x,x≤1, ? 4.设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________. ? ?1-log2x,x>1,


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? ? ?x≤1, ?x>1, 解析:f(x)≤2?? 1-x 或? ?0≤x≤1 或 x>1. ?2 ≤2, ?1-log2x≤2, ? ?

答案:[0,+∞) 1+a2 5.(2014· 南京模拟)若 log2a <0,则 a 的取值范围是________. 1+a 解析:当 2a>1 时, ∵log2a 1+a2 1+a2 <0=log2a1,∴ <1. 1+a 1+a

∵1+a>0,∴1+a2<1+a, 1 ∴a2-a<0,∴0<a<1,∴ <a<1. 2 当 0<2a<1 时,∵log2a ∴ 1+a2 >1. 1+a 1+a2 <0=log2a1, 1+a

∵1+a>0,∴1+a2>1+a. ∴a2-a>0,∴a<0 或 a>1,此时不合题意. 1 ? 综上所述,a∈? ?2,1?. 1 ? 答案:? ?2,1? 1 ? ?log2x,x≥1, 6.(2013· 北京高考)函数 f(x)=? 的值域为________. x ? ?2 ,x<1 1 解析:当 x≥1 时,log x≤0,当 x<1 时,0<2x<2,故值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-∞, 2 2). 答案:(-∞,2) [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为________.
?x+2≤10, ? 解析:由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得 lg(x+2)≤lg 10,则? 解得- ?x+2>0, ?

2<x≤8,故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(-2,8]. 答案:(-2,8] 2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=________. 解析:f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.
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∴f(x)=log2x. 答案:log2x 3.(2013· 全国卷Ⅱ改编)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 a,b,c 的大小关系为 ________. 解析: a=log36=1+log32, b=log510=1+log52, c=log714=1+log72, 则只要比较 log32, log52,log72 的大小即可,在同一坐标系中作出函数 y=log3x,y=log5x,y=log7x 的图像,由 三个图像的相对位臵关系,可知 a>b>c. 答案:a>b>c 1 ? ?log2x,x>0, 4.设函数 f(x)=? 若 f(m)<f(-m),则实数 m 的取值范围是 ? ?log2?-x?,x<0, ____________. 1 解析:当 m>0 时,f(m)<f(-m)?log m<log2m?m>1; 2 1 当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)<log (-m)?-1<m<0.所以 m 的取值范围是(-1,0)∪ 2 (1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 5.(2014· 常州期末)设函数 y=f(x)在 R 内有定义,对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)=
? ?f?x?,f?x?>k, 1 ? 若函数 f(x)=log3|x|,则当 k= 时,函数 fk(x)的单调减区间为________. 3 ?k, f?x?≤k. ?

1 1 3 3 解析:因为 f(x)=log3|x|,k= ,所以由 f(x)>k 得 log3|x|> ,解得 x<- 3或 x> 3.同理由 3 3

f(x)≤k 得- 3≤x<0 或 0<x≤

3

3

?log |x|,x<- 3 3或x> 3 3, 3, 所以 f (x)=? 1 3 3 ?3,- 3≤x<0或0<x≤ 3,
3 k

所以函数 fk(x)

3 的单调减区间为(-∞,- 3).(闭区间也对) 3 3 ? 答案:(-∞,- 3)? ?或?-∞,- 3]? 6.计算:(log29)· (log34)=________. lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 解析:(log29)· (log34)= × = × =4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3 答案:4 1 7.函数 y=log (x2-6x+17)的值域是________. 2

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1 1 1 解析:令 t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,y=log t 为减函数,所以有 log t≤log 8=- 2 2 2 3. 答案:(-∞,-3] 1 1 8.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 解析:由 2a=5b=m,得 a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 又 + =2,即 + =2, a b log2m log5m ∴ 1 =2,即 m= 10. lg m

答案: 10 9.(2014· 长春模拟)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域. 3? (2)求 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值. 解:∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,a≠1),∴a=2.
?1+x>0, ? 由? 得 x∈(-1,3), ? ?3-x>0,

∴函数 f(x)的定义域为 (-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4], ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3? 函数 f(x)在? ?0,2?上的最大值是 f(1)=log24=2. 1 ? 10.已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈? ?3,2?都有|f(x)|≤1 成立,试求 a 的取值范围. 1 ? ?1 ? 解:当 a>1 时,f(x)=logax 在? ?3,2?上单调递增,要使 x∈?3,2?都有|f(x)|≤1 成立,则 有 1 ? ?loga3≥-1, ? 解得 a≥3.∴此时 a 的取值范围是 a≥3. ? ?loga2≤1, 1 ? 当 0<a<1 时,f(x)=logax 在? ?3,2? 上单调递减, 1 ? 要使 x∈? ?3,2?都有|f(x)|≤1 成立,则有

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1 ? ?loga3≤1, 1 ? 解得 0<a≤ . 3 ? ?loga2≥-1, 1 ∴此时,a 的取值范围是 0<a≤ . 3 1 0, ?∪[3,+∞). 综上可知,a 的取值范围是? ? 3? 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 徐州联考)函数 y=loga(x-1)+1(a>0,且 a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在一 1 2 次函数 y=mx+n 的图像上,其中 m,n>0,则 + 的最小值为________. m n 1 解析: 取 x-1=1 得原函数的图像恒过定点 A(2,1), 代入直线方程得 2m+n=1, 所以 + m 2 2m+n 2?2m+n? n 4m n 4m 1 = + =4+ + ≥8,当且仅当 = ,即 2m=n= 时等号成立,故最小值 n m n m n m n 2 为 8. 答案:8 2.(2014· 无锡模拟)若 f(x)=lg x,g(x)=f(|x|),则 g(lg x)>g(1),x 的取值范围是________. 解析: 因为 g(lg x)>g(1), 所以 f(|lg x|)>f(1), 由 f(x)为增函数得|lg x|>1, 从而 lg x>1 或 lg x< -1. 1 解得 0<x< 或 x>10. 10 1 0, ?∪(10,+∞) 答案:? ? 10?

第八节

函数与方程

对应学生用书 P24

1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0

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二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 与 x 轴的交点 零点个数 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法. (x1,0),(x2,0) 两个 (x1,0) 一个 无交点 零个

1.函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,易误为函数点. 2.由函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)· f(b)<0,如图所示. 所以 f(a)· f(b)<0 是 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. [试一试] 1.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. 解析:∵2a+b=0, ∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 ∴零点为 0 和- . 2 1 答案:0,- 2 2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是________.(填序号) ①(-2,-1) ②(-1,0) ③(0,1) ④(1,2) 答案:②

1.函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2) 零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间 [a , b] 上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有 几个不同的值,就有几个不同的零点. 2.三个等价关系(三者相互转化)

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3.用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; 第二步:求区间(a,b)的中点 c. 第三步:计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b),否则重复第 二、三、四步. [练一练] (2014· 南京一模)若方程 lg|x|=-|x|+5 在区间(k,k+1)(k∈R)上有解,则满足所有条件的 k 的值的和为________. 解析:利用数形结合思想,画出草图(如图)即可知方程在(-5,-4),(4,5)这两个区间上 有解,即此时 k=-5,k=4,从而满足所有条件的 k 的值的和为-1.

答案:-1

对应学生用书 P25

考点一

函数零点所在区间的判定

1.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)· f(8)<0, 又 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的图像是连续的, 故 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0, x∈[1,8],∴(x-6)(x+3)=0.
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∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 答案:存在 2.(2013· 徐州期中)根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个零点所在的区 间为(k,k+1)(k∈N),则 k 的值为________. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

解析:记 f(x)=ex-x-2,则从表中数据可知 f(1)<0,f(2)>0,所以 k 的值为 1. 答案:1 2 3.(2014· 朝阳模拟)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围 x 是________. 解析:由条件可知 f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解得 0<a<3. 答案:(0,3) [备课札记]

[类题通法] 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点, 要根据具体题目灵活处理. 当能直接求出零点时, 就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定 理也无法判断时可画出图像判断. 考点二 判断函数零点个数

[典例] (1)(2014· 镇江模拟)方程 2x- x=2 的实根个数为________. (2)(2013· 南通三模)在区间[-a,a](a>0)上不间断的偶函数 f(x)满足 f(0)· f(a)<0,且 f(x)在 区间[0,a]上是单调函数,则函数 y=f(x)在区间(-a,a)上零点的个数是________. [解析] (1)由 2x- x=2 得 2x-2= x.设 f1(x)=2x-2,f2(x)= x.在同一直角坐标系中画 出两函数图像可观察得出有一个交点.即原方程只有 1 个实根. (2)由于 f(x)满足 f(0)· f(a)<0,且 f(x)在区间[0,a]上是单调函数,故函数 f(x)在(0,a)上有 且仅有一个零点.又由于函数 f(x)是偶函数,故函数 f(x)在(-a,0)上有且仅有一个零点,从而 函数 f(x)在区间(-a,a)上有 2 个零点. [答案] (1)1 (2)2
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[备课札记]

[类题通法] 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数,其步骤是: (1)令 f(x)=0; (2)构造 y1=f1(x),y2=f2(x); (3)作出 y1,y2 图像; (4)由图像交点个数得出结论. [针对训练] (2013· 镇江 12 月统考)方程 x+log2x=0 的根的个数为________. 解析:由 x+log2x=0,得 log2x=- x,画出等号两侧在(0,+∞)上的函数图像即可得 出原方程有 1 个根. 答案:1 考点三 函数零点的应用

[典例] 若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为________. [解析] 令 g(x)=xln x,h(x)=a,则问题可转化成函数 g(x)与 h(x) 的图像有两个交点.g′(x)=ln x+1,令 g′(x)<0,即 ln x<-1,可解 1 1 1 得 0<x< ;令 g′(x)>0,即 ln x>-1,可解得 x> ,所以,当 0<x< 时, e e e 1 1 函数 g(x)单调递减; 当 x> 时, 函数 g(x)单调递增, 由此可知当 x= 时, e e 1 1 g(x)min=- .在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示,据图可得- <a<0. e e 1 ? [答案] ? ?-e,0? [备课札记]

若函数变为 f(x)=ln x-x-a, 其他条件不变, 则 a 的取值范围是________. 解析: 函数 f(x)=ln x-x-a 的零点, 即为关于 x 的方程 ln x -x-a=0 的实根, 将方程 ln x-x-a=0, 化为方程 ln x=x+a,

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令 y1=ln x,y2=x+a,由导数知识可知,直线 y2=x+a 与曲线 y1=ln x 相切时有 a=-1,所 以关于 x 的方程 ln x-x-a=0 有两个不同的实根,实数 a 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) [类题通法] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数 形结合求解. [针对训练]

? ?2-? ?2? ,x≤0, (2013· 南京三模)已知直线 y=mx(m∈R)与函数 f(x)=? 1 ?2x +1,x>0
x 2

1

的图像恰有 3

个不同的公共点,则实数 m 的取值范围是____________. 解析:在直角坐标系中,作出函数 f(x)的图像(如图),欲使函数 y= mx 与 y=f(x)的图像恰有 3 个不同的公共点,只需直线 y=mx 与 f(x)的图 1 ? ?y=2x2+1, 像在第一象限内有两个公共点即可.于是联立? 得 x2-2mx ? ?y=mx,
?m>0, ? +2=0.所以? 解得 m> 2. 2 ?Δ=4m -4×2>0, ?

答案:( 2,+∞)
对应学生用书 P26

[课堂练通考点]
?2x-1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为________. ? ?1+log2x,x>1,

解析:当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解 1 得 x= ,又因为 x>1,所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0. 2 答案:0 1? ?1? 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f? f?2?<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1] ?-2?· 内有________个不同的实数根.
80

1? ?1? 1 1? 解析:由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f? f?2?<0,知 f(x)在? ?-2?· ?-2,2?上有唯一零点, 所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根. 答案:1 3.(2013· 苏锡常镇二调)方程 xlg(x+2)=1 有________个不同的实数根. 1 1 解析: 方程变形为 lg(x+2)= , 根据函数 y=lg(x+2)与 y= 的定 x x 义域为(-2,+∞)的图像(如图)的交点个数知方程根的个数. 答案:2 4. 用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解, 验证 f(2)· f(4)<0, 给定精确度 ε=0.01, 2+4 取区间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________(填区间). 2 解析:由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3). 答案:(2,3)
?x-2,x>0, ? 5. 已知函数 f(x)=? 2 满足 f(0)=1,且 f(0)+2f(-1)=0, 那么函数 g(x) ? ?-x +bx+c,x≤0

=f(x)+x 的零点个数为________. 1 1 解析:∵f(0)=1,∴c=1.又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1)=-1-b+1=- ,得 b= .∴ 2 2 3 当 x>0 时,g(x)=2x-2=0 有唯一解 x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x2+ x+1,令 g(x)=0,得 x 2 1 =2(舍去)或 x=- ,即 g(x)=0 有唯一解.综上可知,g(x)=f(x)+x 有 2 个零点. 2 答案:2 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 南通期中)用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数据如下: f(1.600 0)≈0.200 f(1.562 5)≈0.003 f(1.587 5)≈0.133 f(1.556 2)≈-0.029 f(1.575 0)≈0.067 f(1.550 0)≈-0.060

据此数据,可得方程 3x-x-4=0 的一个近似解为________(精确到 0.01) 解析:因为函数 f(x)=3x-x-4,令 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在(a,b)内有实根,从而 x≈1.56. 答案:1.56 2.(2014· 荆门调研)已知函数 y=f(x)的图像是连续不间断的曲线,且有如下的对应值: x y 1 124.4 2 35 3 -74
81

4 14.5

5 -56.7

6 -123.6

则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个. 解析:依题意,f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0,故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点 至少有 3 个. 答案:3 3.若函数 f(x)=-|x-5|+2x
-1

的零点所在的区间是(k,k+1),则整数 k=________.

解析:依题意得 f(0)· f(1)>0,f(1)· f(2)>0,f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)>0,故 f(x)的零点所在区间 是(2,3). 答案:2 4.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①y=2x; ②y=-2x; ③f(x)=x+x 1;④f(x)=x-x 1.
- -

则输出函数的序号为________.

解析:由图可知输出结果为存在零点的函数,因 2x>0,所以 y=2x 没有零点,同样 y=- 2x 也没有零点;f(x)=x+x 1,当 x>0 时,f(x)≥2,当 x<0 时,f(x)≤-2,故 f(x)没有零点;


令 f(x)=x-x 1=0 得 x=± 1.


答案:④ 5.[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知 f(x)=x-[x](x∈R), g(x)=log4(x-1),则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是________. 解析: 作出函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示, 发现有 2 个不同的交 点. 答案:2 6.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其 中一个零点 x0∈______,第二次应计算________. 解析:因为 f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数,且 f(0)<0,f(0.5)>0,则 f(x)在 x∈(0,0.5) 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案:(0,0.5) f(0.25)

82

1?x 3 ? ?? + ,x≥2, 7.已知函数 f(x)=??2? 4 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点,则实数 ?log2x,0<x<2. ? k 的取值范围是________. 解析:画出函数 f(x)的图像如图.

要使函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同零点, 只需 y=f(x)与 y=k 的图像有两个不同交点, 由 3 ? 图易知 k∈? ?4,1?. 3 ? 答案:? ?4,1?
x ? ?a ,x≥0, ? 8.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,则 ? ?kx+1,x<0,

实数 k 的取值范围是________. 解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y= f(x)与 y=k 的图像有两个交点. 分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图像. 当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图像有两个交点;当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题意. 答案:0<k<1 x 1 9.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 0, ?,使 f(x0)=x0. 证明:存在 x0∈? ? 2? 证明:令 g(x)=f(x)-x. 1? ?1? 1 1 1 ∵g(0)= ,g? =f - =- , 4 ?2? ?2? 2 8 1? ∴g(0)· g? ?2?<0. 1? 又函数 g(x)在? ?0,2?上连续, 1? ∴存在 x0∈? ?0,2?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. 10.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解,

83

∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 3 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ>0, ? ? m-1 ?0<- 2 <2, ? ?f?2?≥0, m>3或m<-1, ? ?-3<m<1, ∴? 3 ? ?m≥-2. ?m-1? -4>0, ? ? ∴?-3<m<1, ? ?4+?m-1?×2+1≥0.
2

3 ∴- ≤m<-1. 2

由①②可知 m 的取值范围(-∞,-1). 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 盐城三调)若关于 x 的方程 x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0 的两个实 数根 x1,x2 满足 x1<0<x2<1,则 a2+b2+4a+4 的取值范围是________.
2 2 ? ?f?0?<0, ? ??a+1? +?b-2? <4, 解析:由题意得? 即? 利用线性规划的知识,问题转化为 ?f?1?>0 ? ? ?a+b+1>0,

求区域上的点到点(-2,0)的距离的平方的取值范围. 由图可知, 所求的最大距离即为点(-2,0) 与圆心(-1,2)的连线交圆与另一端点的值,即 5+2.所求的最小距离即为点(-2,0)到直线 a 1 |-2+0+1| 1 +b+1=0 的距离,即为 = ,所以 a2+b2+4a+4∈?? ?2,? 5+2?2?,即 a2 ?? 2? ? 2 2 1 ? +b2+4a+4∈? ?2,9+4 5?. 1 ? 答案:? ?2,9+4 5? 20 ? 2.(2014· 扬州期末)若函数 f(x)=x3-ax2(a>0)在区间? ? 3 ,+∞?上是单调增函数,则使方 程 f(x)=1 000 有整数解的实数 a 的个数是________. 解析:令 f′(x)=3x2-2ax>0, 2a 则 x> 或 x<0. 3 20 ? ?20 ? 由 f(x)在区间? ? 3 ,+∞?上是单调增函数知? 3 ,+∞?? 1 000 ?2a,+∞?,从而 a∈(0,10].由 f(x)=1 000 得 a=x-1 000 ,令 g(x)=x- 2 ,则 g(x)在(0, ?3 ? x2 x +∞)上单调递增, 且与 x 轴交于点(10,0), 在同一直角坐标系中作出函数 g(x)与 y=a(0<a≤10) 的大致图像(如图所示).当 a=10 时,由 f(x)=1 000 得 x3-10x2-1 000=0.令 h(x)=x3-10x2
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-1 000,因为 h(14)=-216<0,h(15)=125>0,所以方程 x3-10x2-1 000=0 在区间(14,15) 上存在根 x0,因此从图像可以看出在(10,x0]之间 f(x)=1 000 共有 4 个整数解. 答案:4

第九节

函数模型及其应用

对应学生用书 P26

1.几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0)

2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 图像的变化 增函数 越来越快 随 x 值增大, 图像与 y 轴 接近平行 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 随 x 值增大, 图像与 x 轴 接近平行 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

1.易忽视实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. [试一试] 据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存 车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费 总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是____________. 解析:y=0.2x+(4000-x)×0.3
85

=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000). 答案:y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)

解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:

[练一练] (2013· 南京二模)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,过正方形中心 MN O 的直线 MN 分别交正方形的边 AB,CD 于点 M,N,则当 取最小值 BN 时,CN=________. MN 解析:法一:由题意知 CN=AM.设 CN=x(0≤x≤1),欲使 最小, BN MN2 即使 2 最小,过点 N 作 NP∥AD 交 AB 于点 P,则 AP=DN=1-x,所以 PM=AM-AP=x BN
2 2 2?2x+1? MN2 ?2x-1? +1 4?x +1?-2?2x+1? -(1-x)=2x-1, 于是 2 = = =4- 2 .问题转化为求函 2 2 BN x +1 x +1 x +1

x2+1 数 f(x)= 的最小值. 2?2x+1? 1 令 2x+1=t,则 x= (t-1)(1≤t≤3). 2
2 1 ?t-1? +4 1? 5 ? 1 5 于是 g(t)= · = ?t+ t -2?≥ (2 5-2), 当且仅当 t= , 即 t= 5∈[1,3]时取等 2 4t 8 8 t

号. 此时,x= 5-1 5-1 ,即 CN= . 2 2

法二:以 O 为原点,过点 O 分别作 AB 与 AD 的垂线为 x 轴,y 轴,建立直角坐标系, 1 ? 1 1 1 1+4t2 MN2 ,t ,则 M?- ,-t?,B?- ,- ?,所以 2 = 设 N? . 2? ?2 ? ? 2 ? ? 2 BN 1 t+ ?2 1+? ? 2?
86

令 f(t)=

1+4t2 5 5 MN ,由 f′(t)=0,得 t= -1,易验证当 t= -1 时, 有最小值, 1 2 2 BN t+ ?2 1+ ? 2 ? ?

5-1 1 5 1 此时 CN=t+ = -1+ = . 2 2 2 2 答案: 5-1 2

对应学生用书 P27

考点一

一次函数与二次函数模型

1.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种 方式是月租 0 元.一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的 函数关系如图所示, 当通话 150 分钟时, 这两种方式电话费相差________ 元. 解析:依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, 得 k-m=-0.2, 于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元. 答案:10 2.(2013· 北京西城区抽检)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若 该商品每个涨价 1 元, 其销售量就减少 20 个, 为了赚取最大的利润, 售价应定为每个________ 元. 解析: 设售价定为(90+x)元, 卖出商品后获得利润为: y=(90+x-80)(400-20x)=20(10 +x)(20-x)=20(-x2+10x+200)=-20(x2-10x-200)=-20[(x-5)2-225],∴当 x=5 时, y 取得最大值,即售价应定为:90+5=95(元). 答案:95 3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= 1 2 x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多
87

少元才能使该单位不亏损? 解:设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y 1 2 ? =100x-? ?2x -200x+80 000? 1 =- x2+300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. [备课札记]

[类题通法] 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义 域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题. 考点二 [典例] 分段函数模型

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大

桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时). [解] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;

当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.

88

?200a+b=0, ? 由已知得? 解得 ?20a+b=60, ?

?a=-3, ? 200 ?b= 3 ,

1

故函数 v(x)的表达式为 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?200-x ? 3 ,20<x≤200. ? (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?x?200-x? ,20<x≤200. ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 当 20<x≤200 时, 1 1 x+200-x?2 10 000 f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 f(x)max= 10 000 ≈3 333,即当车流 3

密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时. [备课札记]

[类题通法] 应用分段函数模型的关注点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构 成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). [针对训练] 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根 据销售情况不断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果 如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上 市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

89

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上 市时间 t 的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元?若有,请说明是上市 后的第几天;若没有,请说明理由. 解:(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,
? ?2t,0≤t≤30, 得 f(t)=? ?-6t+240,30<t≤40. ?

图②是一个二次函数的部分图像, 3 故 g(t)=- t2+6t(0≤t≤40). 20
?3t,0≤t≤20, ? (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t)=? ? ?60,20<t≤40.

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为

? ? 3 ? F(t)=?60? ?-20t +8t?,20<t≤30, 3 ? t +240?,30<t≤40. ?60??-20 ?
2 2

3 2 ? 3t? ?-20t +8t?,0≤t≤20,

3 9 - t2+8t?=- t3+24t2, 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t? ? 20 ? 20 27 ? 27 ∴F′(t)=- t2+48t=t? ?48-20t?≥0, 20 ∴F(t)在[0,20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. 3 2 ? 当 20<t≤30 时,F(t)=60? ?-20t +8t?. 由 F(t)=6 300,得 3t2-160t+2 100=0, 70 解得 t= (舍去)或 t=30. 3 3 2 ? 当 30<t≤40 时,F(t)=60? ?-20t +240?. 由 F(t)在 (30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300.

90

故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元,为上市后的第 30 天.

考点三

指数函数模型

[典例] 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 1 2 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? [解] (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1).则

1 1 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1? 1 解得 x=1-? ?2?10. (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 a(1-x)m= 解得 m=5. 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2 2 ,则 2

1? m ?1?1 m 1 2 a,即? ?2?10=?2?2,10=2, 2

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4

?1? n ≥?1?3, n ≤3,解得 n≤15. ?2?10 ?2?2 10 2
故今后最多还能砍伐 15 年. [备课札记]

[类题通法] 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.
91

(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验 证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 提醒:解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性. [针对训练] (2013· 南京模拟)2014 年青奥会水上运动项目将在 J 地举行. 截至 2010 年底, 投资集团 B 在 J 地共投资 100 百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发.经调研,从 2011 年初到 2014 年底的四年间,B 集团预期可从三个方面获得利润:一是房地产项目,四年获得的利润 的值为该项目投资额(单位:百万元)的 20%;二是水上运动项目,四年获得的利润的值为该 项目投资额(单位:百万元)的算术平方根;三是旅游业,四年可获得利润 10 百万元. (1)B 集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大? (2)假设从 2012 年起,J 地政府每年都要向 B 集团征收资源占用费,2012 年征收 2 百万 元, 以后每年征收的金额比上一年增加 10%.若 B 集团投资成功的标准是: 从 2011 年初到 2014 年底, 这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的 18%, 问:B 集团投资是否成功? 解:(1)设 B 集团用于水上运动项目的投资为 x 百万元,四年的总利润为 y 百万元,由题 意得 y=0.2(100-x)+ x+10=-0.2x+ x+30 =-0.2( x-2.5)2+31.25, 因为 x∈[0,100],故 x∈[0,10]. 所以当 x=2.5,即 x=6.25 时,ymax=31.25. 即 B 集团在水上运动项目投资 6.25 百万元,在房地产项目投资 93.75 百万元时,所获得 的利润最大,为 31.25 百万元. (2)由(1)知,在上交资源占用费前,ymax=31.25, ymin=20. 由题意, 从 2012 年到 2014 年, B 集团需上交 J 地政府资源占用费共为 2×(1+1.11+1.12) =6.62. 所以 B 集团这四年的预期利润中值为 31.25+20 -6.62=19.005. 2 19.005 由于 =19.005%>18%,所以 B 集团投资成功. 100
对应学生用书 P28

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[课堂练通考点] 1.(2014· 南昌质检)往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而 不超过 40 g,付邮费 1.60 元,依此类推,每增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内).如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g,则他应付邮费________元. 解析:由题意得 20×3<72.5<20×4,则应付邮费 0.80×4=3.20(元). 答案:3.20 2.(2013· 南通调研)甲地与乙地相距 250 km.某天小袁从上午 7:50 由甲地开车前往乙地 办事.在上午 9:00,10:00,11:00 三个时刻,车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的 平均速度继续行驶,那么还有 1 h 到达乙地”.假设导航仪提示语都是正确的,那么在上午 11:00 时,小袁距乙地还有________km. 19 解析:上午 7:50 到上午 11:00 是 h.设经时间 t h 后,小袁共行驶 s(t) km,则由条 6 19? 件可知 s? ? 6 ?+ 答案:60 3. 一种产品的成本原为 a 元, 在今后的 m 年内, 计划使成本平均每年比上一年降低 p%, 成本 y 是关于经过年数 x(0<x≤m)的函数,其关系式 y=f(x)可写成_____________________. 解析:依题意有 y=a(1-p%)x(0<x≤m). 答案:y=a(1-p%)x(0<x≤m) 4.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x2 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 5 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? y 解:(1)每吨平均成本为 (万元). x y x 8 000 则 = + -48≥2 x 5 x x 8 000 当且仅当 = , 5 x 即 x=200 时取等号. ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低,最低为 32 万元. (2)设可获得总利润为 R(x)万元,
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19? s? ? 6 ?-0 19 -0 6

19? ×1=250,解得 s? ? 6 ?=190,从而 250-190=60.

x 8 000 · -48=32, 5 x

x2 x2 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000=- +88x-8 000 5 5 1 =- (x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5 ∵R(x)在[0,210]上是增函数, ∴x=210 时, 1 R(x)有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660. 5 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润,最大利润是 1 660 万元. [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2014· 苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超 过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐 一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 解析:当恰好行驶 8 km 时,需要付费 1+8+2.15×5=19.75 元,而现在付出费用为 22.6 元,所以用 22.6-19.75=2.85,故多行 1 km,即实际行驶 9 km. 答案:9 2.某大楼共有 12 层,有 11 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 至第 12 层,每层 1 人.因特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所去 的楼层. 假设乘客每向下步行 1 层的“不满意度”增量为 1, 每向上步行 1 层的“不满意度” 增量为 2,10 人的“不满意度”之和记为 S.则 S 最小时,电梯所停的楼层是________层. 解析:设所停的楼层为 n 层,则 2≤n≤12,由题意得:S=2+4+?+2(12-n)+1+2 ?12-n??26-2n? ?n-2?[1+?n-2?] 3 2 53 53 +3+?+(n-2)= + = n - n+157, 其对称轴为 n= ∈ 2 2 2 2 6 (8,9),又 n∈N*且 n 离 9 的距离较近. 答案:9 3.一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满缸 水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像可能 是图中的________.

H 解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时,体 2

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H H 积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢. 2 2 答案:② 4.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面上方空出 2 cm 的边, 下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、 宽应分别为________. 解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486,当且仅当 2a=3b,即 a=30,b =20 时,S 最大=486 cm2. 答案:30 cm,20 cm 5.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份到十 月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 6 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去),故 1+x%≥ , 5 5 5 解得 x≥20. 答案:20 6. (2014· 连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度, 拟制定年医疗 总费用在 2 万元至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三 个条件:①报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不 得低于医疗总费用的 50%;③报销的医疗费用不得超过 8 万元. (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x-2ln x+a(a 为常数)作为报销方案,请你确定整数 a 的值(参考数据:ln 2≈0.69,ln 10≈2.3). 解:(1)y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①; 当 x=10 时,y 有最大值 7.4,小于 8,满足条件③; 29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y≥ 不恒成立,不满足条件②, 20 2 2 故该函数模型不符合该单位报销方案.
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(2)对于函数模型 y=x-2ln x+a,设 f(x)=x-2ln x+a, 2 x-2 则 f′(x)=1- = ≥0. x x 所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①. x x 由条件②得 x-2ln x+a≥ ,即 a≥2ln x- 在 x∈[2,10]上恒成立. 2 2 x 2 1 4-x 令 g(x)=2ln x- ,则 g′(x)= - = , 2 x 2 2x 由 g′(x)>0 得 x<4, 所以 g(x)在(2,4)上是增函数,在(4,10)上是减函数. 所以 a≥g(4)=2ln 4-2=4ln 2-2. 由条件③得 f(10)=10-2ln 10+a≤8, 解得 a≤2ln 10-2. 另一方面,由 x-2ln x+a≤x,得 a≤2ln x 在 x∈[2,10]上恒成立,所以 a≤2ln 2. 综上所述,a 的取值范围为[4ln 2-2,2ln 2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1. 7.(2013· 苏北四市统考)某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划 要求写字楼每层建筑面积为 2 000 平方米. 已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的解析式;(总开发费用=总 建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层? 解:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000=200 000(元)=20(万元), 所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列,所以 x?x-1? y=f(x)=800x+ ×20+9 000 2 =10x2+790x+9 000(x∈N*). (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为 5?10x2+790x+9 000? f?x? g(x)= ×10 000= 2 000x x 900 x+ +79?≥50×(2 900+79)=6 950, =50? x ? ? 900 当且仅当 x= ,即 x=30 时,等号成立. x
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所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为 30 层. 8.(2014· 南通一调)将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白 杨树苗,B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. 2 1 (1)根据历年统计, 每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 h, 种植一捆沙棘树苗用时 h. 应 5 2 如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 h 后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 h,而 5 2 每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 h, 于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继续种植, 3 求植树活动所持续的时间. 2 150× 5 解:(1)设 A 组人数为 x,且 0<x<52,x∈N*,则 A 组植树活动所需时间为 f(x)= = x 1 200× 2 100 60 ,B 组植树活动所需时间为 g(x)= = . x 52-x 52-x 60 100 39 令 f(x)=g(x),即 = ,解得 x= . x 52-x 2 所以 A,B 两组同时开始的植树活动所需时间为

?x, F(x)=? 100 ?52-x,

60

x≤19,x∈N*, x≥20,x∈N*.

60 25 而 F(19)= ,F(20)= ,故 F(19)>F(20). 19 8 所以当 A,B 两组人数分别为 20,32 时,植树活动持续时间最短. 2 150× -20×1 5 6 (2)A 组所需时间为 1+ =3 , 7 20-6 2 200× -32×1 3 2 B 组所需时间为 1+ =3 , 3 32+6 6 所以植树活动所持续的时间为 3 h. 7 第Ⅱ卷:提能增分卷 1. (2014· 扬州期末)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒, 现准备在该厂附近建一职工宿 舍,并对宿舍进行防辐射处理,建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关.若建造宿舍 k 的所有费用 p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系式为 p= (0≤x≤8), 若距离为 1 km 3x +5

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时,测算宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知 购置修路设备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元,设函数 f(x)为建造宿舍与修路费用 之和. (1)求 f(x)的解析式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求出最小值. k 解:(1)根据题意得 100= ,所以 k=800. 3×1+5 800 故 f(x)= +5+6x,0≤x≤8. 3x+5 800 (2)因为 f(x)= +2(3x+5)-5 3x+5 ≥2 800 · 2?3x+5?-5=75, 3x+5

800 当且仅当 =2(3x+5),即 x=5 时取等号. 3x+5 所以 f(x)min=75. 所以宿舍应建在离工厂 5 km 处,可使总费用 f(x)最小,最小为 75 万元. 2.(2014· 苏州一调)如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD.在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ 始终为 45° (其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上),设∠PAB=θ,tan θ=t. (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少平方百米? 解:(1)由题意得 BP=t,CP=1-t,0≤t≤1. ∠DAQ=45° -θ,DQ=tan(45° -θ)= 1-t 2t CQ=1- = , 1+t 1+t 所以 PQ= CP +CQ =
2 2

1-t , 1+t

2t 1+t ?1-t? +?1+t?2= ? ? 1+t .
2

2

2 2t 1+t 所以 l=CP+CQ+PQ=1-t+ + =1-t+1+t=2,是定值. 1+t 1+t

1 1 1-t (2)S=S 正方形 ABCD-S△ABP-S△ADQ=1- t- · = 2 2 1+t 1 1 2-?2?1+t?+1+t?.

?

?

因为 1+t>0, 所以 S≤2-2 1 时取等号.

1 1 1 1 ?1+t?· =2- 2, 当且仅当 (1+t)= , 即 t= 2- 2 2 1+t 1+t

98

所以探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为(2- 2)平方百米. 3.(2013· 徐州调研)徐州、苏州两地相距 500 km,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州,规 定速度不得超过 100 km/h.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度 v km/h 的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元(a>0). (1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v km/h 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 500 500 解: (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 v , 全程运输成本为 y=a·v + 500 500a 0.01v2·v = v +5v. 500a 故所求函数为 y= v +5v,v∈(0,100]. 500a 500a (2)由题意知 a,v 都为正数,故 v +5v≥100 a,当且仅当 v =5v,即 v=10 a时, 等号成立. ①若 10 a≤100,即 0<a≤100 时,则当 v=10 a时,全程运输成本 y 最小; ②若 10 a>100,即 a>100 时,则当 v∈(0,100]时,有 5?v2-100a? 500a y′=- 2 +5= <0. v v2 所以函数 y 在 v∈(0,100]上单调递减,也即当 v=100 时,全程运输成本 y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小,当 0<a≤100 时,行驶速度应为 v=10 a km/h; 当 a>100 时,行驶速度应为 v=100 km/h. 4.(2014· 镇江质检)有一海湾,海岸线为近似半个椭圆(如图),椭圆长轴端点分别为 A, B.A,B 间的距离为 3 km,椭圆焦点分别为 C,D.C,D 间的距离为 2 km,在 C,D 处分别有 甲、乙两个油井,现准备在海岸线上建一度假村 P,不考虑风向等因素影响,油井对度假村 废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为 k1),与距离的平方成反比(比例系数都 为 k2),又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的 8 倍. (1)设乙油井排出的废气浓度为 a(a 为常数), 度假村 P 距离甲油井 x km,度假村 P 受到甲、乙两油井的污染程度和记为 f(x),求 f(x)的解 析式并求其定义域; (2)度假村 P 距离甲油井多少时,甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小? 解:(1)由点 P 在椭圆上知,PC+PD=3,即 PC=x, 则 PD=3-x. ak1k2 8ak1k2 所以度假村 P 受乙油井污染程度为 . 2,受甲油井污染程度为 x2 ?3-x?

99

1 5? 8ak1k2 ak1k2 所以 f(x)= 2 + ,定义域为? ?2,2?. x ?3-x?2 8ak1k2 ak1k2 (2)由(1)知 f(x)= 2 + x ?3-x?2 8 1 =ak1k2?x2+x2-6x+9?.

?

?

2?3-x? ? ? 16 故 f′(x)=ak1k2?- x3 + 2 ? ?x -6x+9?2? ? x3-8?3-x?3 =2ak1k2· 3 x ?3-x?3 ?x-2??x2-6x+12? =18ak1k2· . x3?3-x?3 令 f′(x)=0,解得 x=2, 1 ? 当 x∈? ?2,2?时,f′(x)<0,函数 f(x)为减函数, 5 2, ?时,f′(x)>0,函数 f(x)为增函数. 当 x∈? ? 2? 故当 x=2 时,f(x)取得最小值. 即度假村离甲油井 2 km 时,甲乙两油井对度假村的污染程度和最小.

100


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