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高中数学人教版选修2-2教学课件:1.1.3《变化率与导数-导数的几何意义》


1.1.3《变化率与导数 -导数的几何意义》 教学目标 ? 了解函数的平均变化率 ? 教学重点: ? 函数的平均变化率 回顾 ①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: ?f ? ?x f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y Y=f(x) ②割线的斜率 ?f k? ? ?x f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 B f(x1) O A x2-x1=△x x x1 x2 回顾 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: lim ? x ?0 f ( x 0 ?? x) ? f ( x 0) ?x ? lim ? x ?0 ?f , ?x 我们称它为函数y=f(x) 在x=x0处的导数,记作f′ (x0)或y′|x→x0即 f '( x 0) ? lim ? x ?0 f ( x 0 ?? x) ? f ( x 0) ?x ?f ? lim , ? x ?0 ? x 以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的基本方法是: (1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 回 (2)求平均变化率 ?y ? f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ; 顾 ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 应用: ? 例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时,原 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。 关键是求出:? f ? 2 x ?? x ? 7 ?? fx ? x ?0 再求出lim ?x ? 2x ? 7 它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。 导数的几何意义: y y=f(x) Q 割 线 T 切线 P ? o x 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率. ' y y= Q f( x) P ? 割 线 T 切 线 x o f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 例1:求曲线

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