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2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十二节 定积分的概念与微积分基本定理习题 理


第十二节
[基础达标]

定积分的概念与微积分基本定理

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. A.3 1.B 【解析】 dx= B.6 dx=3ln x C.9 D.3e ( )

=3ln e2-3ln 1=6.

2.设 f(x)=x3+x,则 A.0 C.2
<

br />f(x)dx 的值等于
B.8

(

)

f(x)dx

D.

f(x)dx

2.A 【解析】

f(x)dx=

=0.

3. (2016·福建大田一中月考) A.2 3.C 【解析】令 y= B.1 C.0

dx= ,则 m 的值为 D.-1

(

)

,易知其曲线是以(-1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,数形结合

易知

dx 是区间[-2,m]内曲线与 x=-2,x=m,y=0 所围成几何图形的面积,因为圆

的面积 S=π ,所以当
2

dx= 时,得到 m=0. ( )

4. (2015·石嘴山二模) 由函数 y=x 的图象与直线 y=2x 围成的图形的面积为 A.4 C. B.3 D.

1

4.C 【解析】如图所示,可知所求面积用定积分表示为 S=

(2x-x2)dx,即 S=

(2x-x2)dx=

.

5. (2015·东北三校一联)

sin2 dx=

(

)

A.0

B.

C.

D.

-1

5.B 【解析】

sin2 dx=

dx=

.

6. (2015·福建莆田一中期末考试) 曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面区 域的面积为 A. (sin x-cos x)dx B.2 (sin x-cos x)dx ( )

C.

(cos x-sin x)dx

D.2

(cos x-sin x)dx

6.D 【解析】当 x∈

时,y=sin x 与 y=cos x 的图象的交点坐标为

,作图可知

曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲 线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x= 所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选 D. 2

7. (2015·山东烟台期中考试) 若 a= A.a<b 7.A 【解析】a= B.a>b

sin xdx,b= C.a=b

cos xdx,则 a 与 b 的关系是 ( D.a+b=0 cos xdx=sin

)

sin xdx=-cos x

=- cos -cos 1 =cos 1,b=

x

=sin 1,由三角函数图象易知 sin 1>cos 1,即 b>a.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由 落体的运动速度为 v=gt(g 为常数),则电视塔高为 8.

. g.

g 【解析】h=

gtdt=g

tdt=g

9. (2015·济南历下区四模) 由曲线 y= 是 9.

,直线 y=x-2 及 y 轴所围成图形的面积

.
【解析】作草图,联立方程组 解得 即交点坐标为 M(4,2),所以

S=

-(x-2)]dx=

.

10. (2015·天冿南开中学期中考试) 在区间[0,1]上给定曲线 y=x ,如图所示,0<t<1,S1,S2 是

2

t 的函数,则函数 g(t)=S1+S2 的单调递增区间为

.

3

10.

【解析】S1=

(t2-x2)dx=

t3,S2=

(x2-t2)dx=

-t2+ t3,所以 g(t)=S1+S2= t3-t2+ ,g'(t)=4t2-2t=2t(2t-1),

令 g'(t)>0,解得 t<0 或 t> ,又 0<t<1,所以 g(t)的单调递增区间为

.

[高考冲关] 1.(5 分)如果 1 N 力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功为 A.0.30 J B.0.18 J C.0.15 J D.0.10 J ( )

1.B 【解析】设 F(x)=kx,当 F=1 N 时,x=0.01 m,所以 k=

=100,即 F(x)=100x,于是拉长

6 cm 所耗费的功为 W=

F(x)dx=

100xdx=50x2

=0.18 J.

2.(5 分) (2015·陕西五校二联) 定积分 A.1 2.B 【解析】 B.-1 (|x|-1)dx= C.2

(|x|-1)dx 的值为 D.-2

(

)

(-x-1)dx+

(x-1)dx=

=-1.

3.(5 分) (2015·天津耀华中学月考) 若 f(x)+

f(x)dx=x,则 f(x)=

.

3.x-

【解析】因为

f(x)dx 为常数,设其为 m,所以 f(x)=x-m,其原函数为 F(x)=

x2-mx+c,从而(x-m)+

=x,解得 m= ,因此 f(x)=x-m=x- .

4.(5 分) (2015·河南天一大联考) 设 n= 为

10sin xdx,则

n

展开式中的常数项

.(用数字作答)
4

4.210 【解析】由题可得:n=

10sin xdx=-10cos x

=10,又

展开式的通项

为 Tr+1=

)10-r·(-

)r=

(-1)r

,由 5-

=0 解得 r=6,所以展开式中的常数项



(-1)6=210.

5.(10 分) (2015·广东汕头金山中学期中考试) 如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线

f(x)=sin x(x∈(0,π ))及直线 x=a(a∈(0,π ))与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,
若落在阴影部分的概率为 ,求 a 的值.

5.【解析】矩形 OABC 的面积为 S=a× =6,

而阴影部分的面积为 S1=

sin xdx=(-cos x)

=-cos a+1,

因此由题可知 P=

,

从而得到

,即 cos a=- ,

解得 a=

.

5


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