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3.1.3用二分法求方程的近似解


3.1.3
(一)教学目标

用二分法求方程的近似解
2.过程与方法:

1.知识与技能:掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤,会用二分法求方程的近似解.

体会通过取区间中点,应用零点存在性定理,逐步缩小零点所属区间的范围,而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理 解二分法的基本思想,渗透算法思想. 3.情感、态度及价值观:在灵活调整算法,在由特殊到一般的认识过程中,养成良好的

学习品质和思维品质,享受数学的无穷魅力. (二)教学重点与难点. 重点:用二分法求方程的近似解;难点:二分法原理的理解 (三)教学方法 讲授法与合作交流相结合,通过老师恰当合理的讲授,师生之间默切的合作交流,认识二分法、理解二分法的 实质,从而能应用二分法研究问题,达到知能有机结合的最优结果. (四)教学过程

教学环节

教学内容
1 问题:一元二次方程可用判别 式判定根的存在性,可用求根公 式求方程的根 . 但对于一般的方 程,虽然可用零点存在性定理判 定根的存在性,而没有公式 . 求 根:如何求得方程的根呢? ①函数 f (x) = lnx + 2x – 6 在区间 (2,3)内有零点. ②如果能够将零点所在的范围尽 量缩小,那么在一定精确度的要 求下, 我们可以得到零点的近值. ③通过“取中点”的方法逐步缩 小零点所在的范围. ④取区间(2,3)的中点 2.5,用计 算器算得 f (2.5)≈–0.084. 因为 f (2.5)·f (3)<0,所以零点在区间 (2.5,3)内.再取内间(2.5,3)的中 点 2.75,用计算器算得 f (2.75)≈ 0.512.因为 f (2.5)· f (2.75)<0, 所 以零点在区间(2.5,2.75)内. ⑤由于(2,3)

师生互动 师: 怎样求方程 lnx + 2x – 6 = 0 的根. 引导:观察图形

设计意图

生:方程的根在(2,3)区间内 师:能否用缩小区间的方法逼近方程的根 生:应该可用 师:我们现用一种常见的数学方法—二分 法,共同探究已知方程的根. 师生合作,借助计算机探求方程根的近似 值.

提出问题 引入课题

? (2.5, 2.75), 所以零点所在的范 ≠
围确实越来越小了. ⑥例如,当精确度为 0.01 时,由 于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5<0.01,所以,我们可以将 x = 2.531 25 作为函数 也即方程 lnx + 2x – 6 = 0 根的近 似值. 1.对于区间[a,b]上连续不断且 f (a)·f (b)<0 的函数 y = f (x),通

? (2.5,3) ≠

区间

中点的值

中点函数近 似值

由旧到新设 疑、析疑导 入课题,实 例分析了解 二分法、进 一步师生合 作尝试二分 法.

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625)

2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875

–0.084 0.512 0.215 0.066 –0.009 0.029 0.010 0.001

f (x) = lnx + 2x – 6 零点的近似值, (2.53125,2.546875) 2.5390625
(2.53125,2.5390625) 2.53515625

形成概念

师生合作回顾实例: 求方程 lnx + 2x – 6 = 0 的近似解(精

由特殊到一 般 形 成 概

过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法.

2.给定精确度 ? ,用二分法求函 数 f (x)零点近似值的步聚如下: (1) 确定区间[a, b], 验证 f (a)· f (b)<0,给定精确度 ? ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f (c); ①若 f (c) = 0, 则 c 就是函数的零 点;②若 f (a)·f (c)<0,则令 b = c(此时零点 x0∈(a, c)); ③若 f (c)· f (b)<0,则令 a = c(此时零点 x0∈ (c,b)). (4)判断是否达到精确度 ? :即 若|a – b|< ? , 则得到零点近似值 a(或 b);否则重复 2~4.

确度 0.01)的操作过程.掌握二分法, 念 , 归 纳 总 总结应用二分法的步骤 结应用二分 师:讲授二分法的定义. 法的步骤. 生:总结应用二分法的步骤. 学生交流总结,学生代表口述步骤, 老师完善并板书.

师生合作应用二分法,遵循二分法的步骤求解,并 借助函数图象检验.

例 1 借助计算器或计算机用二分 法求方程 2x + 3x = 7 的近似解(精 确度 0.1).

例 1 解:原方程即 2x + 3x –7 = 0,令 f (x) = 2x + 3x –7, 用计算器或计算机作出函数 f (x) = 2x + 3x –7 的 对应值表与图象

x f(x)=2 +3x–7 x f(x)=2 +3x–7
x x

0 –6 5 40

1 –2 6

2 3 7

3 10 8

4 21

75 142 273

应用举例

尝试体验二 分法,培养 应用二分法 从而固化基 本理论技能
观察图或表可知 f(1)·f(2)<0,说明这个函 数在区间(1 ,2)内有零点 x0.取区间(1 ,2) 的中点 x1=1.5,用计算器算得 f(1.5)≈0.33. 因为 f(1)·f(1.5)<0,所以 x0∈(1,1.5).再取 (1 , 1.5) 的 中 点 x2=1.25 ,用计 算 器 算 得 f(1.25)≈–0.87.因为 f(1.25)·f(1.5)<0,所以 x0∈(1.25,1.5). 同理可得 x0 ∈ (1.375 ,1.5) , x0 ∈ (1.375 , 1.4375) 由于|1.375–1.4375| = 0.0625<0.1, 所以,原方程的近似解可取为 1.4375.

学生动手尝试练习,师生借助计算机合作 完成求解. 1.借助计算器或计算机,用二分 法求函数 f(x) = x + 1.1x + 0.9x– 1.4 在区间(0, 1)内的零点(精确度 0.1).
3 2

1.解:由题设可知 f(0)= –1.4<0,f(1)=1.6 >0, 于是 f(0)·f(1)<0, 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点. 下面用二分法求函数 f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4 在区间(0,1)内的零点 取区间(0,1)的中点 x1=0.5,用计算器可算 得 f(0.5)= –0.55.因为 f(0.5)·f(1)<0, 所以 x0∈(0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2=0.75,用计算器 可算得 f(0.75)≈0.32. 因为 f(0.5)·f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75). 同理可得 x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625, 0.6875),x0∈(0.65625,0.6875) 由于|0.6875–0.65625|=0.3125<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.65625. 2.解原方程即 x + lgx– 3 = 0,令 f(x) = x + lgx– 3,用计算器可算得 f(2)≈–0.70,f(3)

巩固练习

进一步体验 二分法,巩 固应用二分 法的方法与 技巧及注意 事项.

2.借助计算器或计算机,用二分 法求方程 x = 3 – lgx 在区间(2, 3) 内的近似解(精确度 0.1).

≈0.48, 于是 f(2)· f(3)<0, 所以,这个方程在区间(2,3)内有一个解. 下面用二分法求方程 x = 3 – lgx 在区间(2, 3)内的近似解. 取区间(2,3)的中点 x1 = 2.5,用计算器可 算得 f(2.5)≈–0.10. 因为 f(2.5)·f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3). 再取区间(2.5,3)的中点 x2 = 2.75,用计算 器可算得 f(2.75)≈0.19.因为 f(2.5)·f(2.75) <0,所以 x0∈(2.5,2.75). 同理可得 x0∈(2.5,2.625), x0∈(2.5625,2.625). 由于|2.625–2.5625|=0.0625<0.1, 所以原方程的近似解可取为 2.5625.

课后练习

3.1 第三课时 习案

学生独立完成

巩固二分法 应用技能

备选例题
例 1 用二分法求函数 f (x) = x3 – 3 的一个正实数零点(精确到 0.1). 【解析】 由于 f (1) = –2<0, f (2) = 5>0, 因此可以确定区间[1, 2]作为计算的初始区间, 用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点的横坐标 a0 = 1,b0 = 2 计算端点或中点的函数值 f(1)= –2,f(2)=5 定区间 [1,2]

x0 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ?

1? 2 ? 1.5 2

f (x0) = 0.375>0 f (x1) = –1.0469<0 f (x2) = –0.4004<0 f (x3) = –0.0295<0 f (x4) = 0.1684>0 f (x5)>0 f (x6)>0

[1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.4375,1.5] [1.4375,1.46875] [1.4375,1.453125] [1.4375,1.4453125]

1 ? 1.5 ? 1.25 2

1.25 ? 1.5 ? 1.375 2

1.375 ? 1.5 ? 1.4375 2

1.4375 ? 1.5 ? 1.46875 2

1.4375 ? 1.46875 ? 1.453125 2

x6 = 1.4453125

由上表的计算可知区间[1.4375,1.4453125]的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4,所以 1.4 可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.


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