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衡水二调


2013—2014 学年度第二学期高三年级二调考试 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 60 分)

选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)<

br />
1.已知 R 是实数集, M ? { x | A. (1,2) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 3. B. ?0,2?

2 ? 1}, N ? { y | y ? x
C. ?

x ? 1 ? 1} ,则 N ? C R M ? (
D. ?1,2? )

)

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3 1 =( ) ? cos10 sin170
A. 4 B.2 C. ?2 D. ? 4 )

4.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为(

①利用残差进行回归分析时,若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则说明线性回归模型的拟合精度 较高; ②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化; ③调查剧院中观众观后感时,从 50 排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法; ④已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6,则 P(X>4)等于 0.158 7 ⑤某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人.为了了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 15 人。 A.2 B.3 C.4 D.5

5.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S 2 n =4(a1+a3+a5+…+a2n-1), a1a2a3=27,则 a6=( A.27 B.81 C. 243 D.729



6.已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正视图,侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构 成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

7. 程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 A. 2 B.





1 3

C. ?3

D. ?

1 2

8. 设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为 A. ( )

?

2 , 3

?

B.

?1 , 3 ?

C.

?

2, 2

?

D. ?0 , 2 ?

9. 在 △ABC 所 在 的 平 面 内 , 点 P0 、 P 满 足 P0 B ?

1 AB , PB ? ? AB , 且 对 于 任 意 实 数 ? , 恒 有 4

PB ? PC ? P0 B ? P0C , 则
A. ?ABC ? 90? C. AC ? BC





B. ?BAC ? 90? D. AB ? AC
2

10.在平面直角坐标系中,记抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围成的平面区域为 M ,该抛物线与直线

y= kx (k>0)所围成的平面区域为 A ,向区域 M 内随机抛掷一点 P ,若点 P 落在区域 A 内的概率为
为( A. ) B.

8 ,则 k 的值 27

1 3

2 3

C.

1 2

D.

3 4

11.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC,BD,设内层椭圆方程为

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 ? ,则椭圆的离心率为( 2 4 a b



A.

1 B. 2

2 C. 2

3 2

D.

3 4

1 1 12.已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当x ?[1,3], f ( x) ? ln x ,若在区间[ , 3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 与 x 轴有 3 个 3 x
不同的交点,则实数 a 的取值范围是( A. (0, ) ) C. [

1 e

B. (0,

1 ) 2e

ln 3 1 , ) 3 e

D. [

ln 3 1 , ) 3 2e

第Ⅱ卷(非选择题
二、 13.设球的半径为时间 t 的函数 r (t ) ,若球的体积以均匀速度

共 90 分)

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

1 增长,则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 2

14. 若 ( x 2 ? ) n 的二项展开式中,所有项的二项式系数和为 64 ,则该展开式中的常数项为

1 x

,AB ? 2,角 A ? 15. 在△ABC 中,边 AC ? 1
16. 椭 圆中有如下结论:椭 圆

2? ,过 A 作 AP ? BC于P ,且 AP ? ? AB ? ? AC ,则 ?? ? 3



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 上斜率为 1 的 弦 的 中点在直线

x a
2

?

y b2

? 0 上,类比上述结论:

双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0) 上斜率为 1 的 弦 的 中点在直线



三、解答题(本题满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题卡相应位置) 17.(本题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? (Ⅰ )求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ )求 AC 边的长.

1 10 , cos ?ADC ? ? . 4 8

18. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,CD⊥平面 PAD, BC∥AD,PA=PD,O,E 分别为 AD,PC 的中点,PO=AD=2BC=2CD. (Ⅰ)求证:AB⊥DE;

(Ⅱ)求二面角 A-PC-O 的余弦值.

0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

15

25

35

45

55

65

75 年龄

19. (本题满分 12 分)今年年初,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,给我们的身体健康产生了巨大的威 胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量 选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力。为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对 “车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) 频数 赞成人数 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞成“车 辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

20. (本题满分 12 分)我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ”来庆祝数学学科节的成功举办. 其中 AC 、BD 是过抛物线 ? 焦点 F 的两条弦, 且其焦点 F ( 0 ,1) ,AC ? BD ? 0 , 点 E 为 y 轴上一点, 记 ?EFA ? ? ,

其中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 当“蝴蝶形图案”的面积最小时求 ? 的大小.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 满足: ①对任意的 m1 , m2 , m1 ? m2 ,当 f (m1 ) ? f (m2 ) 时,有 m1 ? m2 ? 0 成立; ②对 ?x1 , x2 ?[?1,1], f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1恒成立.求实数 a 的取值范围.

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题目 进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分。 22.(本题满分 10 分)如图,在正Δ ABC 中,点 D、E 分别在边 BC,AC 上,且 ,AD,BE 相交于点 P.

求证:(I)四点 P、D、C、E 共 圆;(II)AP

CP.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 23. (本题满分 10 分)已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?

( ? 为参数).

(Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上 2 2

24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (5 分) (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围. (5 分)

?

?

2013—2014 学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷(理科) 参考答案
DBDBC 13.1 CDACA CC 14.

10 49

15. 15

16.

x a2

?

y b2

?0

17.

--------6 分 (Ⅱ )在 ?ABD 中,由正弦定理,得

AD BD 3 BD ? ? ,即 ,解得 BD ? 2 …8 分 sin B sin ?BAD 3 6 6 8 4

2 2 2 故 DC ? 2 ,从而在 ?ADC 中,由余弦定理,得 AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC cos ?ADC

18. .解法一: (Ⅰ)设 BD ? OC ? F ,连接 EF , E、F 分别是 PC 、 OC 的中点,则 EF / / PO ,…1 分 已 知 CD ? 平 面 PAD , CD ? 平 面 ABCD , 所 以 平 面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 为 AD 的中点,则 PO ? AD , 而平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD , 所以 EF ? 平面 ABCD , 又 AB ? 平面 ABCD ,所以 AB 在 ?ABD 中, AB
2

1 ? 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? (? ) ? 16 ,所以 AC ? 4 ……………………12 分 4

P

E

? EF ;

……3 分

A

H B

O F C

D

? BD 2 ? AD 2 , AB ? BD ;
……6 分

又 EF ? BD ? F ,所以 AB ? 平面 BED , 又 DE ? 平面 BED ,所以 AB ? DE .

(Ⅱ)在平面 ABCD 内过点 A 作 AH ? CO 交 CO 的延长线于 H ,连接 HE , AE , 因为 PO ? 平面 ABCD ,所以 POC ? 平面 ABCD , 平面 POC ? 平面 ABCD ? AH ,所以 AH ? 平面 POC , PC ? 平面 POC ,所以 AH ? PC ; 在 ?APC 中, AP ? AC , E 是 PC 中点,故 AE ? PC ; 所以 PC ? 平面 AHE ,则 PC ? HE . 所以 ?AEH 是二面角 A ? PC ? O 的平面角. ……10 分 设 PO ? AD ? 2 BC ? 2CD ? 2 , 而 AE
2

? AC 2 ? EC 2 ,
2 7 14 AH ? ,则 sin ?AEH ? , 2 7 2
42 . 7
……12 分

AE ?

所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为

解法二: 因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 是 AD 的中点,则 PO ? AD ,且平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD . ……2 分

如图,以 O 为原点,以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

1 1 A(0, ?1, 0) B(1, 0, 0) C (1,1, 0) D(0,1, 0) E ( , ,1) P(0, 0, 2) 2 2
…4 分

P

z

1 1 AB ? (1,1,0) DE ? ( , ? ,1) , AB ? DE ? 0 , 所 以 2 2
AC ? DE .……6 分
(Ⅱ) AC ? (1, 2,0) , PC ? (1,1, ?2) ,

E

A
设平面 PAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

O B x C

Dy

则?

? ?m ? AC ? 0

? x ? 2y ? 0 ?? ? ? m ? PC ? 0 ? x ? y ? 2 z ? 0
1 2

令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?1, ) . ……8 分 又 BD ? PO ? 0 , BD ? OC ? 0 , 所以平面 POC 的法向量 BD ? (?1,1,0) , ……10 分

cos m , BD ?

42 m ? BD ?? , 7 | m || BD | 42 . 7
……12 分 ……2 分 ……4 分

所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为

19.解: (Ⅰ)各组的频率分别是 0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 .
频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为:0,1,2,3……………6 分

……5 分

p ?? ? 0 ? ? p ?? ? 1? ? p ?? ? 2 ? ? p ?? ? 3? ?

2 2 C6 C4 6 15 45 15 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75 2 1 1 1 2 C6 C4 ? C6 C4 C4 4 15 6 24 102 34 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 2 C4 C4 4 6 12 4 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75

……10 分

所以 ? 的分布列是:

?

p
所以 ? 的数学期望 E? ?

0 15 75

1 34 75

2 22 75

3 4 75
……11 分 ……12 分

6 . 5

21.

当 a ? 1 时,

(-?,0) 上单调递减,所以 m2 ? ?m1 , m1 ? m 2 ? 0 .同理 0 ? a ? 1 , f (m2 ) ? f (m1 ) ? f (?m1 ) ,由于 f ( x) 在

m1 ? m 2 ? 0 .
当 f (m1 ) ? f (m2 ) 时,当且仅当 a ? 1 时,有 m1 ? m2 ? 0 成立. ② a ? 1 时,由(1)可得 [ f ( x)]min ? f (0) ? 1 , ??8 分

[ f ( x)]max ? max{ f (1), f (?1)},

22. 证 明 : ( I ) 在 ?ABC 中 , 由

1 1 BD ? BC , CE ? CA, 知: 3 3 ?ABD ≌ ?BCE ,??????2分 ??ADB ? ?BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? .
所以四点 P, D, C , E 共圆;??????5分 (II)如图,连结 DE . 在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60 , 由正弦定理知 ?CED ? 90 .??????8分 由四点 P, D, C , E 共圆知, ?DPC ? ?DEC , 所以 AP ? CP. ??????10分 23.解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,
1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从而点 P 到直线 ? 的距离 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2

? ?x? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?


3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 d? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) . 4 4 |
24.解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , ∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。┈┈┈┈5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。┈┈┈┈┈10 分


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