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【高考精品复习】第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和


第3讲 【高考会这样考】 等比数列及其前 n 项和 1.以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定. 2.考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用. 【复习指导】 本讲复习时,紧扣等比数列的定义,掌握其通项公式和前 n 项和公式,求和时要 注意验证公比 q 是否为 1;对等比数列的性质应用要灵活,运算中要注意方程思 想的应用. 基础梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· qn-1. 3.等比中项 若 G2=a· b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn-m,(n,m∈N+). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak· al=am· an. ?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ? n},{an· ? n? ? n? 仍是等比数列. (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成 等比数列,其公比为 qn. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和: Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1, 同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1q ,∴Sn= (q≠1). 1-q n 两个防范 (1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防 止因忽略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: an+1 an (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*), a n n-1 则{an}是等比数列. 2 (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an an+2(n∈N*),则数列{an}是等 +1=an· 比数列. (3)通项公式法: 若数列通项公式可写成 an=c· qn(c, q 均是不为 0 的常数, n∈N*), 则{an}是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列 {an}是( ). B.递减数列 D.无法确定数列的增减性 A.递增数列 C.常数列 解析 当 a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列, 当 q<0,数列{an}为摆动数列. 答案 D 1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则公比 q 等于( ). 1 A.-2 B.-2 C.2 1 D.2 a5 1 1 解析 由题意知:q3=a =8,∴q=2. 2 答案 D 3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2·

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