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2011高考数学课下练兵:三角函数的诱导公式


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第三章

第二节

三角函数的诱导公式 课下练兵场
命 题 报 告

难度及题号 知识点 同角三角函数的关系 诱导公式

容易题 (题号) 1 2、3、4

中等题 (题号)

7、8、10 5、6、9

稍难题 (题号) 11、12

一、选择题 1.若 α、β 终边关于 y 轴对称,则下列等式成立的是 A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.sinα=-sinβ ( )

解析:法一:∵α、β 终边关于 y 轴对称, ∴α+β=π+2kπ 或 α+β=-π+2kπ,k∈Z, ∴α=2kπ+π-β 或 α=2kπ-π-β,k∈Z, ∴sinα=sinβ. 法二:设角 α 终边上一点 P(x,y),则点 P 关于 y 轴对称的点为 P′(-x,y),且点 P 与点 P′到原点的 y 距离相等设为 r,则 sinα=sinβ= . r 答案:A 2.已知 A= sin(kπ+α) cos(kπ+α) + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是 sinα cosα B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} ( )

A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2}

sinα cosα 解析:当 k 为偶数时,A= + =2; sinα cosα -sinα cosα k 为奇数时,A= - =-2. sinα cosα 答案:C π 3.已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx= 2 -1± 5 A. 2 B. 3+1 2 C. 5-1 2 D. 3-1 2 ( )

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π 解析:∵tanx=sin(x+ ),∴tanx=cosx, 2 ∴sinx=cos2x, ∴sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= 答案:C π 3π 3 4.已知 α∈( , ), tan(α-7π)=- ,则 sinα+cosα 的值为 2 2 4 1 A.± 5 B.- 1 5 1 C. 5 D.- 7 5 ( ) 5-1 -1- 5 (或 <-1,舍去) 2 2

π 3 3 4 1 解析:tan(α-7π)=tanα=- ,∴α∈( ,π),sinα= ,cosα=- ,∴sinα+cosα=- . 4 2 5 5 5 答案:B 5.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中 α、β、a、b 均为非零实数,若 f(2010)=-1,则 f(2011) 等于 A.-1 B.0 C.1 ( D.2 )

解析:由诱导公式知 f(2010)=asinα+bcosβ=-1, ∴f(2011)=asin(π+α)+bcos(π-β)=-(asinα+bcosβ)=1. 答案:C 6.已知 sin(2π+θ)tan(π+θ)tan(3π-θ) =1, π cos( -θ)tan(-π-θ) 2 ( C.3 D.6 )



3 的值是 sin2θ+3sinθcosθ+2cos2θ B.2

A.1

sin(2π+θ)tan(π+θ)tan(3π-θ) 解析:∵ π cos( -θ)tan(-π-θ) 2 = sinθtanθtan(π-θ) -sinθtanθtanθ = -sinθtan(π+θ) -sinθtanθ

=tanθ=1, ∴ 3 sin2θ+3sinθcosθ+2cos2θ

3sin2θ+3cos2θ = 2 sin θ+3sinθcosθ+2cos2θ = 3tan2θ+3 3+3 = =1. 2 tan θ+3tanθ+2 1+3+2

答案:A 二、填空题
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7.若 cos(2π-α)=

π 5 ,且 α∈(- ,0),则 sin(π-α)= 3 2 π 5 ,又 α∈(- ,0), 3 2 1-( 52 2 ) =- . 3 3

解析:cos(2π-α)=cosα= 故 sin(π-α)=sinα=- 2 答案:- 3

4 8.(2009· 北京高考)若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ= 5 4 解析:由 sinθ=- <0,tanθ>0 知 θ 是第三象限角. 5 3 故 cosθ=- . 5 3 答案:- 5

.

3 3 sin(-α- π)cos( π-α) 2 2 9.已知 sinα 是方程 5x2-7x-6=0 的根,α 是第三象限角,则 · tan2 π π cos( -α)sin( +α) 2 2 (π-α)= .

3 解析:方程 5x2-7x-6=0 的两根为 x1=- ,x2=2, 5 3 4 由 α 是第三象限角,∴sinα=- ,cosα=- , 5 5 3 3 sin(-α- π)cos( π-α) 2 2 ∴ · tan2(π-α) π π cos( -α)sin( +α) 2 2 π π -sin(π+ +α)cos(π+ -α) 2 2 = · tan2α sinαcosα π π - sin( +α)cos( -α) 2 2 = · tan2α sinαcosα = -cosαsinα · tan2α sinαcosα

3 (- )2 2 5 sin α 9 =-tan2α=- 2 =- =- . cos α 4 16 (- )2 5 9 答案:- 16 三、解答题
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5π sin( +α) 2 2 5 10.已知 sinα= ,求 tan(α+π)+ . 5 5π cos( -α) 2 解:∵sinα= 2 5 >0,∴α 为第一或第二象限角 5 5 , 5

当 α 是第一象限角时,cosα= 1-sin2α= 5π sin( +α) 2 cosα tan(α+π)+ =tanα+ 5π sinα cos( -α) 2 = sinα cosα 1 5 + = = . cosα sinα sinαcosα 2

当 α 是第二象限角时,cosα=- 1-sin2α=- 1 5 原式= =- . sinαcosα 2 11.(1)若角 α 是第二象限角,化简 tanα 1-2sin130° cos130° (2)化简: . sin130° + 1-sin2130° 解:(1)原式=tanα = sinα cosα | |, cosα sinα 1-sin2α =tanα sin2α

5 , 5

1 -1; sin2α

cos2α sin2α

∵α 是第二象限角,∴sinα>0,cosα<0, ∴原式= ?

? ?sin ? ? 2sin ? ? ? 3 cos ? ? 2cos ?

sinα cosα sinα -cosα | |= · =-1. cosα sinα cosα sinα

(2)原式= =

sin2130° +cos2130° -2sin130° cos130° 2 sin130° + cos 130°

|sin130° -cos130° | sin130° -cos130° = =1. sin130° +|cos130° | sin130° -cos130°

π π π 12.是否存在角 α,β,α∈(- , ),β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos( -β), 3cos 2 2 2 (-α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由 ① ? ?sin ? ? 2sin ? 解:假设存在角 ? , ? 满足条件,则 ? ? ? 3 cos ? ? 2cos ? ②
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由① +② 得 sin α+3cos α=2. 1 2 ∴sin2α= ,∴sinα=± . 2 2 π π π ∵α∈(- , ),∴α=± . 2 2 4 π π 3 当 α= 时,cosβ= ,∵0<β<π,∴β= ; 4 2 6 π π 3 当 α=- 时,cosβ= ,∵0<β<π,∴β= ,此时①式不成立,故舍去. 4 2 6 π π ∴存在 α= ,β= 满足条件. 4 6

2

2

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