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高考第一轮复习数学:2.1-函数的概念


第二章 函数 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和

性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. ●复习方略指南 基本函数:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数,它们的图象与性质是 函数的基石.求反函数,判断、证明与应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是 高考命题的切入点,有单一考查(如全国第 2 题) ,也有综合考查(如江苏第 22 题).函数 的图象、图象的变换是高考热点(如全国Ⅳ,北京 2005 年春季理 2) ,应用函数知识解其他 问题,特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力,这类问题在高考中具 有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等,这些方法构成了函数这 一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性,这均符合高考试题改革的发展趋势. 特别在“函数”这一章中,数形结合的思想比比皆是,深刻理解和灵活运用这一思想方法, 不仅会给解题带来方便,而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现. 复习本章要注意: 1.深刻理解一些基本函数,如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质,对数与形的基 本关系能相互转化. 2.掌握函数图象的基本变换,如平移、翻转、对称等. 3.二次函数是初中、高中的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方 程、二次不等式有着密切的联系,要沟通这些知识之间的内在联系,灵活运用它们去解决有 关问题. 4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点,复习时应适当加强这方面的训练,做到条 理清楚、分类明确、不重不漏. 5.利用函数知识解应用题是高考重点,应引起重视. 2.1 函数的概念 ●知识梳理 1.函数的定义:设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) ,x∈A,其中 x 叫做自变量.x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2.两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的 定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和 对应法则为函数的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这 两个函数才是同一个函数. 3.映射的定义:一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任 何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B,

以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集. 特别提示 函数定义的三要素是理解函数概念的关键,用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深 化. ●点击双基 1.设集合 A=R,集合 B=正实数集,则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是 A.f:x→y=|x| B.f:x→y= C.f:x→y=3-x D.f:x→y=log2(1+|x|) 2.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的 图象可以是

3.(全国Ⅰ,理 2)已知函数 f(x)=lg,若 f(a)=b,则 f(-a)等于 A.b B.-b C. D.- 4.(全国Ⅲ,理 5)函数 y=的定义域是 A.[-,-1)∪(1, ] B.(-,-1)∪(1, ) C.[-2,-1)∪(1,2] D.(-2,-1)∪(1,2) 5.(浙江,文 9)若函数 f(x)=loga(x+1) (a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1] , 则 a 等于 A. B. C. D.2 ●典例剖析 【例 1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)=,g(x)=; (2)f(x)=,g(x)= (3)f(x)=,g(x)=()2n-1(n∈N*) ; (4)f(x)=,g(x)=; (5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 【例 2】 集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是__________. 深化拓展 设集合 A 中含有 4 个元素,B 中含有 3 个元素,现建立从 A 到 B 的映射 f:A→B,且使 B 中每 个元素在 A 中都有原象,则这样的映射有___________________个. 【例 3】 (广东,19)设函数 f(x)=|1-|(x>0) ,证明:当 0<a<b,且 f(a)=f(b) 时,ab>1. ●闯关训练 夯实基础 1.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元 素 2n+n,则在映射 f 下,象 20 的原象是 A.2 B.3 C.4 D.5 2.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的 2000 元降到 1280 元,则 这种手机平均每次降价的百分率是 A.10% B.15% C.18% D.20%

3.(全国Ⅲ,理 11)设函数 f(x)=则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围为 A.(-∞,-2]∪[0,10] B.(-∞,-2]∪[0,1] C.(-∞,-2]∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10] 4.(浙江,文 13)已知 f(x)=则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是___________________. 5.(全国Ⅳ,文)已知函数 y=logx 与 y=kx 的图象有公共点 A,且 A 点的横坐标为 2,则 k 的 值等于 A.- B. C.- D. 培养能力 6.如下图,在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P,沿着折线 BCDA 由 B 点(起点)向 A 点 (终点)移动,设 P 点移动的路程为 x,△ABP 的面积为 y=f(x). (1)求△ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数关系式; (2)作出函数的图象,并根据图象求 y 的最大值. 7.若 f :y=3x+1 是从集合 A={1, 2, 3, k}到集合 B={4, 7, a4, a2+3a}的一个映射, 求自然数 a、 k 的值及集合 A、B. 8.如果函数 f(x)=(x+a)3 对任意 x∈R 都有 f(1+x)=-f(1-x) ,试求 f(2)+ f(-2) 的值. 探究创新 9.集合 M={a,b,c},N={-1,0,1},映射 f:M→N 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,那么映射 f:M→N 的个数是多少? ●思悟小结 1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域,难点是映射及其意义. 2.理解映射的概念,应注意以下几点: (1)集合 A、B 及对应法则 f 是确定的,是一个系统; (2)对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从集合 B 到集合 A 的 对应关系一般是不同的; (3)集合 A 中每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的,这是映射区别于一般对 应的本质特征; (4)集合 A 中不同元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (5)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象. 3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,如没有标明定义域,则认为定义域为使得函 数解析式有意义的 x 的取值范围,即分式中分母应不等于 0;偶次根式中被开方数应为非负 数;零指数幂中,底数不等于 0,负分数指数幂中,底数应大于 0;对数式中,真数必须大 于 0, 底数必须大于 0 且不等于 1??实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几 个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集. 教学点睛 1.复习本节时,教师应先指导学生看课本,并对课本上的重要知识点归纳总结,对课本上的 典型例题、典型习题要让学生再做,并注重一题多解、一题多变. 2.画分段函数的图象,求分段函数的定义域、值域是本节的一个难点.教学时,要指导学生按 x 的特点分好段,并向学生指明分段函数其实是一个函数,只是由于该函数在自变量取值的 各个阶段其对应关系不一样才以分段式给出, 因此它的定义域、 值域应是各阶段相应集合的 并集.

拓展题例 【例 1】 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x)+f(x+2)=0, 当-1<x≤1 时,f(x)=2x-1,求当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式. 【例 2】 设 m=(log2x)2+(t-2)log2x+1-t,若 t 在区间[-2,2]上变化时,m 值恒 正,求 x 的取值范围.


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