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3.2一元二次不等式及其解法(二)含参数一元二次不等式的解法


3.2 一元二次不等式 及其解法(二)
——含参数不等式的解法

探究(一):含参数的求值问题

例1: 不等式 x ? bx ? c ? 0的解集为
2

{x x ? 3或x ? ?1}, 求b与c.

b ? ?2, c ? ?3
1 1 练习:不等式ax +bx

+2>0的解集是{x|- <x< }, 2 3 试求a,b
2

例2: 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为
2

{x x ? 3或x ? ?1},

求cx2 ? bx ? a ? 0 的解集

练习:不等式ax2 +bx+c<0的解集是{x|- 2<x<3}, 试求bx2 +ax+c>0

探究(二):含参数不等式的解法
例3. x2 + 5ax + 6 > 0 解:由题意,得:⊿=25a2-24 2 2 2 1.当⊿=25a -24>0 ,即 a ? 6或a?? 6时 5 5
2 2 ? ? ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? ? 解集为: ? x x ? 或x ? ? 2 2 ? ? ? ?;

2.当⊿=25a2-24=0

? 5 ? 解集为: ? x x ? R且x ? ? a ? 2 ?; ? 2 2 2 6时 3.当⊿=25a -24<0, 即 ? 6 ? a ? 5 5

2 , 即a ? ? 6时 5

解集为:R.

变式1.

x2 + 5ax + 6a2 > 0

解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a. ①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a}; ②当-3a =-2a 即a =0时, 原不等式为 x2>0 解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}. 综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

变式2.

一、当a=0时, 解集为?x | x ? ?6?
二、当a≠0时,
因 式 分 解 , 得 : ?a x ? 1 ??x ? 6 ? ? 0

ax2 + (6a+1)x + 6 > 0


1 1 1 ⑵ 当 ? ? ?6, 即 a ? 时 方 程?ax ? 1?? x ? 6 ? ? 0的 两 根 为 ? ,?6 a 6 a 1 解 集为 : ?x x ? R 或 x ? ?6? ①当a<0时,? ? 0, a 1 1 ? 1? ⑶ 当 ? ? ? 6, 即 0 ? a ? 时 解集为 x ? 6 ? x ? ?
? ?0 ②当a>0时, a

? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或 x ? ?6 ? a ? ?

1 1 当 ? ? ?6, 即 a ? 时 a 6

? ? 1

? a?

? 1? 解集为 : ? x x ? ?6或 x ? ? ? a? ?

a

6

∴综上,得
2.当a ? 0时,解集 为?x x ? ?1?;
1 4.当a ? 时,解集 为?x x ? R且x ? ?6?; 6

? 1? 1.当a ? 0时,解集为 x ? 6 ? x ? ? ? ? a ? ?;

? 1 1? 3.当0 ? a ? 时, 解 集为? x x ? ?6或x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 1 5.当a ? 时,解集为 x x ? ? 或 x ? ? 6 ? ? 6 a ? ?.

注:

解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;

探究(三):含参不等式恒成立的问题
知识概要
(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? ? b ? 4ac ? 0 (2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? ? b ? 4ac ? 0

例4:已知关于x的不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立,

试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件.

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立

②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 即? 2 ( a ? 2) ? 4( a ? 2) ? 0 ? ?(a ? 2)( a ? 6) ? 0

?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6

所以 2 ? a ? 6

?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

综上: 2 ? a ? 6

例5 若关于x的不等式ax2+2x+2>0对于 一切x都成立,求实数a的取值范围.

练习: 不等式kx2-kx+2>0对于一切x都 成立,求实数k的取值范围.

课堂小结
一、内容分析
1 、解含参数的不等式 2、已知不等式的解集,求参数的值或范围
、 函数 ?1 ? ?2、 分离参数后用最值 ?3、 用图象 ?

不等式中的恒成立问题

二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想 3、等与不等的化归思想


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