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【金识源】高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 点共线与线共点素材 新人教A版必修2


点共线与线共点
我们时常遇到点共线和线共点的问题,面对这类题目若能抓住“两面相交必有唯一交线” 这一关键,问题就会变得清晰透彻.下面例析两例,以供同学们参考. 一、点共线问题 证明点共线,常常采用以下两种方法:①转化为证明这些点是某两个平面的公共点,然 后根据公理 3 证得这些点都在这两个平面的交线上;②证明多点共线问题时,通常是过其中 两点作一直线,然后证明其他的点都在这条直线上. 例1 如图 1,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AC 1 与截面 DBC1

关于 O 点, AC,BD 交于 M 点,求证: C1,O,M 三点共线. 证明:? C1 ?平面 A 1 ACC1 ,且 C1 ? 平面 DBC1 ,

?C1 是平面 A1 ACC1 与平面 DBC1 的公共点.
又? M ? AC ,? M ? 平面 A 1 ACC1 .

?M ? B D ,? M ? 平面 DBC1 . ? M 也是平面 A1 ACC1 与平面 DBC1 的公共点.

? C1M 是平面 A1 ACC1 与平面 DBC1 的交线.
? O 为 AC 1 与截面 DBC1 的交点, ? O ? 平面 A1 ACC1 , O ? 平面 DBC1 ,即 O 也是两平面的公共点.
,即 C1,M,O 三点共线. ?O ? C 1 M 二、线共点问题 证明线共点,就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法 是:先证其中两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上. 例 2 如图 2 ,已知空间四边形 ABCD,E,F 分别是 AB , AD 的 中 点 , G,H 分 别 是 B C , CD 上的点,且

BG DH ? ? 2 ,求证: EG,FH,AC 相交于同一点 P . GC HC 证明:? E,F 分别是 AB,AD 的中点, 1 ?E F ∥ B,且 D EF ? BD . 2 BG DH 1 ? ? 2 ,? GH ∥ BD ,且 GH ? BD , 又? GC HC 3 ?E F ∥ G ,且 H EF ? GH . ? 四边形 EFHG 是梯形,其两腰必相交,
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设两腰 EG,FH 相交于一点 P ,

? EG ? 平面 ABC , FH ? 平面 ACD , ? P ? 平面 ABC , P ? 平面 ACD , 又平面 ABC ? 平面 ACD ? AC ,? P ? AC . 故 EG,FH,AC 相交于同一点 P .

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